Уравнения

Уравнения
Задача 1. Решить неравенство х+у2+ x  y 2  1 1.
Решение. Неравенство имеет смысл при всех х и у таких, что х - у2 - 10
или х2у2+11.
Учитывая, что х1, у20, x  y 2  1 0, приходим к выводу, что х+у2+
x  y 2  1 1. Но тогда с учетом условия задачи решение исходного неравенства
сводится к решению уравнения х+у2+ x  y 2  1 =1, которое, очевидно,
 х  1,
равносильно системе  у  0,
 х  у 2  1  0.

Решением системы являются х=1, у=0.
Ответ: х=1, у=0
Задача 2. Решить уравнение х6 - 7х2+ 6 =0.
Решение. Преобразуем исходное уравнение х6 - 7х2+ 6 =х6 - 6х2 - ш2+ 6 =
=х2(х4 - 6)- (х2 - 6 )=х2(х2+ 6 )(х2 - 6 ) - (х2 - 6 )=(х2 - 6 )(х2(х2+ 6 ) - 1)=
=(х2 - 6 )((х2)2+ 6 х2 - 1)=0.
Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности
уравнений:
10  6
2
 х 2  6  0,
 2 2
2
( х )  6 х  1  0.
, х4 = -
10  6
2
Решая ее, получим, что х1=  4 6 , х2= 4 6 , х3=
.
10  6
2
Ответ: х1=  4 6 , х2= 4 6 , х3=
3
x
Задача 3. Решить уравнение (log 3 )(log 2 x)  log 3
x3
3

, х4 = -
10  6
2
.
1
 log 2 x .
2
Решение. Область допустимых значений переменной х – это все x>0. При
1
2
таких х данное уравнение равносильно уравнению (1  log 3 x) log 2 x  3 log 3 x  =
1 1
  log 2 x . Перейдем в последнем уравнении во всех логарифмах к основанию
2 2
log x
1 log x
(1  log 3 x) 3  3 log 3 x =  3
3.
Имеем:
и,
следовательно,
log 3 2
2 log 3 2
1
log 3 x(  log 3 x  3 log 3 2)  0 . Отсюда приходим к совокупности уравнений
2
1
log 3 x  0,
3 log3 2
3
2

3
.
Решая
которую,
находим,
что
х
=1,
х
=
= .
1
1
2
log
x


3
log
2

0
8
 3
3
2

Ответ: х1=1, х2=
3
8


3
3
5
2
Задача 4. Решить уравнение cos 2( x  )  4 sin( x  )  .

, то исходное уравнение равносильно
2


5
уравнению 1  2 sin 2 ( x  )  4 sin( x  ) =
и, следовательно, уравнению
3
3
2


3

3

1
2 sin 2 ( x  )  4 sin( x  )  =0, а также уравнению (sin( x  )  )(sin( x  )  )  0 ,
3
3
2
3
2
3
2

1
которое, в свою очередь, равносильно уравнению sin( x  )  . Решая это
3
2


уравнение, находим, что х( - 1)n - +n, nZ.
6
3
Решение. Так как 1 - cosα=2 sin 2

6

3
Ответ: х( - 1)n + (3n - 1), nZ
cos 𝛼 + cos 𝛽 = √3,
Задача 5. Решите систему уравнений: {
.
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 1

Решение. Рассмотрим два единичных вектора e1{cos  , sin  } и

 
e2 {cos  , sin  } . Левые части уравнений – это координаты суммы (e1  e2 ) . С
 
другой стороны у вектора (e1  e2 ) координаты
3,1 . Найдем длину этой
2
 
3  12  3  1  4  2 .
суммы: e1  e2 


Из этого следует, что векторы e1 и e2 – равные, значит, равны и их
координаты: cos  cos  ; sin   sin  . Поэтому система сводится к уравнению

3
,     2k , k  Z .
2 cos  3 , cos 
2
6


 
Аналогично находим : 2 cos   3    

6
 2n, n  Z .


Ответ:    2 cos
k, k 3 Z;     2n, n  Z
 2
6
6
𝑥 4 + 𝑦 4 = 1,
Задача 6. Найти все решения системы {
.
𝑥+𝑦 =1
Решение. Из первого уравнения следует, что |x|1 и |y|1. Поскольку
x+y=1 то 0x1 и 0y1.
Если x и y одновременно больше нуля, то каждое из них строго меньше
единицы. Тогда 1  x 4  y 4  x  y  1 чего не может быть.
В оставшихся случаях получаем пары решений x=0, y=1; x=1, y=0.
 x  y  x 1
Задача 7. Найти все решения системы  x 2  y 2  z 2  1 .
 x3  y 3  z 3  1

Решение. Заметим, что из x  y  z  1  x 2  2 xy  y 2  1  2 z  z 2 .
Поэтому 2 xy  1  2 z  z 2  x 2  y 2  1  2 z  z 2  ( z 2  1)  2 z 2  2 z .
Следовательно, 1  z 3  (1  z)(1  z  z 2 ) ,
1  z 3  x 3  y 3  ( x  y)( x 2  xy  y 2 )  (1  z )(( x  y) 2  3xy) 
 (1  z )((1  z ) 2  3z 2  3z )  (1  z )(1  z  2 z 2 ).
Для z=1 из второго уравнения исходной системы немедленно следует, что
x=y=0.
В случае z  1 1  z  z 2  1  z  2 z 2  3z 2  0  z  0 .
 x  y 1
 x 2  (1  x) 2  1  2 x 2  2 x  0.
2
2
x

y

1

При этом 
Если x=0, то y=1. Если x=1, то y=0. Окончательно находим, что x=1, y=0,
z=0; x=0, y=1, z=0; x=0, y=1, z=0 - все решения системы уравнений.
𝑥 6 + 2𝑦 6 + 3𝑧 6 = 1,
Задача 8. Решить систему уравнений { 4
.
𝑥 + 2𝑦 4 + 3𝑧 4 = 1
Решение. Из уравнений следует, что |x|1. Если |x|=1, то y=z=0. Пусть
|x|<1. Поскольку |y|<1 и |z|<1, то 1=x4+2y4+3z4>x6+2y6+3z6=1. Мы получили
противоречие.
Следовательно, x=1, y=0, z=0; x= - 1, y=0, z=0 - все решения системы.
Задача 9. Найдите все значения числового параметра а, при которых
корни уравнения (𝑎 + 1)𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 3 = 0 положительны.
Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем при
а= - 1 является х=1. Подходит.
Если а - 1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни
положительны тогда и только тогда, когда выполняется
.
С учетом первого случая получаем ответ a[ -1; - 3/4].
Ответ: a[ -1; - 3/4]
Задача 10. Найти наименьшее
х +2у +у2+xy - xz - yz=1 имеет решение.
2
х,
при
котором
уравнение
2
Решение. Перепишем уравнение в виде z2 - (x - y)z+x2+2y2+xy - 1=0.
Это квадратное относительно z уравнение имеет решение, если
дискриминант
х2+2ху+у2 - 4х2 - 8у2 - 4ху+4= - 3х2 - 7у2 - 2ху+40
или
2
2
7у +2ху+3х - 40.
Полученное квадратное относительно у неравенство имеет решение, если
дискриминант его левой части неотрицателен, т.е. если 4(х2 - 21х2+28)0 или
7
если 5х2 - 70. Отсюда следует, что искомым значением х является −√ .
5
Ответ: х=−√
7
5
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 + 2𝑥5 = 1,
𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 4𝑥4 + 4𝑥5 = 2,
Задача 11. Решить систему 𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 6𝑥4 + 6𝑥5 = 3,.
𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 7𝑥4 + 8𝑥5 = 4,
{ 𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 7𝑥4 + 9𝑥5 = 5
Решение. Запишем сначала первое уравнение, потом второе, из которого
вычтено первое, потом третье, из которого вычтено второе, и т.д.:
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 + 2𝑥5 = 1,
𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 + 2𝑥5 = 1,
𝑥3 + 2𝑥4 + 2𝑥5 = 1,
.
𝑥4 + 2𝑥5 = 1,
𝑥5 = 1
{
Теперь можно последовательно найти x5, x4, x3, x2, x1.
Ответ: x1=x3=x5=1, x2=x4= - 1
Задача 12. Докажите, что уравнение xy=2006(x+y) имеет решения в
целых числах.
Решение: Преобразуем уравнение к следующему виду: (х – 2006)(у 2006) = 20062. Уравнение имеет решения, например, х=у=4012.
Задача 13. Докажите, что уравнение x4–4x3+12x2–24x+24=0 не имеет
решений.
Решение. Уравнение x4–4x3+12x2–24x+24=0 преобразовать к виду (x2–
2x)2+8(x–1,5)2+6=0, которое не имеет решений.
Задача 14. Решите уравнение (x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=1320.
Ответ: -8; 6.