Понятие функции.

Предел и непрерывность функции
одной переменной
Понятие функции
X ,Y  R
f : X Y
Функцией называется отношение f : X  Y , при котором
каждому элементу множества X ( x  X )
соответствует единственный элемент множества Y ( y  Y ).
y = f(x)
Х – область определения функции;
x – аргумент;
E  { y  Y : y  f ( x), x  X } -множество значений функции.
Равенство функций
Функции f и g равны, если
1) области определения совпадают;
2) f ( x)  g ( x) x  X .
Пример:
f ( x)  x    x  
2
g ( x)  x
2
0  x 1
f ( x)  g ( x)
Примеры.
1. Последовательность
{a n }.
f :N R
f ( n)  a n
2.
y  n!
(«эн-факториал»)
f : Z  R
f (n)  1  2  3  4  ...  n
0! 1
3.
 1, если х  0
x 
sgn x    1, если х  0
x 
 0, если х  0
4.
y  [x]
наибольшее целое число,
не превосходящее x:
[ x]  n
n  x  n 1
Аналитическое задание функции
• явно заданные функции:
пример:
y  x 2  5x  2
y  f (x)
• неявно заданные функции: F ( x, y )  0
пример:
x 2  y 2  1, y  0
• параметрически заданные функции:
пример:
 x  cos t ,

 y  sin t
 x   (t )

 y   (t )
область определения = область существования
{x  X : f ( x)  R и конечные}
Примеры:
y  1 x
2
y  sin x
1  x  1
   x  
Графический способ задания
функции
{x, f ( x)}  xOy
Контрпример:
Функция Дирихле
1, x  Q
D( x)  
0, x  I
Табличный способ задания функции
x x1
x2
x3
x 4 ...
xn
y
y2
y3
y 4 ...
yn
y1
Элементарные свойства функций
•
•
•
•
•
монотонность;
четность/нечетность;
периодичность;
нули функции;
и т.п.
Предел функции в точке
f ( x)  A при
xa
 lim f ( x)  A
xa
Определение (Коши)
Число А называется пределом функции f(x) в точке a , если
для любого   0 , которое может быть сколь угодно малым,
найдется такое   0, что при всех
x  , x  a,
удовлетворяющих условию
xa 
верно неравенство
f ( x)  A   .
lim f ( x)  A
xa
(lim f ( x)  A) 
x a
  0  ( )  0 :
x, 0  x  a    f ( x)  A  

Примеры.
1. Показать, пользуясь определением предела, что
lim (2 x  3)  5
x 1
Функция
y  2x  3
  0
определена всюду, включая точку а=1:f(1)=5.
(2 x  3)  5  

| 2 x  2 |   2 | x  1 |  | x  1 |
2


 
 f (x)  5  
| x  1 |  
2
2
 lim (2 x  3)  5
x 1
Геометрическая интерпретация
определения предела
x  a    a   x  a 
x  (a   , a   )
f ( x)  A    A    f ( x)  A  
f ( x)  ( A   , A   )
Число А есть предел f(x) при x, стремящемся к а, если
для любой  - окрестности точки А найдется такая
 - окрестность точки а, что для любого значения x ≠ а,
попадающего в  - окрестность точки а, значение
функции y=f(x) принадлежит  - окрестности точки А.
U ( a,  )  ( a   , a   )
U ( A,  )  ( A   , A   )
(lim f ( x)  A) 
xa
0
(U ( A,  ) U (a,  ) : x  U (a,  )  f ( x)  U ( A,  ))
Замечание.
Значение функции в точке a не влияет на предел
функции в точке.
Пример 1.
Найти
x
lim .
x 0 x
Решение:
x 1, x  0
f ( x)   
x  не определена, x  0
f ( x)  g ( x),
x0
x
lim  lim 1  1
x 0 x
x0
g ( x)  1
Найти
Пример 2.
lim f ( x)
x0
Решение:
x 2 , x  0
f ( x)  
1, x  0
g ( x)  x 2 ,    x  
f ( x)  g ( x),
x0
lim g ( x )  0
x 0
  0   0 : x  0 | x |   | x 2 | 
  
x  0 | x |     | x 2 || x | 2      
 lim f ( x )  0
x 0
Эквивалентное определение
предела по Гейне
Число А называется пределом функции f(x)
при x, стремящемся к а, если для любой
последовательности
.
xn  a
f ( xn )  A.
 lim f ( x)  A  
 x a

 {xn}  a  { f ( xn )}  A
Пример.
Показать, что функция
1
f ( x)  sin , x  0
x
не имеет предела в точке x=0.
 1 
 0
 n 




1

0
  2n 
 2

 f ( x)  sin
sin n   0



sin(  2n)  1
2


1
в точке x=0 не имеет предела.
x
Теоремы о пределах
Теорема 1(единственность предела)
Если функция f(x) имеет предел в точке a,
то этот предел единственный.
Доказательство:
Пусть
lim f ( x)  A.
x a
Докажем, что B  A lim f ( x)  B.
xa
  0 :   0x, x  a | x  a |   | f ( x)  B | 
| f ( x)  B | | ( f ( x)  A)  ( B  A) | || f ( x)  A |  | B  A ||
| f ( x)  B | || B  A |  | f ( x)  A ||| B  A |  | f ( x)  A |
lim f ( x )  A
xa
  0   0 : x  a | x  a |   | f ( x)  A | 
| B A|

2
| B A|
2
| B A| | B  A|
| f ( x)  B || B  A | 


2
2
| f ( x)  A |

lim f ( x)  B.
xa
Ограниченные функции
Определение.
Функция y = f(x) называется ограниченной в
окрестности точки a , если существует такое М >0
(М = const) и   0 такие,что
| f ( x) | M
x  U (a,  )  (a   , a   )
Теорема 2 (ограниченность функции,
имеющей предел)
Если функция f(x) определена в
окрестности точки a и имеет в точке a
конечный предел, то она ограничена в
некоторой окрестности этой точки.
Доказательство:
Пусть
lim f ( x)  A.
x a
  0   0 : x  a | x  a |   | f ( x)  A | 
 1
| f ( x)  A | 1
| f ( x) |  | A ||| f ( x) |  | A ||| f ( x)  A |
| f ( x) || A |  | f ( x)  A || A | 1
M  max{| A | 1, | f (a) |}
x  U (a,  )  (a   , a   )
| f ( x) | M
Пример.
Функция
1
f ( x)  sin , x  0
x
ограничена в окрестности
| sin
x0
1
| 1 , x, x  0
x
Предела в точке x  0 не имеет.
Теорема 3 (переход к пределу в
неравенстве)
Если f ( x)   ( x) для всех x из некоторой
окрестности точки a, кроме, быть может,
самой точки a, и каждая из функций f (x ) и  (x )
в точке a имеет предел, то
lim f ( x)  lim  ( x)
xa
xa
Теорема 4 (предел промежуточной
функции)
Если  ( x)  f ( x)   ( x) для всех x из
некоторой окрестности точки a, кроме, быть
может, самой точки a, и каждая из функций  (x )
и  (x ) в точке a имеют один и тот же предел A,
то функция f (x ) в точке a имеет предел, равный
этому же числу А.
 lim  ( x )  lim  ( x)  A
xa
xa
 lim f ( x)  A
xa
Определение предела функции в
бесконечности
Число А называется пределом функции f(x) при x,
стремящемся к бесконечности, если для любого   0
найдется такое число М > 0, что как только
| x | M ,
верно неравенство
| f ( x)  A | 
lim f (x)  A    0  M ( )  0 : x, х  M  f (x)  A   
x
lim
lim
x  
x  

f ( x)  A     0  M ( )  0 : x, x  M  f ( x)  A   
f ( x)  A     0  M ( )  0 : x   M  f ( x)  A   ;
lim f ( x )  A
x 
 lim f ( x)  A
x  
и
lim f ( x)  A
x  
График функции y=f(x) асимптотически приближается к
прямой y=A при
x  
Пример.
Функция
f ( x) 
1
x2 1
   x  
Показать, что lim f ( x)  0
x 
Решение:
  0, 0    1
1
0 
2
x 1
 | x |
1

| x | N

| f ( x)  0 | 
1
1
2



(
x

1
)


x2 1
1  N 
1

1
0 
2
x 1
1
 lim f ( x)  0
x 
Предел функции
•
•
•
•
•
•
•
Понятие функции.
Определение предела функции в точке.
Единственность предела.
Ограниченность функции, имеющей предел.
Переход к пределу в неравенстве.
Предел промежуточной функции.
Определение предела функции в бесконечности.