Движение тела вокруг неподвижной точки. Случай Эйлера

ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 6:
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКИ. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА
1. Обозначения
Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О
OXYZ неподвижная система координат
Oxyz подвижная система координат (ПСС),
Z
z
y
жестко связанная с телом
Удобно работать в Oxyz потому, что тензор инерции
в этой системе координат есть величина постоянная.
 Ix

I    I xy
 I
 xz
 I xy
Iy
 I yz
 I xz   A

 I yz     F
I z    E
X
F E 
B  D   const
 D C 
O
x
В каждый момент времени скорости тела распределены так, как будто происходит
вращение относительно мгновенной оси с некоторой мгновенной угловой
скоростью
 p
компоненты мгновенной угловой скорости ω
в


ω  q
Oxyz
подвижной системе координат
r
 
Задача: построить уравнения движения тела в терминах p, q, r
Y
2. Выражение для
кинетического момента в ПСС
напоминание
KO  ri  mi vi   miri   ω  ri  
  mi ω ri  ri    miri ri  ω 
  mi ω  x 2  y 2  z 2    miri  xp  yq  zr 
KOx  p  mi  x 2  y 2  z 2    mi x  xp  yq  zr  
 p  mi  y  z
2
A
 KOx   A
 K    F
 Oy  
 K   E
 Oz  
2
  q  m xy  r  m xz
i
F
F E   p 
B  D   q 
 D C   r 
Если оси (x,y,z) главные (и только в этом случае)
i
E
Формула для раскрытия
двойного векторного
произведения
a  b  c 
 b  c  a  c  a  b
KOx  Ap  Fq  Er
KOy  Bq  Dr  Fp
KOz  Cr  Ep  Dq
KOx  Ap, KOy  Bq, KOz  Cr
3. Динамические уравнения
Эйлера
напоминание
Теорема об изменении кинетического момента
dK O
 Me 
dt
0 в неподвижной системе координат
реакции
dK O
 ω  K O  M e в подвижной системе координат
dt
i
j
 Ap  Fq  Er 
dK O 
p
q
  Bq  Dr  Fp  ω  K O 
dt
 Cr  Ep  Dq 
Ap 
Bq 


Ap  Fq  Er   C  B  qr  D  r 2  q 2   p  Fr  Eq   M xe
 Fp  Bq  Dr   A  C  rp  E  p  r
2
  q  Dp  Fr   M
  r  Eq  Dp   M
2
 Ep  Dq  Cr   B  A pq  F  q 2  p 2
e
y
e
z
da da

 ωa
dt dt
абсолютная
производная
относительная
производная
k
r
Cr 
Ap  C  B  qr  M xe
Bq   A  C  rp  M ye
Cr   B  A pq  M ze
Если оси (x,y,z) главные
4. Выражение для
кинетической энергии в ПСС
T
1
I  2
2
I
 A
I   l x l y lz    F
 E

напоминание
Изменяется во времени, т.к.
мгновенная ось перемещается
относительно тела
F
 E   lx 
B  D   l y    I ij li l j
i, j
 D C   lz 
li направляющие косинусы мгновенной оси вращения
lx 
T
p

, ly 
q

, lz 
r

,
1
Ap 2  Bq 2  Cr 2   Dqr  Epr  Fpq

2
Если оси (x,y,z) главные (и только в этом случае)
В общем случае КЭ не есть сумма КЭ трех вращений!
T
1
2 2

hz dm 

2
1 2 2
1
   hz dm  I z 2
2
2
T
1
Ap 2  Bq 2  Cr 2 

2
5. Динамические уравнения
Эйлера
Всюду далее считаем, что оси x,y,z направлены по главным осям тела для точки О
Ap  C  B  qr  M xe
Bq   A  C  rp  M ye
Cr   B  A pq  M ze
e
e
e
Моменты M x , M y , M z в правых частях динамических уравнений Эйлера
являются, вообще говоря, функциями эйлеровых углов, их производных и времени


 , , , , , , t 
 , , , , , , t 
M xe  M xe  , ,  ,  , ,  , t
M ye  M ye
M ze  M ze
Поэтому динамические уравнения Эйлера не являются замкнутой системой уравнений
относительно p, q, r Их нужно дополнить кинематическими уравнениями Эйлера,
связывающими p, q, r
с эйлеровыми углами
6. Эйлеровы углы и кинематические уравнения Эйлера
Плоскость Р проведена через оси x,y.
Линия узлов N – линия пересечения плоскостей P и OXZ
Угол прецессии  - угол между N и OX
Угол чистого вращения  - угол между N и Ox
Угол нутации  - угол между OZ и Oz
  P   Oz
  XOY
  zOZ
  OZ
  ON
z

y

X 

N x
ω     
ω  pi  qj  rk
Z

O
P
pi  qj  rk      
  k
   cos k  sin   sin  i  cos j
p   sin  sin    cos 
    cos  i  sin  j
q   sin  cos    sin 
r   cos   
Z
Y
7. Общая система уравнений Эйлера
движения ТТ вокруг неподвижной точки
Ap  C  B  qr  M xe
ДС
Bq   A  C  rp  M ye
Cr   B  A pq  M ze
p   sin  sin    cos 
+
q   sin  cos    sin 
КС
r   cos   
Преимущества системы уравнений Эйлера выражается в тех случаях, когда главные
моменты действующих сил не зависят от эйлеровых углов и их производных. В этом
случае ДС – независимая система относительно p, q, r
Наиболее простым и очень важным случаем является тот, когда момент внешних
сил относительно неподвижной точки равен нулю. Тогда говорят, что имеет место
случай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Случай Эйлера возможен, когда внешних сил нет совсем или тогда, когда внешние силы,
приложенные к телу, приводятся к равнодействующей, проходящей через неподвижную
точку.
8. Стационарное вращение в
случае Эйлера
Будем называть стационарным вращением такое движение твердого тела, при котором
его угловая скорость ω постоянна относительно неподвижной системы координат
При этом угловая скорость будет постоянна и в подвижной системе координат.
Д-во:
dω dω

 ωω
dt
dt
0
pqr0 
da da

 ωa
dt dt
C  B  qr  0  B  A pq  0  A  C  rp  0
Стационарное вращение тела может происходить только вокруг главной оси инерции
тела для точки О, причем величина угловой скорости тела может быть произвольной.
A B C
A B C
A B C
qr  0  pq  0  rp  0
q  p  0,
Ось z
r произвольна главная
p, q, r произвольны
Возможно когда две из величин р, q, r
равны нулю, а третья произвольна
Любая ось в
r0
p, q произв плоскости xy главная
Тензор инерции сферический и
любая ось главная
9. Устойчивость
стационарного вращения
Базовое состояние: стац. вращением твердого тела, вокруг одной из главных осей
pq0
rR
Пусть угловая скорость в начальный момент получила малые возмущения
p  0   p 0
q  0    q0
r  0  R   r 0

1
Предполагая отклик на возмущение малым, ищем решение в виде
p   p1
Ap  C  B  qr  0
Bq   A  C  rp  0
Cr   B  A pq  0
q   q1
r  R   r1
 Ap1    C  B  q1  R   r1   0
 Bq1    A  C  p1  R   r1   0
 Cr1   2  B  A p1q1  0
C  B  C  A 2

a
R
AB
d 2 p1
 ap1  0
2
dt
10. Устойчивость
стационарного вращения
d 2 p1
 ap1  0
2
dt
a
 C  B C  A R 2
AB
Если a  0 то решение выражается через тригонометрические ф-ии и остается малым
Если a  0 то решение выражается через экспоненты и неограниченно возрастает
Условие устойчивости
C  B C  A  0
Момент инерции относительно оси z не должен быть средним
неустойчив
2a
2b
2c
1
I  M  b2  a 2 
3

1
I  M  b2  c 2 
3

1
I  M  c2  a 2 
3
11. Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера
Тело называется динамически симметричным, если два его главных момента
инерции для точки О равны, например А = В. Ось Oz тогда называется осью
динамической симметрии.
Неподвижную систему координат OXYZ выберем так,
чтобы ее ось OZ была направлена по вектору К0. Для
проекций вектора К0 на оси Oxyz, имеем:
KOx  Ap  KO sin  sin 
KOy  Aq  KO sin  cos 
KOz  Cr  KO cos     const
0
Cr   B  A pq  0  r  r0 =const
p   sin 0 sin     K / A  const
O
q


sin

cos

КС
0
  =const
r0   cos 0  
напоминание
 Oz  OZ  ON
  2 угловая скорость прецессии
угловая скорость
 =1 собственного вращения
Тело вращается с угловой скоростью 1 вокруг своей
оси симметрии, а ось симметрии вращается с угловой
скоростью 2 вокруг вектора K O
12. Регулярная прецессия
Движение твердого тела вокруг неподвижной точки,
состоящее из его вращения вокруг оси, неизменно
связанной с телом, и движения, при котором эта ось
вращается вокруг пересекающей ее оси,
неподвижной в рассматриваемой системе отсчета,
называют прецессией. Прецессия называется
регулярной, если вращение тела вокруг неизменно
связанной с ним оси и вращение самой этой оси
происходят с постоянными по модулю угловыми
скоростями.
Z
  2
Динамически симметричное тело в случае Эйлера
совершает регулярную прецессию
z
 =1
KO
0
13. Первые интегралы в
случае Эйлера
2
2
2
KO  const  KO  KO  KOX
 KOY
 KOZ
 const
Длина вектора (в отличие от координат) не зависит от системы отсчета
2
2
2
KO  KOx
 KOy
 KOy
 const
2
2
2
KO2  KOx
 KOy
 KOy
 A2 p2  B2q2  C 2r 2  const
Ap  Ap  C  B  qr  0  p
A2 pp  B 2qq  C 2rr  0 Bq  Bq   A  C  rp  0 q
Cr  Cr   B  A pq  0 r
App  Bqq  Crr  0
Ap 2  Bq 2  Cr 2  const
2T
Другой способ: воспользоваться теоремой о сохранении энергии