эффективной массы
реклама
Ферми поверхность Лекция 2 Ферми поверхность (ФП) - изоэнергетическая поверхность в пространстве квазиимпульсов р, отделяющая область занятых электронных состоянии металла от области, в которой при Т = 0 К электронов нет. За большинство свойств металлов ответственны электроны, расположенные на Ф. п. и в узкой области пространства квазиимпульсов (векторная величина, характеризующая состояние квазичастицы (например, подвижного электрона в периодическом поле кристаллической решётки)) вблизи неё. Это связано с высокой концентрацией электронов проводимости в металле, плотно заполняющих уровни в зоне проводимости. Каждый металл характеризуется своей Ф. п., причём формы поверхностей разнообразны. Для «газа свободных электронов» Ф. п. – сфера. Объём, ограниченный Ф. п. ΩF (приходящейся на 1 элементарную ячейку в пространстве квазиимпульсов), определяется концентрацией n электронов проводимости в металле: Вырожденный газ • Вырожденный газ — газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. Вырождение наступает в условиях, когда расстояния между частицами газа становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля; в зависимости от спина частиц выделяются два типа вырожденных газов - ферми-газ, образованный фермионами (частицами с полуцелым спином) и бозе-газ, образованный бозонами (частицами с целым спином). Средние размеры Ф. п. для хороших металлов Ферми поверхность ħ/a, где ħ – постоянная Планка, а – постоянная решётки, обычно У большинства металлов, кроме большой Ф. п., обнаружены малые полости, объём которых значительно меньше, чем . Эти полости определяют многие квантовые свойства металлов в магнитном поле (например, де Хааза – ван Альфена эффект). Де Хааза - ван Альфена эффект • ДЕ ХААЗА - ВАН АЛЬФЕНА ЭФФЕКТ наблюдаемая в металлах и вырожденных полупроводниках при низких температуpax осциллирующая зависимость магн. момента M от внеш. магн. поля В. Впервые обнаружен В. де Хаазом (W. J. de Haas) и П. ван Альфеном (P. van Alphen) в Bi в 1930. В дальнейшем наблюдался практически у всех чистых металлов, у ряда интерметаллических соединений и др. веществ, имеющих металлич. проводимость (MoO2, WO2 и др.), а также в вырожденных полупроводниках и двумерных проводниках, в частности гетероструктурах .Д. X.- в. А. э., как и др. квантовые осцилляции в магн. поле (напр., Шубникова - де Хааза эффект), обусловлен квантованием движения электронов в магн. поле. Вырожденный полупроводник • — это полупроводник, концентрация примесей в котором настолько велика, что собственные свойства практически не проявляются, а проявляются в основном свойства примеси. У вырожденного полупроводника уровень Ферми лежит внутри разрешённых зон или внутри запрещённой зоны на расстояниях не более kT от границ разрешённых зон. Вырожденные полупроводники получают путём сильного легирования собственных полупроводников. ИНТЕРМЕТАЛЛИЧЕСКИЕ СОЕДИНЕНИЯ (металлические соединения, металлиды) в узком смысле кристаллы, представляющие собой соединения металлов друг с другом; в широком смысле двух- или многокомпонентные кристаллы, электронное строение которых имеет характерные признаки металла (или полупроводника). На пример: Cr-Si • У полуметаллов объём Ф. п. мал по сравнению с размерами элементарной ячейки в пространстве квазиимпульсов. Если занятые электронами состояния находятся внутри Ф. п., то она называется электронной, если же внутри Ф. п. электронные состояния свободны, то такая поверхность называется дырочной. Возможно одновременное существование обеих Ф. п. Например, у Bi Ф. п. состоит из 3 электронных и 1 дырочного эллипсоидов. В Ф. п. находит отражение симметрия кристаллов. Полумета́ллы • (металлоиды, амфотерные металлы) — химические элементы, расположенные в периодической системе на границе между металлами и неметаллами. Для них характерно образование ковалентной кристаллической решётки и наличие металлической проводимости. • В физике твёрдого тела полуметаллами называются различные вещества, занимающие по электрическим свойствам промежуточное положение между металлами и полупроводниками. • К полуметаллам относятся графит, кремний, бор, германий, мышьяк, сурьму, теллур, иногда — висмут, полоний и астат. • Носители тока в полуметаллах отличаются большой подвижностью и малой эффективной массой. Благодаря этому полуметаллы — наиболее подходящие объекты для наблюдения размерных эффектов, фазовых переходов полуметалл — диэлектрик в сильных магнитных полях и ряда других явлений. Энергия Ферми • При Т=0 К 2 2 2/3 EF (0) (3 n) 2m Где - постоянная Планка, m – масса электрона, n – концентрация электронов Энергия Ферми • При Т 0 К 2 kT 2 EF EF (0) 1 12 EF (0) Где - постоянная Планка, Т - температура k - постоянная Больцмана Эффективная масса Вследствие того, что в кристалле на электрон действует периодическое поле решетки, он приобретает некоторые свойства, в корне отличающие его от классической частицы. Пусть на вещество наложено внешнее электрическое поле E' , тогда сила, действующая на электрон, F eE • Здесь Е' напряженность электрического поля Скорость движения электрона равна групповой скорости распространения волн • , Е – энергия электрона • За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению электрона • Отсюда • Продифференцируем выражение для групповой скорости по времени и определим ускорение электрона: Подставим сюда из формулы , тогда • Эта формула выражает второй закон Ньютона. Под действием внешней силы F, возникающей при наложении поля, электрон движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон некоторой массы , определяемой соотношением • Значение массы носит название эффективной массы электрона в решетке • Для свободного электрона, энергия которого определяется как, эффективная масса принимает значение массы покоя электрона m. Эффективная масса не является массой в ее обычном понимании. Она не определяет ни гравитационных, ни инерционных свойств электрона. По величине она может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона, а по знаку – как положительной, так и отрицательной. Рассмотрим следующий пример. Пусть в первой зоне Бриллюэна находится один свободный электрон, который в отсутствие внешнего поля располагается на дне зоны. Приложим к кристаллу внешнее поле , под действием которого электрон будет ускоряться, его кинетическая энергия будет расти, что приведет к его переходу на более высокие энергетические уровни зоны • При небольших значениях волнового числа k, пока кривая Е(k) остается параболой и скорость движения электрона линейно растет с ростом k, а эффективная масса остается практически постоянной и равной массе покоя электрона. По мере удаления от нуля кривая Е(k) отходит от параболы, нарастание скорости с увеличением k замедляется, а следовательно, увеличивается эффективная масса • В точке А (точка перегиба) первая производная энергии по волновому числу максимальна, а вторая производная • обращается в нуль. Зависимость от волнового числа: а – энергии, б – скорости, в – эффективной массы электрона (пунктир соответствует зависимости энергии от волнового числа для свободного электрона) • Поэтому при значении волнового числа ,соответствующего точке перегиба зависимости Е(k) , скорость движения электрона максимальна, а эффективная масса обращается в бесконечность. • При значениях k> эффективная масса электрона меняет знак и становится отрицательной. Скорость движения электрона при k> уменьшается, хотя направление внешней силы сохраняется. В точке В (k=π/a граница зоны Бриллюэна) электрон испытывает брэгговское отражение и появляется в точке В' . В интервале В' А' он ускоряется в направлении, противоположном действию внешней силы, и его скорость меняется от нуля до максимального значения, а эффективная масса – от массы покоя до - ∞. В точке А' знак эффективной массы меняется на положительный, и в интервале А'() электрон ускоряется в направлении действия внешней силы. Наличие анизотропии кристаллов обуславливает анизотропию динамических свойств электронов при их движении. Вследствие этого эффективная масса является величиной тензорной. Чаще всего анизотропия проявляется в двух направлениях, и поверхности постоянной энергии имеют вид эллипсоидов вращения. В этом случае эффективная масса подразделяется на эффективную массу в продольном направлении и эффективную массу в поперечном направлении При отсутствии анизотропии поверхность постоянной энергии имеет вид сферы и эффективная масса является величиной скалярной. приведены экспериментальные значения эффективной массы электронов вблизи дна зоны проводимости для ряда полупроводников. • Эффективная масса электронов вблизи дна зоны проводимости для ряда полупроводников Продолжение. Поверхность Ферми. Если Ф. п. непрерывно проходит через всё пространство квазиимпульсов, она называется открытой. Если Ф. п. распадается на полости, каждая из которых помещается в одной элементарной ячейке пространства квазиимпульсов, она называется замкнутой, например у Li, Au, Си, Ag – открытые Ф. п., у К, Na, Rb, Cs, In, Bi, Sb, Al – замкнутые. Иногда Ф. п. состоит из открытых и замкнутых полостей. Скорости электронов, расположенных на Ф. п.: F ≈ см/с, вектор (направлен по нормали к Ф. п. • Геометрические характеристики Ф. п. (форма, кривизна, площади сечений и т.п.) связаны с физическими свойствами металлов, что позволяет строить Ф. п. по экспериментальным данным. Например, Магнетосопротивление металла зависит от того, открытая Ф. п. или замкнутая, а знак константы Холла (см. Холла эффект) от того, электронная она или дырочная. Период осцилляций магнитного момента (в эффекте де Хааза – ван Альфена) определяется экстремальной (по проекции квазиимпульса на магнитное поле) площадью сечения Ф. п. Магнетосопротивление • Магнетосопротивление, магниторезистивный эффект, изменение электрического сопротивления твёрдого проводника под действием внешнего магнитного поля. Различают поперечное М., при котором электрический ток течёт перпендикулярно магнитному полю, и продольное М. (ток параллелен магнитному полю). Причина М. — искривление траекторий носителей тока в магнитном поле. У полупроводников относительное изменение сопротивления ∆r/r в 100 — 10 000 раз больше, чем у металлов, и может достигать сотен %. М. относится к группе гальваномагнитных явлений. М. используется для исследования электронного энергетического спектра и механизма рассеяния носителей тока кристаллической решёткой, а также для измерения магнитных полей Эффект Холла Действие силы Лоренца на движущийся отрицательный заряд Действие силы Лоренца на движущийся положительный заряд • • Эффектом Холла называется возникновение поперечного электрического поля и разности потенциалов в проводнике или полупроводнике, по которым проходит электрический ток, при помещении их в магнитное поле, перпендикулярное к направлению тока. Если в магнитное поле с индукцией B поместить проводник или электронный полупроводник, по которому течет электрический ток плотности j, то на электроны, движущиеся со скоростью v в магнитном поле, действует сила Лоренца F, отклоняющая их в определенную сторону • Для большинства одноатомных металлов и многих интерметаллических соединений Ф. п. уже изучены. Теоретическое построение Ф. п. основано на модельных представлениях о движении валентных электронов в силовом поле ионов. Примеры поверхности Ферми • Топология поверхности Ферми для меди, серебра и золота приблизительно одинаковая и представляет собой гофрированный сфероид, который через узкие трубки соединяется со сфероидами соседних ЗБ. На рис. а показан сфероид меди; на рис. б изображено соединение двух сфероидов в плоскости гексагональной грани, а на рис. в дана общая картина соединения нескольких ферми-сфероидов. Многосвязанная ферми-поверхность дырочного типа кальций магний цинк kF – импульс Ферми Построение изоэнергетических поверхностей • Поверхности Ферми щелочных металлов . Проведённый анализ изменения формы изоэнергетической поверхности при заполнении электронами первой зоны Бриллюэна достаточен, чтобы предсказать наиболее вероятный вид поверхности Ферми у элементов первой группы периодической системы Менделеева. К ним относятся щелочные металлы (Li, Na, К, Rb), имеющие при комнатной температуре ОЦКрешётку, а также металлы Cu, Ag, Au, имеющие ГЦК-решётку • Начнём со щелочных металлов. Первая зона Бриллюэна для ОЦК-решётки представляет собой ромбический додекаэдр (см. следующий слайд). Все грани· додекаэдра одинаковы и расположены на одном и том же расстоянии от центра зоны, равном • где а - период решётки. У щелочных металлов N валентных электронов заполняют половину объёма первой зоны. Сделаем предположение, что часть пространства первой зоны Бриллюэна, заполненная электронами, ограничена поверхностью Ферми, достаточно близкой к сферической, и вычислим её средний радиус pF· Величина pF определится из равенства • Рис. Построение первой зоны Бриллюэна решётки ОЦК: а) две элементарных ячейки обратной ГЦК решётки, точкам и обозначены узлы обратной решётки; 6) централ ьный параллелепипед, выделенный жирными линиями на а) с восемью узлами обратной решётки (обведены кружками) и первой зоной Бриллюэна. Грани первой зоны Бриллюэна образуются плоскостями, проходящими через середины прямых, соединяющих центр с соседними узлами (обведены кружками); в) вторая зона Бриллюэна • Объём зоны Бриллюэна Vp (объём ромбического додекаэдра) в пространстве импульсов составляет Откуда имеем: Минимальное расстояние между идеальной сферой Ферми с таким радиусом и границей первой зоны равно Рис. Поверхность Ферми щелочных металлов • И н ы м и словам и , радиус сферы Ферми PF составляет приблизительно 83% от минимального расстояния от начала координат до граней первой зоны Бриллюэна. Поскольку величина эффективного потенциала, вообще говоря, невелика, то можно ожидать, что при таком относительно большом расстоянии от сферы Ферми до граней зоны Бриллюэна их искажающее влияние на форму поверхности Ферми будет также невелико. • Небольшое отклонение поверхности Ферми от сферы количественно можно охарактеризовать величиной анизотропии поверхности где Smах и Smin- максимальная и минимальная величины площадей сечения поверхности Ферми плоскостями, проходящими через центр зоны Бриллюэна. Для сферы, очевидно, ∆ S/S = 0 Экспериментально определённые значения анизотропии поверхности Ферм и щелочных металлов при ведены в таблице Таблица Анизотропия поверхности Ферми щелочных металлов Металл Na K Rb Cs ∆ S/ S, % 0,2 0,6 0,7 1,4 • Видно, что анизотропия поверхности Ферми не превосходит 1 ,5 %. Поэтому замена реальной поверхности Ферми сферой приводит лишь к незначительной ошибке.
