Reshenie_trigonometricheskikh_uravneny_s_dopolnit(1).

Л. Карно
cosx + cos3x = 0
2 cos 2 x  sin x
Урок –обобщения знаний
Цель урока:
 обобщить и систематизировать материал по
темам: «Решение тригонометрических
уравнений»
Задачи:
• обобщить и систематизировать
теоретический материал;
• рассмотреть методы решения
тригонометрических уравнений;
• рассмотреть уравнения, при решении которых
возникают дополнительные условия.
Тригонометрические
уравнения
asinx + bcosx =0
Общие
Уравнение
1. sinx = a, |a|≤1
Формула корней
4. ctg x = a
Уравнение
x = (-1)narcsin a + πk, 1. sinx = 0
kєZ
2. cosx = a, |a|≤1 x = ±arccos a + 2πk,
kєZ
3. tg x = a
Частные
x = arctg a + πk,
kєZ
x = arcctg a + πk,
kєZ
Формула
корней
x = πk, k є Z
2. sinx = 1
x =π/2 + 2πk, k є Z
3. sinx = –1
x =–π/2+ 2πk, k є Z
4. cosx = 0
x =π/2 + πk, k є Z
5. cosx = 1
x = 2πk, k є Z
6. cosx = –1
x = π + 2πk, k є Z
Какие методы решения
тригонометрических уравнений вы
знаете?






введение новой переменной,
разложение на множители,
с помощью формул понижения степени,
однородные тригонометрические
уравнения,
введение вспомогательного угла,
использование универсальной
подстановки
Предложите метод решения данного
тригонометрического уравнения:
1)замена переменной;
2)приведение к однородному;
3)разложение на множители;
4)понижение степени;
5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Уравнение
Способы решения
1
2
3 4
5
3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
4 соs²x - cosx – 1 = 0
+
+
2 sin² x/2 + cosx = 1
+
cosx + cos3x = 0
+
2 sinx cos5x – cos5x = 0
+
Метод замены для
тригонометрических
уравнений.
«Нельзя изучать
математику, глядя на
то, как это делает
сосед»
Как применяется метод
замены переменной?
1) Нужно привести уравнение к алгебраическому виду
относительно одной из тригонометрических функций.
2) Выразить переменную, через какую- то неизвестную
(оценить введённую неизвестную).
3) После подстановки , решить алгебраическое
уравнение. Произвести отбор корней.
4) Сделать обратную замену.
5) Решить тригонометрическое уравнение.
Пример решения уравнения:
x
x
2 cos
 5 sin  5  0
2
2
2
;
x

2 x
1) 21  sin 2   5 sin 2  5  0


x
x
2 sin
 5 sin  3  0
2
2
2
x
2) Пусть sin  t , ãäå | t | 1
2
2
2
t
 5t  3  0
3)
 t  1,

t   3
2

4)
5)
Не удовлетворяет условию |t|≤1
x
sin  1
2
x 
  2n, n  Z
2 2
x    4n, n  Z
Ответ:
  4n, n  Z
однородные тригонометрические
уравнения
Определение: Уравнения вида
asinx + bcosx =0
- называется однородным тригонометрическим
уравнением первой степени,
asin 2x + bsinx cosx + ccos 2x =0 –
тригонометрическим уравнением второй степени.
Однородные тригонометрические
уравнения
I степени
a sinx + b cosx = 0,
(a,b ≠ 0)
Разделим на cosx ≠ 0.
Имеем: a tgx + b = 0; …
II степени
a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0
1) если а ≠ 0 и с ≠ 0 , разделим
на cos²x ≠0
имеем: a tg²x + b tgx + c = 0
2) если а = 0 или с = 0, то
имеем: b sinx cosx + c cos²x =0;
или
a sin²x + b sinx cosx =0
Однородные уравнения.
Примеры.
1)
2 cos x  3 sin x  0.
Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно
разделить на cos x. При этом получится равносильное уравнение.
Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cos х = 0 не
содержит корней данного уравнения.
Действительно, если
cos x0  0 ,
то

 2 cos x0  3 sin x0  0 ;
но это невозможно, так как
cos x0  0 ,

 sin x0  0.
cos 2 x0  sin 2 x0  1.
Следовательно, имеем равносильное уравнение
tgx 
2
;
3
x  arctg
2
 n , n  Z .
3
Примеры.
2)
2 cos 2 x  3 cos x sin x  0 ,
cos x( 2 cos x  3 sin x )  0 ,
cos x  0 , 2 cos x  3 sin x  0 , разделим обе части уравнения на cos х, не рискуя

x   n , n  Z
2
tgx 
2
,
3
x  arctg
3)
потерять корни:
2
 k , k  Z .
3
x
x
x
x
 3 sin cos  3 cos 2  1 ,
2
2
2
2
x
x
x
x
2 sin2  3 sin cos  2 cos 2  0 ,
2
2
2
2
sin2
2 tg 2
tg
1  sin2
: cos 2
x
x
 cos 2
2
2
x
0
2
x
x
 3 tg  2  0 ,
2
2
x
 2,
2
x  2arctg 2  2n , n  Z ;
tg
x
1
 ,
2
2
x  2arctg
1
 2k , k  Z .
2
Неоднородные уравнения и
методы решения.
Уравнения вида
А*sinx+B*cosx=c
(где а<>0, b<>0, c<>0)
Методы решения:
1) Универсальная тригонометрическая
подстановка
2) Вспомогательный угол
Универсальная
тригонометрическая
подстановка
***
Метод вспомогательного
угла.
а*sinx+b*cosx=c
1) Разделим обе части уравнения на
cosß
sinß
2) Получаем уравнение
P
Метод вспомогательного
угла.
3) Уравнение
имеет корни тогда и только тогда,
когда
4) Решая уравнения, находим корни:
Метод вспомогательного
угла.
Разберем на примере.
4*sinx+3*cosx=5 (a=4; b=3; c=5.)
(4/5)*sinx+(3/5)*cosx=1
2) Пусть (4/5)=cosφ и (3/5)=sinφ, тогда
cos(φ)*sinx+sin(φ)*cosx=1
Метод вспомогательного
угла.
3) Решаем уравнение sin(x+φ)=1
x+φ=(π/2)+2*π*n, n€Z
x=(π/2)-φ+2*π*n, n€Z
x=(π/2)-arccos(4/5)+2*π*n, n€Z
Ответ: x=(π/2)-arccos(4/5)+2*π*n, n€Z
Проба сил
№1. Найдем все решения уравнения,
принадлежащие промежутку [-π;π]
cos 2x + sin2x = cos x
№ 2. Найдем число корней уравнения
cos2 2х + cos2 6х = 1, принадлежащие отрезку
№3. Решить уравнение
 
0; 2 
Самостоятельная работа
Решить уравнение
Трудность решения в
какой-то мере входит в само
понятие задачи: там, где нет
трудности, нет и задачи.
cos x  3 cos x sin x  2 sin x  0
2
2
Условия, при которых в уравнениях приходится
выполнять отбор корней
1) дробно-рациональные уравнения
относительно тригонометрических величин;
2) уравнения, содержащие тригонометрические
выражения под знаком корня четной степени;
3) уравнения содержащие tgx и ctgx.
Способы отбора корней
I способ : при условии n  , методом подстановки
n = 0 ,n = 1, n = 2 и т. д. в формулу корней
произвести отбор корней, принадлежащих данному
промежутку . Остановить подстановку, если при
дальнейшем увеличении (уменьшении) n корни
уравнения не удовлетворяют условию.
II способ: х  [a; b] , составить двойное неравенство
a ≤ х ≤ b. Решить неравенство относительно n . Т. к.
n   ,выбрать соответствующие значения n и найти
корни при каждом найденном n.
Способы отбора корней
III способ:
Произвести отбор корней, используя единичную
окружность.
Изобразить корни на единичной окружности.
Выделить дугу , соответствующую промежутку .
Выбрать числа, которые располагаются на выделенной
дуге.
Домашнее задание.
Закрепить дома виды задач.
1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие
указанному промежутку
a) cos 2x + sin x = cos2 x на [0;2π]
б) sin x + cos x = 0
на [-π;π]
2) Найдите число корней уравнения из [-π;π]
 3

3 sin   x   sin 2 (  x)  sin(   2 x)
 2

2
3) Решите уравнение:
а) 2 cos 2 x  sin x
б)* 2 cos x  1  cos x