"Решение задач с параметрами". 11 класс.

Рабочая программа
элективного курса по алгебре и началам анализа
«Решение задач с параметрами»
11 класс
Пояснительная записка
Рабочая программа элективного курса по математике «Задачи с параметрами» рассчитана на
учащихся 11-х классов, проявляющих интерес к предмету математика.
Рабочая программа элективного курса составлена на основе авторской программы «С.А.
Субханкуловой, «Задачи с параметрами», издательство «Илекса», 2010 г. и рассчитана на 34 часа (1
час в неделю).
Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического
образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к
продолжению образования.
Основным направлением модернизации математического школьного образования является
отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В
заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В),
встречаются задачи с параметрами. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к.
с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами
решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень
логического мышления учащегося и их математической культуры.
Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство
учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки.
Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.
В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для
старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».
Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение
приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов
школьной математики, уровня математического и логического мышления.
Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время
при подготовке к ЕГЭ. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием
знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического
мышления.
Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число
эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности,
применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи
играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у
школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно
справляются с другими задачами.
Цель курса:
 Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к
исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к
обучению в вузе.
 Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их
математических способностей, подготовку к ЕГЭ
 Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.
 Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.
Задачи курса:
 формирование у учащихся навыков решения уравнений и неравенств с параметром
различными способами;
 стимулирование исследовательской деятельности школьников;
 формирование логического и творческого мышления учащихся;
 повышение математической культуры;
 развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики;
 подготовка к итоговой аттестации и продолжению образования.
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения курса учащийся должен:
 усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с
параметрами;
 применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
 проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
 овладеть исследовательской деятельностью.
Задачи программы:
 познакомиться с понятиями «параметр», «уравнение с параметром», «неравенство с
параметром», «система уравнений с параметром», «система неравенств с параметром».
 различать условия параметрических задач;
 научиться решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с параметром
аналитическим и графическим способами;
 научиться математически грамотно оформлять решение задач с параметром.
Ожидаемые результаты
Учащийся должен знать:
 понятие параметра;
 что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и
неравенств с параметром;
 основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств
с параметром (линейных и квадратных);
 алгоритмы решений задач с параметрами;
 зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра
свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
 свойства функций в задачах с параметрами.
Учащийся должен уметь:

определять вид уравнения (неравенства) с параметром;

выполнять равносильные преобразования;

применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с
параметром;

осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;

выбирать и записывать ответ;

решать линейные, квадратные уравнения и неравенства; несложные иррациональные,
тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним
параметром при всех значениях параметра.
 применять аналитические и геометрические приёмы к решению задач части «С» Единого
государственного экзамена.
Учащийся должен владеть:

анализом и самоконтролем;

исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или
качественные формы.
Изучение данного курса дает учащимся возможность:

повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

освоить основные приемы решения задач;

овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
2






повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной
активности;
познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе
Интернет-ресурсов;
усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с
параметрами;
применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
овладеть исследовательской деятельностью.
Формы работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная.
Методы работы: исследовательский и частично-поисковый.
Виды деятельности на занятиях: лекция, беседа, практикум, консультация, работа с
компьютером.
При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные
методические принципы:

принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем,
постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с
различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и
исследовательской работы;

принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать
регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально
исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на
уроках.

принцип последовательного нарастания сложности.
Система оценки достижений учащихся: административной проверки материала курса не
предполагается. Оценка знаний и умений обучающихся проводится с помощью итогового
теста, который включает в себя задачи с параметрами из вариантов ЕГЭ.
Программа курса “Задачи с параметрами” общим объемом 34 часа изучается в течение
одного учебного года.
Содержание курса
Тема 1. Основные методы решения задач с параметрами.
Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений
уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с
параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно
параметра.
Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к
параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.
Тема 2. Линейные уравнения, неравенства и их системы.
Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром.
Решение линейных неравенств с параметром. Параметр и количество решений системы линейных
уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных
неравенств с параметром.
Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в
зависимости от значений параметра. Выработать навыки решения стандартных неравенств и
приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.
Тема 3. Квадратные уравнения.
Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с
параметром. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром.
3
Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к
исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с
параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”)
Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из
которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”).
Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.
Тема 4. Квадратные неравенства.
Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с
параметром второго типа. Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.
Цель: Выработать навыки решения стандартных квадратных неравенств методом интервалов
Тема 5. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.
Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченности
функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии
аналитических выражений.
Цель: Формировать умение и навыки решения уравнений и неравенств с параметрами с помощью
графиков, решение рациональных уравнений. Формировать умение и навыки решения уравнений и
неравенств с параметрами с помощью свойств функции.
Тема 6. ЕГЭ на 100 баллов.
Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Решение логарифмических
уравнений, неравенств с параметром. Решение задач на нахождение области определения функции
с параметром.
Цель: успешно сдать экзамен на ЕГЭ
Календарно-тематическое планирование.
1.
1.1.
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Название темы
Колво
часов
Тип
занятия
Основные методы решения задач с параметрами
Задачи с параметром. Первое знакомство.
Типы задач с параметрами.
Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их
систем (ветвление).
Аналитический метод решения задач с параметрами.
Геометрический метод решения задач с параметрами.
Метод решения относительно параметра.
6
1
1
1
Лекция
Лекция
Практикум
1
1
1
Практикум
Практикум
Семинарпрактикум
Линейные уравнения, неравенства и их системы.
Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.
Решение линейных уравнений с параметром.
Решение линейных неравенств с параметром.
Параметр и количество решений системы линейных
уравнений.
Решение систем линейных уравнений с параметром.
Решение систем линейных неравенств с параметром.
Квадратные уравнения.
Свойство квадратного трехчлена.
Алгоритмическое предписание решения квадратных
уравнений с параметром.
Применение теоремы Виета при решении квадратных
уравнений с параметром.
Расположение корней квадратичной функции относительно
заданной точки.
Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней
квадратичной функции.
6
1
1
1
1
Лекция
Практикум
Практикум
Лекция
1
1
9
1
1
Практикум
Практикум
1
Практикум
1
Практикум
1
Практикум
Семинар
Практикум
4
3.6
3.7
4.
4.1
4.2
4.3
5.
5.1
5.2
5.3
6.
6.1
62
6.3
Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (
“для каждого значения параметра найти все решения
уравнения.”)
Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все
значения параметра при каждом из которых уравнение
удовлетворяет заданным условиям”)
Квадратные неравенства.
Решение квадратных неравенств с параметром первого типа.
Решение квадратных неравенств с параметром второго типа.
Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.
Аналитические и геометрические приемы решения задач
с параметрами.
Использование графических иллюстраций в задачах с
параметрами.
Использование ограниченности функций, входящих в левую
и правую части уравнений и неравенств.
Использование симметрии аналитических выражений.
ЕГЭ на 100 баллов.
Решение тригонометрических уравнений, неравенств с
параметром.
Решение логарифмических уравнений, неравенств с
параметром.
Решение задач на нахождение области определения
функции с параметром.
Заключительное повторение
Итого
2
Практикум
2
Практикум
6
2
2
2
3
Практикум
Практикум
Практикум
1
Практикум
1
Практикум
1
3
1
Практикум
1
1
1
34
Семинар практикум
Семинар практикум
Семинар практикум
Тест
Рекомендации для обучающегося.
Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для
конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте
на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что
подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь
решения задачи.
При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими
интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части
рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям
уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений
или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих
рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ
задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.
Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и
достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного
трехчлена на числовой оси.
Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится
к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных
случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть
отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз
внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.
Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать
приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для
самостоятельного решения.
Список литературы для учителя
1.
Амелькин, В.В Задачи с параметрами [Текст]: учебное пособие / В.В. Амелькин, Н.Л.
Рабцевич. – Минск: Яхонт, 1996 – 313 с.
5
2.
Габович, И.Г. Сколько корней имеет уравнение? [Текст]: учебное пособие / М. Квант, 1985 –
264 с.
3.
Гольдич, В.А. 3000 задач по алгебре 5 – 9 [Текст]: книга для учителя / В.А. Гольдич – М.:
Eksmo Education, 2009. – 352 с.
4.
Горнштейн, П. И., Полонский В.Б. Необходимые условия задач с параметрами [Текст] / М.
Квант, 1991 – 272 с.
5.
Лепёхин, Ю.В. Задания для подготовки к олимпиадам. Математика 7-8 [Текст]: пособие для
преподавателей / Волгоград: Учитель, 2010 – 296 с.
6.
Колесникова, С.И. Математика. Решение сложных задач Единого Государственного экзамена
[Текст] / С.И. Колесникова – М.: Айрис-пресс, 2007- 213 с.
Список литературы для ученика
1.
Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие / М.Л.
Галицкий. – М.: Просвещение, 1997. – 271 с.
2.
Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: учебное пособие / П.И. Горнштейн. – М.:
Илекса, 2003. – 336 с.
3.
Ткачева, М.В. Сборник задач по алгебре [Текст]: книга для учащихся 7-9 кл. образовательных
учреждений / М.В. Ткачева. – М.: Просвещение, 2007. – 207 с.
4.
Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач [Текст]: учебное пособие
/ И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.
5.
Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст]: учебное пособие / Г.А. Ястребинецкий. –
М.: Просвещение, 1986. – 128 с.
Интернет-ресурсы:
http://www.ctege.org/razdel.php?s=&razdelid=239 – книги для подготовки к ЕГЭ
http://www.ege.edu.ru/,
http://site-infocenter.ru/, http://www.fipi.ru, http://4ege.ru/, http://uztest.ru/exam
http://alexlarin.narod.ru/ege.html,
http://zadachi.mccme.ru/, work/JavaScript/treenow.htm, http://www.allmath.ru/
6