Теория поведения производителя: технологии

Теория поведения
производителя: технологии
Описание технологий с помощью
производственных функций
Свойства технологий: убывание предельной
производительности и характер отдачи от
масштаба
Задача максимизации прибыли: спрос на
факторы, функция предложения, WAPM
Упрощающие предпосылки
• все блага в экономике четко делятся на
ресурсы (факторы производства) и
конечные (потребительские) блага: вторые
производятся исключительно с помощью
первых
• все факторы производства (включая капитал
и землю) измеряются единицами потока:
услуги труда, услуги капитала, услуги земли
в единицу времени.
• каждая фирма производит только одно благо
Описание технологии
Производственное множество:
множество всех технологически
допустимых комбинаций ресурсов и
выпуска.
Производственная функция является
границей производственного
множества, и задает максимально
возможный выпуск при заданном объеме
ресурсов.
Стандартные микроэкономические
предпосылки о свойствах технологий
• Возможность бездействия
• Свобода расходования (free disposal)
• Выпуклость
– Пусть технология производства блага y задана
производственной функцией y = f(x), x = (x1…xN).
Эта технология выпукла, если:
x  z: f(x) = f(z) = ŷ,
f(x+(1 – )z)  ŷ.
Предельный и средний продукт
фактора производства
Предельный продукт фактора i:
f ( x)
MPi 
xi
Средний продукт фактора i:
f ( x)
APi 
xi
* MPi равен APi в точке максимума APi
Предельная норма технологического
замещения
Предельная норма технологического
замещения фактора i фактором j
(MRTSij):
MRTS ij 
f ( x)
x j
xi

y  const
f ( x)
xi
x j
Краткосрочный и долгосрочный
период
Классификация издержек по связи с объемом
выпуска:
– Переменные
– Постоянные
– Квазипостоянные
Долгосрочным по умолчанию считается период,
в котором количество любого фактора можно
изменить (постоянные издержки отсутствуют)
Отдача от масштаба
Технология, представимая производственной
фунлдикцией f(x), обладает:
Возрастающей отдачей от масштаба, если:
 ≥ 0, f(x) < f(x)
Постоянной отдачей от масштаба, если:
 ≥ 0, f(x) = f(x)
Убывающей отдачей от масштаба, если:
 ≥ 0, f(x) > f(x)
Теория поведения
производителя: максимизация
прибыли
Задача максимизации прибыли
Решение задачи максимизации
прибыли: спрос на факторы, функция
предложения
WAPM и ее следствия
Задача фирмы (задача
максимизации прибыли)
• p – цена за единицу выпускаемой продукции
• y = f(x) – производственная функция
–  i, f”i(x) < 0 – предельный продукт любого фактора
убывает
• x = (x1…xN) – вектор используемых факторов
• w = (w1…wN) – вектор цен на факторы
производства
max pf ( x )  wx
x 0
Задача фирмы: смысл условий
первого порядка
F.O.C. для внутренних решений:
f ( x )
f ( x )
 wi , xi  0, i
p
 wi , xi  0 или p
xi
xi
Смысл: стоимость предельного продукта каждого
фактора (его предельная доходность) должна
равняться цене единицы этого фактора (если
он действительно используется в
производстве)
Cмысл условий первого порядка:
обратные функции спроса на факторы
• p*MPi  именно
эту сумму, как
максимум, фирма
готова заплатить
за очередную
единицу i-того
фактора
производства
p*MPi
xi
Решение задачи максимизации
прибыли: спрос на факторы
производства
max pf ( x )  wx
x 0
Функции спроса на факторы:
x * ( p , w)
y ( p, w)  f ( x * ( p, w))
Функция предложения фирмы
Максимизация прибыли и отдача от
масштаба
В LR прибыль фирмы-ценополучателя,
чья технология имеет постоянную
отдачу от масштаба, может быть
только нулевой!
Если бы это было не так…
 *  pf ( x*)  wx*  0
Если x* увеличить в λ раз, что будет с π*?
Слабая аксиома максимизации
прибыли (WAPM)
Пусть при ценах (p, w) фирма выбирала (y, x), а
при ценах (p’, w’) выбирала (y’, x’). Если
технология не менялась, то:
• py – wx ≥ py’ – wx’
• p’y’ – w’x’ ≥ p’y – w’x
 (p – p’)(y – y’) – (w – w’)(x – x’) ≥ 0
Следствия:
• Закон предложения
• Закон спроса на факторы производства
Теория поведения
производителя: функции
издержек
Задача минимизации издержек
Решение задачи минимизации издержек:
условный спрос на факторы, функция
издержек
Долгосрочные средние издержки и отдача от
масштаба
Задача минимизации издержек
Задачу максимизации прибыли фирмой
можно разложить на 2 этапа:
1) минимизация издержек для любого
(произвольного) объема выпуска
2) выбор выпуска, обеспечивающего
наибольшую прибыль
Задача минимизации издержек:
постановка и решение
min wx
x0

 y  f ( x)
условный спрос на
факторы производства
x * ( w, y )
функция издержек фирмы
c( w, y )  wx * ( w, y )
Задача минимизации издержек:
графическая иллюстрация
Пример:
w1 x1  w2 x2

xmin
1 , x2  0


 y  f ( x1 , x2 )
В точке решения этой
задачи x*(w,y) изокоста
является касательной к
изокванте:
X2
Изокосты
w1x1 + w2x2 = c
x*(w,y)
X2*
Изокванта
y = f(x1, x2)
w1
MRTS 12  
w2
0
Тангенс угла
наклона
касательной к
изокванте
Тангенс
угла
наклона
изокосты
X1*
X1
NB: Если изокванта имеет изломы, или
решение угловое, касания может и не быть!
Задача минимизации издержек: аналитическое
решение методом Лагранжа
Пример:
w1 x1  w2 x2

xmin
1 , x2  0


 y  f ( x1 , x2 )
Функция Лагранжа:
L  w1 x1  w2 x2   ( f ( x1 , x2 )  y )
Дифференцируя L по x1, x2 и λ, выписываем условия Куна-Таккера:
f ( x1 , x2 )
f ( x1 , x2 )

w


,
x

0
или
w


 0, x1  0
1
1
 1
x1
x1

f ( x1 , x2 )
f ( x1 , x2 )

w


,
x

0
или
w


 0, x2  0
 2
2
2
x2
x2

 y  f ( x1 , x2 ),   0


Задача минимизации издержек: аналитическое
решение методом Лагранжа - 2
Далее рассматриваем систему
условий Куна-Таккера для
всех возможных случаев (в
данном примере их четыре:
Если решение внутреннее,
т.е. x1, x2 > 0, то можно
поделить первое
уравнение системы на
второе и получить:
1) x1 > 0, x2 > 0
2) x1 > 0, x2 = 0
3) x1 = 0, x2 > 0
4) x1 = x2 = 0
(последний вариант
обычно бессмыслен)
f ( x1 , x2 )

w
x1
1
 
 MRTS 12
 w2 f ( x1 , x2 )

x2

 y  f ( x1 , x2 )
Предельные и средние издержки
Если с(y) – функция издержек,
то
Предельные издержки
MC ( y )  c' ( y )
производства y:
Средние издержки
производства y:
c( y )
AC ( y ) 
y
* MC(y) равны AC(y) в точке минимума AC(y)
Долгосрочные средние издержки и
отдача от масштаба
Если долгосрочные средние издержки…
Возрастают
по y,
Не зависят
от объема
выпуска,
Убывают
по y,
то данная технология обладает…
Убывающей
отдачей от
масштаба
Постоянной
отдачей от
масштаба
Возрастающей
отдачей от
масштаба