Решение заданий по математике 1 тур 2015-2016

Решения заданий по математике
олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 8 классов 2015-16 уч. год
I тур.
Задача 1. Малыш и Карлсон съели 75% всего запаса варенья, причем на
долю Малыша пришлось лишь 4% съеденного варенья. Сколько процентов
от общего запаса варенья съел Карлсон?
Решение:
Карлсон съел 96% съеденного варенья, что составляет от общего запаса
варенья 0,96*0,75=0,72 или 72 процента.
Ответ.72%.
Задача 2. Приведите пример двухзначного числа, которое при делении на
цифру его единиц даёт в частном 9, а в остатке 4.
Решение:
….. Пусть число десятков в данном числе х, а число единиц у. Тогда
двузначное число можно записать 10х+у.
По условию задачи 10х+у=9у+4, где х,у – это цифры, принимающие значения
от 1 до 9, у>4. Этому условию удовлетворяют х=6; у=7.
Ответ.67.
Задача 3. Бак, полностью заполненный водой, разлили поровну в три
бидона. При этом оказалось, что первый бидон заполнен водой на половину,
второй — на 2/3, третий — на 3/4. Бак и все три бидона вмещают целое число
литров. При каком наименьшем объёме бака (в литрах) возможна такая
ситуация?
Решение:
Пусть объём бака t литров, объёмы бидонов соответственно равны х, у, z
t
х t
2у t
3z
2t
t
4t
литров, тогда = ; = ; = . Откуда получаем х = ; у = ; z = .
3
2 3
3 3
4
3
2
9
Следовательно, t это наименьшее целое число, которое кратно 2 и 9, при этом
числа х, у, z должны быть целыми. Таким числом является 18.
Ответ.18 л.
Задача 4. Пете предложено два задания с выбором ответа. В каждом
задании 5 вариантов ответов. Верным является только один из них. Какова
вероятность, что Петя даст верный ответ хотя бы на одно задание, если он
выбирает ответы наугад.
Решение:
1
…..Вероятность того, что Петя даст верный ответ одной задачи равна ,
4
5
вероятность неверного ответа равна . Вероятность неверного ответа на два
4
4
16
5
5
25
задания равна × =
5
, тогда вероятность, что Петя даст верный ответ хотя
16
9
бы на одно задание равна 1− = = 0,36.
25
25
Ответ. 0,36.
Задача 5. Диагональ прямоугольной трапеции и её боковая сторона равны.
Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 3 см, а боковая
сторона равна 5 см.
Решение:
…..По теореме Пифагора находим длину меньшего основания 4см, длина
большего основания в 2 раза больше и равна 8см. Таким образом, средняя
линия равна 6см.
Ответ. 6 см.
Решения заданий по математике
олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 9 классов 2015-16 уч. год
I тур.
Задача 1. Квадратное уравнение, с корнями в 4 раза больше корней
уравнения х2 +х−3=0 имеет вид х2 − bх+c=0. Найти −с+5b.
Решение:
Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения х2 +х−3=0, тогда по теореме
Виета х1 + х2 = −1, а х1 ˑ х2 = −3.
Пусть х̃1 и х̃2 корни квадратного уравнения х2 − bх+c=0, тогда х̃1 =4х1 и
х̃2 =4х2 . По теореме Виета 4х1 +4х2 = b; 4х1 ˑ4 х2 =с.
Откуда находим, что b=−4; с=−48.
Значит, −с+5b=28.
Ответ. 28.
Задача 2. Бак, полностью заполненный водой, разлили поровну в три
бидона. При этом оказалось, что первый бидон заполнен водой на половину,
второй — на 2/3, третий — на 3/4. Бак и все три бидона вмещают целое число
литров. При каком наименьшем объёме бака (в литрах) возможна такая
ситуация?
Решение:
Пусть объём бака t литров, объёмы бидонов соответственно равны х, у, z
t
х t
2у t
3z
2t
t
4t
литров, тогда = ; = ; = . Откуда получаем х = ; у = ; z = .
3
2 3
3 3
4
3
2
9
Следовательно, t это наименьшее целое число, которое кратно 2 и 9, при этом
числа х, у, z должны быть целыми. Таким числом является 18.
Ответ.18 л.
Задача 3. Найти наименьшее целое значение a, при котором абсцисса
𝒂
7
всех общих точек графиков функций 𝑓(𝑥) = , g(𝑥) = 2
отрицательна.
4𝑥
𝑥 −10𝑥
Решение:
Абсциссы общих точек графиков удовлетворяют уравнению
𝒂
4𝑥
10𝒂+𝟐𝟖
=
7
𝑥 2 −10𝑥
,
где х ≠ 0; х ≠ 10. Отсюда находим, х(ах−10а−28)=0, х =
< 0.
𝒂
Решением этого неравенства является промежуток (−2,8; 0). Наименьшее
целое число в этом промежутке −2.
Ответ. −2.
1
Задача 4. Площадь равнобедренного треугольника равна
площади
3
квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины боковых
сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. Найти длину
боковой стороны данного треугольника.
Решение:
Пусть длина основания треугольника равна х см, тогда длина боковой
стороны равна (х-1) см, длину высоты находим по теореме Пифагора:
1
√3х2 − 8х + 4 . Сравниваем площади треугольника и квадрата
2
1
4
1
х√3х2 − 8х + 4 = х2
3
6
Это уравнение имеет корни х = 6; х = ; х=0. Так как по условию х>1, то
11
длина основания треугольника равна 6 см, а длина боковой стороны равна
5см.
Ответ. 5 см.
Задача 5. В классе учатся две подруги Маша и Даша. Класс случайным
образом делят на 2 группы дежурных по школе (11 и 13 человек). Найти
вероятность того, что Маша и Даша попадут в одну группу.
Решение:
В классе 24 человека, занумеруем всех учащихся числами от 1 до 24. В
первую группу попадут номера от 1 до 11, а во вторую от 12 до 24. Число
11!
2
способов присвоить подругам номера от 1 до 11 равно С11
=
= 55. Число
2!9!
2
С13
13!
способов присвоить подругам номера от 12 до 14 равно
=
= 78.
2!11!
Общее число способов присвоить подругам номера от 1 до 24 равно С224 =
24!
= 276. Всего исходов 276, из которых нашему событию
2!22!
благоприятствуют 55+78=133.
133
Следовательно, искомая вероятность равна
.
Ответ.
133
.
276
276
Решение заданий по математике
олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 10 классов 2015-16 уч. год
I тур.
Задача 1. Арифметическая прогрессия состоит из нескольких различных
натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют цифры 1и 9.
Может ли сумма всех членов такой прогрессии быть равной 298? Ответ
обосновать. Если может, то привести пример.
Решение:
Может, например, 73+74+75+76=298.
Ответ. Может.
Задача 2. Решить неравенство √х4 − 2х2 + 1 > 1 − х.
Решение:
Перепишем подкоренное выражение √(х2 − 1)2 > 1 − х, перейдём к
равносильному неравенству |х2 − 1| > 1 − х, которое равносильно
2
{ 2х − 1 ≥ 0
1>1−х
совокупности систем:[ х −
2
1<0
{ х −
2
1− х > 1 − х
Решение первой системы х∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞); решение второй системы
х∈ (0; 1).
Решение неравенства х∈ (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞).
Ответ. х∈ (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞).
Задача 3. Найти сумму корней уравнения 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − |𝑐𝑜𝑠𝑥| −1= 0, из
промежутка [−2𝜋; 𝜋].
Решение:
Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0.
Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈ [0; 1].
Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) − 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 + 𝑡 −1=0.
1
Его корни 𝑡1 = −1 ∉ [0; 1], 𝑡2 = ∈ [0; 1].
1
𝜋
2
3
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⇒ х=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
5𝜋
𝜋 𝜋
Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; − ; .
3
3 3
Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х + 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0.
Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈[−1; 0).
Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) + 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 − 𝑡 −1=0.
1
Его корни 𝑡1 = − ∈ [−1; 0)., 𝑡2 = 1 ∉ [−1; 0).
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−1
2
⇒ х=±
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
4𝜋
Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; −
3
Сумма всех корней уравнения равна -3𝜋.
Ответ. -3𝜋.
2𝜋 2𝜋
3
;
3
.
Задача 4. В классе учатся две подруги Маша и Даша. Класс случайным
образом делят на 2 группы дежурных по школе (11 и 13 человек). Найти
вероятность того, что Маша и Даша попадут в одну группу.
Решение:
В классе 24 человека, занумеруем всех учащихся числами от 1 до 24. В
первую группу попадут номера от 1 до 11, а во вторую от 12 до 24. Число
11!
2
способов присвоить подругам номера от 1 до 11 равно С11
=
= 55. Число
2!9!
2
С13
13!
способов присвоить подругам номера от 12 до 14 равно
=
= 78.
2!11!
Общее число способов присвоить подругам номера от 1 до 24 равно С224 =
24!
= 276. Всего исходов 276, из которых нашему событию
2!22!
благоприятствуют 55+78=133.
133
Следовательно, искомая вероятность равна
.
Ответ.
276
133
.
276
Задача 5. На ребре куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что ВК:КВ1 =3:1.
Найти угол между прямыми АК и ВD1.
Решение:
Вычислим искомый угол, как угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АК и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВD1 .
Пусть длина ребра куба равна 1. Выберем декартову систему координат, так
чтобы координаты точек были А(0;0;0); В(1,0;0); С(1;1;0); D(0;1;0); А 1 (0;0;1);
3
В1(1,0;1); С1(1;1;1); D1(0;1;1), тогда точка К(1;0; ). Найдём координаты
4
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
векторов АК =(1,0, ), ВD1 =(-1;1;1).
4
Для нахождения угла воспользуемся формулой
cos𝛼 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АК ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВD1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АК||ВD
=
−1+0+
3
4
9
√1+0+ √1+1+1
16
=
−√3
15
.
Острый угол между прямыми АК и ВD1 равен arccos
√3
15
Ответ. arccos .
√3
15
.
Решение заданий по математике
олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 11 классов 2015-16 уч. год
I тур.
Задача 1. Арифметическая прогрессия состоит из нескольких различных
натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют цифры 1и 9.
Может ли сумма всех членов такой прогрессии быть равной 298? Ответ
обосновать. Если может, то привести пример.
Решение:
Может, например, 73+74+75+76=298.
Ответ. Может.
Задача 2. Вычислить:
3(log 3 45)2 -2(log 3 45)(log 3 5) - (log 3 5)2 - 4log √3 5.
Решение:
3(log 3 45)2 -2(log 3 45)(log 3 5) - (log 3 5)2 - 4log √3 5=
= 3(2 + log 3 5)2 - 2(2 + log 3 5)(log 3 5) - (log 3 5)2 - 8log 3 5 =
12 +12log 3 5 +3 (log 3 5)2 -4log 3 5 -2 (log 3 5)2- (log 3 5)2 - 8log 3 5 =12.
Ответ. 12.
Задача 3. Найти сумму корней уравнения 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − |𝑐𝑜𝑠𝑥| −1= 0, из
промежутка [−2𝜋; 𝜋].
Решение:
Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х − 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0.
Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈ [0; 1].
Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) − 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 + 𝑡 −1=0.
1
Его корни 𝑡1 = −1 ∉ [0; 1], 𝑡2 = ∈ [0; 1].
1
𝜋
2
3
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ⇒ х=± + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
5𝜋
𝜋 𝜋
4𝜋
2𝜋 2𝜋
Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; − ; .
3
3 3
Пусть 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0, тогда уравнение примет вид 2𝑠𝑖𝑛𝟐 х + 𝑐𝑜𝑠𝑥 −1= 0.
Обозначим t= 𝑐𝑜𝑠𝑥; t∈[−1; 0).
Получим квадратное уравнение 2(1 − 𝑡 2 ) + 𝑡 − 1 = 0 или 2𝑡 2 − 𝑡 −1=0.
1
Его корни 𝑡1 = − ∈ [−1; 0)., 𝑡2 = 1 ∉ [−1; 0).
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−1
2
⇒ х=±
2
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
Отрезку [−2𝜋; 𝜋] принадлежат корни − ; −
3
Сумма всех корней уравнения равна -3𝜋.
Ответ. -3𝜋.
3
;
3
.
Задача 4. В классе учатся две подруги Маша и Даша. Класс случайным
образом делят на 2 группы дежурных по школе (11 и 13 человек). Найти
вероятность того, что Маша и Даша попадут в одну группу.
Решение:
В классе 24 человека, занумеруем всех учащихся числами от 1 до 24. В
первую группу попадут номера от 1 до 11, а во вторую от 12 до 24. Число
11!
2
способов присвоить подругам номера от 1 до 11 равно С11
=
= 55. Число
2!9!
2
С13
13!
способов присвоить подругам номера от 12 до 14 равно
=
= 78.
2!11!
Общее число способов присвоить подругам номера от 1 до 24 равно С224 =
24!
= 276. Всего исходов 276, из которых нашему событию
2!22!
благоприятствуют 55+78=133.
133
Следовательно, искомая вероятность равна
.
Ответ.
276
133
.
276
Задача 5. На ребре куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что ВК:КВ1 =3:1.
Найти угол между прямыми АК и ВD1.
Решение:
Вычислим искомый угол, как угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АК и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВD1 .
Пусть длина ребра куба равна 1. Выберем декартову систему координат, так
чтобы координаты точек были А(0;0;0); В(1,0;0); С(1;1;0); D(0;1;0); А 1 (0;0;1);
3
В1(1,0;1); С1(1;1;1); D1(0;1;1), тогда точка К(1;0; ). Найдём координаты
4
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 =(-1;1;1).
векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АК =(1,0, ), ВD
4
Для нахождения угла воспользуемся формулой
cos𝛼 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АК ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВD1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 |
| АК||ВD
=
−1+0+
√1+0+
3
4
9
√1+1+1
16
=
−√3
15
.
Острый угол между прямыми АК и ВD1 равен arccos
√3
15
Ответ. arccos .
√3
15
.