7 класс, Головастик

Зимний «Головастик» - 2016
7 класс, разная геометрия
1. В остроугольном треугольнике ABC с углом A = 60 проведены
биссектриса AL, медиана BM и высота CH. Докажите, что LM = LH.
2. Может ли каждая из диагоналей выпуклого пятиугольника быть
меньше противоположной стороны?
3. В треугольнике стороны AB и AC равны. Медианы BN и CM
пересекаются в точке O. NBC = 20. Чему равен NCО?
4. В пятиугольнике ABCDE угол A равен 60, а остальные углы равны
между собой. Докажите, что AB=ED+DC.
5. Пусть AM медиана треугольника ABC, точка P середина медианы
AM. И пусть луч BP пересекает сторону AC в точке N. Найдите углы
треугольника ABC, если известно, что NP– биссектриса угла ANM и
BAC =NMC.
6. В остроугольном треугольнике ABC проведены высота AH, медиана
BM и биссектриса CL. Точки пересечения этих трех линий образуют
треугольник. Может ли этот треугольник быть правильным?
7. В треугольнике ABC биссектриса AL равна стороне AC. Докажите,
что A < 120
8. Дан прямоугольник ABCD, у которого AB > BC. На стороне AB
отмечены точки K и L такие, что K лежит между A и L и KL = BC.
Докажите, что KD+LC < 0,5P.
9. На стороне CD трапеции ABCD (AD || BC) отмечена точка E такая,
что BC = DE, EAD = 70, BEC = 50. Докажите, что AD+CE > AE.
10. Вершины замкнутой несамопересекающейся ломаной совпадают
с вершинами куба. Доказать, что у этой ломаной существует 4 звена
одинаковой длины.
Зимний «Головастик» - 2016
7 класс, треугольник Паскаля
1. Докажите, что
С n0  С n1  ...  С nn 1  С nn  2 n
.
2. Докажите, что𝐶𝑛0 − 𝐶𝑛1 + 𝐶𝑛2 − ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 = 0.
3. Докажите, что: а) каждое число С в треугольнике Паскаля равно сумме чисел предыдущей
правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом С; б)
аналогично, с заменой правой диагонали на левую, и наоборот.
4. Докажите, что
C   C 
0 2
n
1 2
n
 
 ...  C nn
2
 C 2nn
5. Докажите, что каждое число треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех
чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на
пересечении которых стоит число С (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не
включаются).
6. Докажите, что из n предметов нечетное число предметов можно выбрать 2n–1 способам
7. Сколько слагаемых будет в выражении (a+b)n после раскрытия скобочек, но до приведения
подобных? После приведения подобных?,
8. а) Некто раскрывает скобочки в выражении (x+y)25. Какой коэффициент у него будет при
слагаемом x10y15? б) Докажите, что коэффициенты, которые получились у Арагорна при
раскрытии (x+y)25, в точности составляют 25-ю строку треугольника Паскаля.
9. а) Сколькими способами можно переставить буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?
б) В выражении (М+А+Т+Е+Р+И+К)10 раскрыли скобки и
привели подобные. Какой будет коэффициент при слагаемом
М2А3Т2Е1Р0И1К1?
1
10. Вырежем в бесконечной прямоугольной таблице 1
некоторые клетки так, как показано на рисунке (вырезанных 1
клеток бесконечно много). Остальные клетки заполним по
1
принципу треугольника Паскаля: число в каждой клетке есть
сумма соседей сверху и слева (числа в вырезанных клетках ...
считаем равными нулю). Докажите, что слева от вырезанной
клетки стоит всегда вдвое большее число, чем сверху.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2
1 2 3 4 5 6 7 ...
3 3 4
3 7 12 18 25 ...
4 7 11 11 14
12 30 55 ...
5 12 23 34 48 48 60
55 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
11. Имеется сеть дорог в виде квадратной сетки. Из ресторана в левой нижней точке вышло 2048
человек. Выйдя на улицу, группа разделилась – половина пошла вверх, половина – направо. На
следующем перекрестке каждая группа опять разделилась ровно пополам, и половина пошла
вверх, половина – направо. Все идут равномерно с одной скоростью. Сколько человек встретится
на правой верхней точке квадрата 5×5?
12. Из ресторана вышла толпа в 4096 человека. Ровно половина из них пошла направо, а
половина – налево. Через полчаса каждая группа разделилась пополам – половина пошла
дальше, а половина повернулась обратно. Так происходило каждые полчаса. Найдите, сколько
народу будет в каждой точке дороги через 4 часа (все идут с одинаковой скоростью, 2 км/ч)