Лекция 14. Колебания © Музыченко Я.Б., 2011

Лекция 14.
Колебания
© Музыченко Я.Б., 2011
Типы колебаний
Колебания – периодические (квазипериодические)
процессы, повторяющийся через одинаковые
промежутки времени.
Гармонические колебания – процессы, при которых
колеблющаяся величина меняется по закону sin или
cos.
Свободные колебания
Вынужденные колебания
Автоколебания
(Не) затухающие колебания
По природе возникновения различают механические
и электромагнитные колебания.
2
2
Характеристики колебаний
Гармоническое колебание:
x  x0 cos( t  0 )
Амплитуда x0
Период Т
1 2
T 
f

3
Частота колебаний f
Циклическая
(круговая)
частота ω
Начальная фаза 0
3
Механические колебания
Гармонический осциллятор – система, совершающая
колебания под действием (квази)упругой силы.
x(t )  x0 cos( 0t  0 )
Скорость движения колеблющейся
точки:
(t )   x00 sin( t  0 )
Ускорение:
II закон Ньютона:
a(t )   x002 cos(t  0 )
F (t )  ma(t )  m02 x(t )
4
Уравнение свободных
колебаний:
2
x  0 x  0
4
Пружинный маятник
2
m
Т
 2

k
Математический маятник
Математический маятник – механическая
система, состоящая из материальной точки,
подвешенной на невесомой нерастяжимой
нити длиной l и совершающая колебания в
однородном поле сил тяжести.
l
Т  2
g
Физический маятник
5
I
Т  2
mgl'
I – момент инерции;
l‘ – расстояние от оси вращения до
центра масс.
5
Превращения энергии при свободных
механических колебаниях
При
гармонических
колебаниях
происходит
периодическое превращение кинетической энергии в
потенциальную и наоборот.
m2 kx 2
E мех  Eк  Eп 

2
2
m2max kx02

2
2
6
k
max 
x0
m
6
Электромагнитные колебания.
Колебательный контур
UC  S
q
dI
L 0
C
dt
...
2
q  0 q  0
7
0 
1
LC
собственная
частота колебаний
7
Аналогии между LC контуром и пружинным
маятником (гарм. осциллятором)
Механические
величины
Электромагнитные величины
x
υ
q
I
kx 2 / 2
q 2 / 2C
m2 / 2
LI 2 / 2
Уравнение свободных колебаний
2
x  0 x  0
2
q  0 q  0
Собственная частота колебаний
8
k
0 
m
0 
1
LC
8
Решение уравнения свободных колебаний для LC контура:
q (t )  q0 cos( t  0 )
q
U (t )   U 0 cos(t  0 )
C
Сила тока в цепи:
I (t )  q0 sin(t  0 )
Период незатухающих свободных колебаний (формула
Томсона):
9
2
T
 2 LC
0
9
Свободные затухающие колебания. LCR контур
Рассмотрим реальный контур с сопротивлением R:
RI  U   S
d 2q
dq q
L
R  0
2
dt C
dt
R
1
q  q 
q0
L
LC
q  2q  02q  0
10
R

2L
- коэффициент затухания колебаний.
10
Свободные затухающие колебания. LCR контур
Решение уравнения свободных затухающих колебаний:
q(t )  q0e
t
cos(t  0 )
где ω - собственная частота:

2
2
0  
Период свободных затухающих колебаний:
T
11
2
02  2

T0
  

1  
 0 
2
11
Характеристики затухающих колебаний
Время релаксации τ – время за которое амплитуда
колебаний уменьшается в e (~ 2.7) раз.
Коэффициент затухания β
R 1


2L 
Логарифмический декремент затухания λ
A(t )
  ln
 T
A(t  T )
При малых затуханиях (2  02 )
12
2
  T0  
0
12
Характеристики затухающих колебаний
Добротность колебательного контура Q – отношение
запасенной энергии в контуре к энергии, теряемой
системой за один период.
W (t )
W
Q  2
 2
W (t  T )  W (t )
W

Q

При малых затуханиях (2  02 )
13

0
Q

T0 2
13
Вынужденные колебания
- колебания под действием внешней периодической силы.
dI
q
L  RI   0 cos(t )
dt
C
0
2
q  2q  0q  cos(t )
L
R

2L
0 
14
- коэффициент затухания колебаний
1
LC
- собственная частота колебаний
14
Резонансные кривые
- графики зависимостей амплитудных значений q, I, U от
частоты внешней вынуждающей силы.
1
 рез  0 
LC
15
15