Ухтинский техникум железнодорожного транспорта филиал

Ухтинский техникум железнодорожного транспорта
филиал федерального государственного образовательного бюджетного учреждения
высшего профессионального образования
«Петербургский государственный университет путей сообщения»
Рассмотрено
на заседании цикловой комиссии
«Математических и общих естественнонаучных дисциплин»
Председатель_________Е.Н. Козлова
Протокол №10 от 28 мая 2012 г.
Утверждаю
И.о.директора УТЖТ – филиала ПГУПС
__________Т.М. Коротаева
28 мая 2012 г.
Примерные теоретические вопросы
для вступительных испытаний по математике в 2012 году
на базе основного общего образования.
1.Формулы сокращенного умножения
2.Свойства степени с натуральным и рациональным показателем.
3. Свойства и график квадратичной функции, обратной пропорциональности, линейной
функции.
4.Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Основное свойство дроби.
5. Арифметические действия над обыкновенными дробями.
6. Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней.
7.Одночлены и операции над ними.
8.Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду.
9.Разложение многочленов на множители.
10. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
11. Четные и нечетные функции.
12. Линейные уравнения.
13. Полные квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения, формула корней
квадратного уравнения. Теорема Виета.
14. Графическое решение уравнений.
15.Системы двух уравнений с двумя неизвестными.
16. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки, методом
сложения, методом введения новых переменных, графическим методом.
17. Линейные неравенства с одной переменной. Системы неравенств с одной переменной.
18. Неравенства второй степени. Графическое решение неравенств второй степени.
19.Решение рациональных неравенств методом интервалов.
20. Определение арифметической прогрессии. Формула 𝑛- го члена арифметической
прогрессии. Формулы суммы 𝑛 первых членов арифметической прогрессии.
21. Определение геометрической прогрессии. Формула 𝑛- го члена геометрической
прогрессии. Формулы суммы 𝑛 первых членов геометрической прогрессии.
22.Угол. Виды углов. Измерение углов.
23.Смежные и вертикальные углы.
24. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых.
25. Окружность. Касательная к окружности. Длина окружности. Площадь круга.
26.Треугольник. Признаки равенства треугольников. Признаки подобия треугольников.
Виды треугольников. Медиана, биссектриса и высота треугольника. Свойства
равнобедренного треугольника. Свойства прямоугольного треугольника. Теорема
Пифагора. Формулы площади треугольника.
27 .Вписанная и описанная окружности.
28.Параллелограмм. Признаки и свойства параллелограмма. Площадь параллелограмма.
29. Прямоугольник, ромб, квадрат. Свойства, формулы площади.
30. Правильные многоугольники.
31. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
32.Теорема синусов. Теорема косинусов.
Рекомендуемая литература:
1. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват.
учреждений. – М.: Просвещение,2008.
2. А. Г. Мордкович и др. Алгебра: 7кл., 8кл., 9кл.,в двух частях.- М.:Мнемозина,2008
3. В.А. Гусев, А.Г. Мордкович и др. Алгебра и геометрия: справочные материалы: М.: Просвещение, 2004
Ухтинский техникум железнодорожного транспорта
филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Петербургский государственный университет путей сообщения»
Рассмотрено
Утверждаю
на заседании цикловой комиссии
И.о.директора УТЖТ – филиала ПГУПС
«Математических и общих естественно__________Т.М. Коротаева
научных дисциплин»
Председатель_________Е.Н. Козлова
28 мая 2012 г.
Протокол №10 от 28 мая 2012 г.
Примерные практические задания
для вступительных испытаний по математике в 2012 году
на базе основного общего образования.
Разложите на множители:
a 3  ab  a 2b  a 2 ; 16 x 2  24 xy  9 y 2  4 x  3 y; a  3b  9b 2  a 2 ; a 2  9b 2  12bc  4c 2 ;
Сократите дробь:
b2  a2
3 x 2  7 x  2 16a 2  8a  1
;
; 2
;
2  6x
1  4a  x  4ax a b  2b  ab 2  2a
Упростите выражение:

y
1   x  y
y   1
a   b 2
b 


:

;



;


 x 2  xy x  y   x 2  xy xy  y 2   a  b b 2  ab   a 3  ab 2 a 2  ab 

 



3c  21
2c 
c
5 3
5 3
 2
 2

;

;


5 3
 c  2 c  c  6 c  3  2c  5 5  3
8  100 n
2 2n1  5 2n2
;
3  2 3 2  4  2 3 2 ;
3 1 
3 1
Найдите значение выражения:
1
a a 1


a a 1

1
при a=0,9
a
Решить уравнение:
3  2x6x  1  2x  32 ; x 3  3x 2  2x  6  0; x 4  2x 2  8  0;
6 x
3x 2  12

 x 2  3x
 x 2  3 x

2
x5
x
50
 3 
 4   10  0;
 1;

 2
; 
 2

x2
x  5 x  5 x  25  2


4x  8
x 4
2
 2 x  5  0; x 4  x 3  x  1  0;
5 x  y   4 x  y   8 y  3 x  x  1

Решите систему уравнений:  x  y x  y
;y 3

3
 2
 x 2  y 2  50
6

Вычислить координаты точек пересечения парабол: y  3x 2  8x  2 и y  x 2  4 ;
y  2x 2  6x  1 и y  x 2  2x
Решить неравенства: 4 
3 x 13 1
6x  8
  4 x  3;
 0; x 2  2 x  1  0;
2
8 6
4x  3
Составить квадратное уравнение по его корням: x1  2  2;
x2  2  2.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат: y  x 2  2 x  3;
Вычислить значения cosα, tgα и ctgα, если: sin a  0,6,
Определить знак выражения:
a   ; 3 / 2
sin 205  cos 275 sin 235  ctg 215
;
tg 200  ctg105 tg 2 95  cos 2 265
Выполнить действия:
 4  ; 322 / 5  0,5  
 1/ 4  1   0,25
  3 / 2  4
 2 2
4
2
 


 
0
 1
253     
  5
2
 2
 
 3
4
3
 3
  ;
 2

2 8  7 18  5 72  50 ; 2 18  3 8  3 32  50 ; sin 0  cos 60  3tg 45
2 sin 30  tg 45  2ctg 45  cos 90 .
Задачи по геометрии:
1.В треугольнике со сторонами 25 см и 40 см проведена биссектриса угла между данными
сторонами. Она делит третью сторону на отрезки, меньший из которых равен 15
см.Найдите периметр треугольника.
2.Расстояния от точки окружности до концов ее диаметра равны 18 см и 24 см. Найдите
радиус окружности.
3.Две стороны треугольника равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 60°. Найдите
периметр треугольника.
4.Хорда длиной 4√2 см стягивает дугу 90°. Найдите длину окружности.
5.Одна из сторон параллелограмма в 3 раза больше другой, а угол между ними равен
30°.Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см2 .
6.Найдите углы ромба, периметр которого равен 24 см, а площадь 18 см2 .
7.Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которых равны 15 см и33 см, а
диагонали являются биссектрисами острых углов.
8.Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ,
если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
9.Средние линии прямоугольного треугольника, параллельны катетам, равны 5 см и 12 см.
Найдите высоту треугольника(ℎ), опущенную из вершины прямого угла. В ответе
запишите 13ℎ.
10.Она из сторон треугольника равна 7 см, разность двух других сторон равна 5 см, а угол
между ними 60°.Найдите периметр и площадь треугольника.
Рекомендуемая литература:
1. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват.
учреждений. – М.: Просвещение,2008.
2. А. Г. Мордкович и др. Алгебра: 7кл., 8кл., 9кл.,в двух частях.- М.:Мнемозина,2008
3. В.А. Гусев, А.Г. Мордкович и др. Алгебра и геометрия: справочные материалы: М.: Просвещение, 2004