Бесконечно малые функции

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 5
Пределы функций.
9 октября 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Основные определения, примеры
Предположение: функция y  f (x) определена в U  a 
0
def Число A называется пределом функции y  f (x) в точке a
по Коши, если   0    : 0      : x : 0  x  a     f ( x)  A  
f ( x)  A
Обозначение: lim
xa
def Число A называется пределом функции y  f (x) в точке a
по Гейне, если x n , x n  a, : lim x n  a  lim f ( x n )  A
n 
n 
Пример 1 Функция, не имеющая предела в точке a = 0
 1, x  0
y  sgn x  
 1, x  0
Основные определения, примеры
A  1   0 : sgn x  A   x  0
A  1   0 x  x  0 : sgn x 1  1
A  1   0 x  x  0 : sgn x  1  1
Пример 2 Доказать, что lim x 2  4
  0   min

x 2

4    2,2  4   : x U 2 
x2  4  
Примеры разрывов
Эквивалентность определений
Т.1. Если число A – предел функции в точке a по Коши, то
A – предел той же функции по Гейне и наоборот.
Док. Пусть A – предел по Гейне – не является пределом по Коши.
1
 x n : 0  x n  a    f ( x n )  A  ~
n
Для последовательности xn  : lim x n  a и по Гейне
~  0 :  
n 
 n~ : n  n~  f ( xn )  A  ~
Пусть A – предел по Коши   0    : x : 0  x  a     f ( x)  A  
Для любой последовательности xn  : lim x n  a
n 
 n : n  n  xn  a    f ( xn )  A  
 lim f ( xn )  A
n 
Теоремы о пределах
Def Функция y  f (x) ограничена в окрестности U  a  , если
0
0
M  0 : f ( x)  M , x U  (a)
Т.2. Функция, имеющая предел в точке a, ограничена в U  a .
0
Док. Для   1
0
f ( x)  A  f ( x)  A  1  f ( x)  A  1  M , x  U  (a)
Т.3. Если функция имеет предел в точке a, то он только один.
Док. Противное: два предела A и B. A  B. Выберем   0,5 A  B .
Тогда  U  a  : B    f ( x)  A   , x U  a)  B  A  2
0
противоречие с выбором   0,5 A  B .
0
Переход к пределу в неравенствах
Т.4. Функции y  f (x), y  g (x) такие, что 1) f ( x)  g ( x) x U a 
2) lim f ( x )  A lim g ( x )  B. Тогда A  B.
xa
xa
Док. Противное: A  B.  : 0    0,5 A  B     : x U a  
0
0
g ( x)  B    A    f ( x), x U  (a)  g ( x)  f ( x) противоречие с 1)
Т.5. О знаке функции в окрестности точки.
Функция y  f (x), такая, что lim f ( x)  A  0. Тогда
xa
0
существует   0, для которой f ( x)  0 x U   a  .
0
Док.   0,5 A   0 : f ( x)  A    0, x  U  (a)
Теорема о промежуточной функции
Т.6. Пусть функции y  f (x), y  g (x), y   (x) удовлетворяют
0
условиям: 1) f ( x)   ( x)  g ( x), x  U  (a)
2) lim f ( x)  lim g ( x)  A
xa
x a
 ( x)  A
Тогда lim
x a
Док.
  0    : 0      : x : 0  x  a     A    f ( x)   ( x)  g ( x)  A  
т.е. A   ( x)   .
Критерий Коши для функций
Def Функция y  f (x) , определенная в окрестности U  a ,
удовлетворяет условию Коши, если
0
0
  0    : 0      : x, x  U  (a)  f ( x)  f ( x)  
Т.7. Для того, чтобы функция y  f (x) , определенная в
окрестности U  a , удовлетворяла критерию Коши
0
необходимо и достаточно, чтобы она имела предел
в точке a.
Доказательство критерия Коши
Док. Пусть критерий выполнен и xn  произвольная
последовательность, для которой lim xn  a. Тогда
n 
 f ( xn )
удовлетворяет критерию Коши для последовательностей и
lim f ( xn )  A. Если для другой посл. xn  lim f ( xn )  B, то A  B,
n 
n 
т.к. в противном для посл. xn  xn  xn  предела  f ( xn ) нет.
Пусть lim f ( x)  A. Тогда
xa
0
  0    : 0      : x, x  U  (a)  f ( x)  A  0,5 , f ( x)  A  0,5
f ( x)  f ( x)  f ( x)  A  ( f ( x)  A)  f ( x)  A  f ( x)  A  
Бесконечно малые функции
Def Функция y   (x) называется бесконечно малой
в точке x = a, если lim  ( x)  0.
x a
Т.8. Если функция y  f (x) имеет предел в точке x= a
равный A, то f ( x)  A   ( x), где  (x ) - б.м.ф.
Док. следует из предела по Гейне и теоремы 3 лекции 2
Т.9. Арифметическая теорема о б.м.ф.
1. Сумма двух б.м.функций в точке x = а – б.м.ф.
2. Произведение б.м.функции в точке x = а на
на ограниченную в окрестности той же точки
есть б.м.ф.
Док. следует из предела по Гейне и теорем 4, 5 лекции 2
Бесконечно большие функции
Def Функция y  f (x) , определенная в окрестности U  a 
0
точки x = a, бесконечно большой в этой точке, если
0
M  0   M : 0   M   : x  U  M  f ( x)  M
Обозначение: lim f ( x )  
xa
Def по Гейне. Функция y  f (x) - б.б.ф., если
xn , xn  a, : lim xn  a  lim f ( xn )  
n 
n 
Т.10. О связи б.м.ф. и б.б.ф.
1. Если y  f (x) б.б.ф. в точке x = a, то  ( x) 
0
1
- б.м.ф.
f ( x)
2. Если  (x ) - б.м.ф.  ( x)  0, x  U  (a), то f ( x) 
1
- б.б.ф.
 ( x)
Арифметические теоремы о пределах
Т.11. Пусть для функций y  f (x), y  g (x), существуют
g ( x)  B
lim f ( x)  A, lim
xa
x a
1) lim ( f ( x)  g ( x))  A  B
xa
f ( x) A , B  0

2) lim ( f ( x)  g ( x))  A  B 3) lim
x a g ( x)
x a
B
Тогда существуют
Док. следует из def по Гейне и теоремы 6 лекции 2
Вопрос 1. Произведение ограниченных функций ограниченная
функция?
Вопрос 2. Отношение ограниченных функций ограниченная
функция?
Вопрос 3. Сумма двух б.б. функций может быть б.м.ф.?
Ответ на вопрос 1
Ответ положительный.
Из ограниченности y  f (x) и y  g (x) следует
существование константы M  0 , для которой
f ( x)  M , g ( x)  M x U  a 
0
Тогда
f ( x) g ( x)  M x U  a 
2
0
Ответ на вопрос 2
Ответ отрицательный
Пример.
f ( x)  x - ограниченная функция в окрестности точки a = 0
g ( x)  x 2 - ограниченная функция в окрестности точки a = 0
 ( x) 
f ( x) x 1
 2 
- б.б.ф.
g ( x) x
x
Ответ на вопрос 3
Ответ положительный
Пример.
1
f ( x)  x 
x
g ( x)  x 
- б.б.ф. в окрестности точки a = 0
1
- б.б.ф. в окрестности точки a = 0
x
1
1
f ( x)  g ( x)  x   x   2 x - б.м.ф. в окрестности точки a = 0
x
x
Пределы на бесконечности
Def Функция y  f (x) имеет предел на бесконечности,
обозначение lim f ( x )  A, если
x 
  0   0 :  x    f ( x)  A  
Def
Функция y  f (x) имеет предел на

обозначение lim f ( x )  A, если
x  
  0   0 : x : x    f ( x)  A  
Def
Функция y  f (x) имеет предел на  
обозначение lim f ( x )  A, если
x  
  0   0 : x : x    f ( x)  A  
Вопросы
Вопрос 4 Функция имеет предел на
 .
Существует ли у нее предел на
Вопрос 5 Функция имеет предел на
?
.
Существует ли у нее предел на
 ?
Ответ на вопрос 4
Ответ отрицательный
Пример. f ( x)  x  x
lim f ( x)  lim x  x   0
x  
x  
lim f ( x) не существует, поскольку для положительных
x 
значений x: f ( x)  2 x
и функция не является даже ограниченной.
Ответ на вопрос 5
Ответ положительный
Существование предела на
. гарантирует тот же предел на
  и  .
Например, для
 .
lim f ( x)  A    0   0 :  x    f ( x)  A  
x 
В окрестности  , x  0    0   0 : x : x    f ( x)  A  
т.е.
lim f ( x)  A,
x  
Односторонние пределы
Def Функция y  f (x) имеет предел в точке x = a справа,
обозначение: lim f ( x)  A, если
xa 0
  0   0 : x : a  x  a    f ( x)  A  
Def Функция y  f (x) имеет предел в точке x = a слева,
обозначение: lim f ( x)  A, если
xa 0
  0   0 : x : a    x  a  f ( x)  A  
Утверждение Функция y  f (x) имеет предел в точке x = a
в том и только в том случае, если
lim f ( x)  lim f ( x)  A,
xa  0
xa 0
Примеры
Вопрос 6 Приведите пример функции, имеющей в заданной точке
различные пределы справа и слева.
Ответ на вопрос 6
f ( x)  x 
lim x
x a  0
xa
 lim x  a
x  a x a  0
xa
xa
lim x
x a  0
Вопрос 7
При каком a функция имеет предел?
xa
 lim ( x)  a
x  a x a  0
Раскрытие неопределенностей
Пример. Вычислить предел:
 1 x  x
Преобразование:
 1 x  x


x
Тогда

2
 1 x  x 
1 x  x 
2
lim
x 
2

 1 x  x2
 1 x  x
2
2
 1  x  x
2
 1 x  x2
 1 x  x2

2x
1/ x 2  1/ x  1  1/ x 2  1/ x  1
lim
x 
 1 x  x
2
1 x  x2

 1  x  x 2  1



2
2  o(1)

Раскрытие неопределенностей
Пример. Вычислить предел:
lim arctg
x 1 0
1
1 x
Замена. t  x  1  x  t  1
lim arctg
t  0
1

 1
 lim arctg     
1  x t 0
2
 t
Вопросы к экзамену
1) Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность.
2) Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об
ограниченности функции, имеющей предел.
3) Теорема об единственности предела функции.
4) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
5) Теорема о промежуточной функции.
6) Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности
критерия существованию предела у функции .
7) Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел,
и бесконечно малых функций.
8) Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями.
9) Арифметическая теорема о пределах функций.
Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Пределы функций.
Лекция 5
Завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Раскрытие неопределенности для функции.
Лекция состоится в четверг 16 октября 2014 г.
в 10:00 по Московскому времени.