Лекция 1 Физические основы наноматериалов
advertisement
Физические основы наноматериалов Ерофеева Галина Васильевна Лекция №1 Трансляционная симметрия кристаллов Обратная решетка Зоны Бриллюэна Основы физики твердого тела Симметрия кристаллов Симметрия кристаллов • Зоны Бриллюэна • БРИЛЛЮЭ́НА ЗО́НЫ, области значений волнового вектора k, при которых энергия электронов изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв. Понятие зон Бриллюэна используется в теории твердого тела. Предложено Л. Бриллюэном в 1930 г. • Волновой вектор k является одной из основных характеристик состояния электрона в твердом теле. В соответствии с зонной теорией, электрон в кристалле не может иметь непрерывный спектр значений энергий, поэтому и на зависимости энергии электронов Е(k) также должны быть исключены участки, соответствующие запрещенным зонам, т. е. кривая Е(k) должна иметь разрывы в некоторых точках. Энергетический спектр энергии для свободных электронов в периодическом поле Закон дисперсии для свободного электрона, и его искажения в периодическом потенциальном поле амплитудой ∆U • Состояния электрона в зоне, характеризуемые волновым вектором k, изображают в k-пространстве, где на трех взаимно перпендикулярных осях координат откладывают составляющие вектора kx, ky, kz. Если в k-пространстве от начала координат отложить векторы k, соответствующие возможным состояниям движения электрона, то концы таких векторов для всех состояний зоны при этом оказываются лежащими в некотором многограннике, который и называется зоной Бриллюэна. Иногда для наглядности k-пространство разделяют на малые ячейки, количество которых равно числу возможных векторов k. Тогда каждая ячейка будет соответствовать в данной зоне двум состояниям электрона с противоположно направленными спинами. • Структура зон Бриллюэна определяется только строением кристалла и не зависит от рода частиц, образующих кристалл, или от их межатомного взаимодействия. Границы зон Бриллюэна определяют условием, эквивалентным условию Вульфа-Брэгга для интерференционных максимумов при рассеянии рентгеновских лучей в кристалле. Это позволяет построить по рентгенограммам его зону Бриллюэна. • Физический смысл границ зоны Бриллюэна заключается в том, что они показывают такие значения волновых векторов или квазиимпульсов электрона, при которых электронная волна не может распространяться в твердом теле. Основные свойства зон Бриллюэна : • 1 ) центры зон Бриллюэна являются узлами обратной решётки; • 2) для одноатомного кристалла число состояний в зоне Бриллюэна равно числу атомов в кристалле; • 3) объёмы 1 , 2 и т. д. зон Бриллюэна одинаковы; • 4) в каждой зоне Бриллюэна есть точки максимума и минимума энергии; • 5) на границе зоны Бриллюэна нормальная составляющая скорости электрона ( g)n = 0 равна нулю; • 6) Величина разрыва энергии на границах зон Бриллюэна определяется эффективным потенциалом Под эффективным рассеивающим потенциалом ионов подразумевается не истинный экранированный кулоновский потенциал, а потенциал, определяющий рассеяние фермиевских электронов, т. е. электронов, расположенных на поверхности Ферми и движущихся в решётке с скоростями порядка 10^6 м/с. Выводы Так же как вся кристаллографическая или структурная информация содержится в примитивной ячейке прямой кристаллической решетки, так и вся информация о распространяющихся в кристалле волновых колебаниях содержится в примитивной (Вигнера-Зейтца) ячейке обратной решетки, т.е. в первой зоне Бриллюэна. Каждая волна может быть определена через соответствующий волновой вектор, κ=2π/λ, поэтому обратную решетку также называют пространством волновых векторов или k-пространством. Несмотря на кажущуюся «математичность» и оторванность от жизни данного понятия, зоны Бриллюэна играют важнейшую роль в физике твердого тела. В дифракции излучения: на кристаллической решётке дифрагируют только те лучи, волновой вектор которых оканчивается на границе зоны Бриллюэна. Вследствие существования периодичности кристаллической решётки и конкретно зоны Бриллюэна в кристалле возникают запрещённые и разрешённые энергетические состояния. Возникновение запрещённых зон связано с тем, что для электронных волн определённых длин на границе зоны Бриллюэна возникает условие брэгговского отражения, и электронная волна отражается от границы зоны. Физически это равносильно тому, что возникает стоячая волна, и, следовательно, групповая скорость данной электронной волны равна нулю. Таким образом, возникает интервал запрещённых частот (энергий).
