Геометрическое место точек

18. Геометрическое место точек
Теория и задачи [19,с.14-15], также[2,с.33-36]. Задачи на построение: [26,с.4], [2,с.3474], [4,с.34]. Задачи взяты из [16,с.50], [12], [2,с.40-53], [19,с.14]. Литература
Задача 1. Дан квадрат со стороной со стороной 1. Найти множество всех точек,
сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений
равна 4.
Решение. Рассмотрим случай, когда все проекции точки принадлежат
продолжениям сторон квадрата (рис.1). Тогда сумма расстояний от этой точки
до продолжений выражается следующим образом:
(1+х)+х+(1+у)+у=4,
2(1+х+у)=4, где х, у  расстояния до ближайших продолжений
сторон.
Отсюда,. х+у=1. Значит, точка лежит на диагонали единичного квадрата,
построенного на продолжениях сторон исходного квадрата (рис.1).
Рассмотрим
случай,
когда
несколько
проекций
точки
принадлежат сторонам квадрата
(рис2). Имеем: (1+х)+х+ у+(1у)= 4,
1+2х+1= 4,
х=1.
Значит, все такие точки находятся на расстоянии 1 до ближайшей стороны
квадрата.
В результате имеем восьмиугольник (рис.3), стороны которого параллельны
сторонам или диагоналям квадрата.
Задача 2. Найдите на плоскости равностороннего АВС все такие точки, для
каждой из которых сумма расстояний до прямых АВ, АС, ВС вдвое
больше высоты треугольника.
Решение
Задача 3. Построить треугольник по данному основанию b, углу т при вершине
В и высоте ha, проведённой из вершины одного из других углов.
Решение. На произвольной прямой при точке В строим
угол, равный т и ищем на одной стороне угла точку,
отстоящую от другой стороны этого угла на расстоянии ha.
Для этого в произвольной точке М стороны ВМ проводим
перпендикуляр МN, откладываем МN= ha и через точку N
проводим прямую, параллельную ВМ. Проведённая прямая
пересекает вторую сторону угла В в искомой вершине А
треугольника. Проводим из точки А как из центра радиусом
b дугу окружности,
которая пересечёт прямую ВМ в точках С и С1, являющихся искомыми вершинами
треугольников АВС и АВС1, удовлетворяющих условиям задачи.
Построение возможно, если дуга радиуса b пересекает прямую ВМ, т.е. bha. Если АC>
АВ, то решение получается одно.
Задача 4. Построить трапецию АВСD (ВС||AD), зная AB, CD, AD и высоту ВЕ.
Задача 5. К двум окружностям провести общую касательную.
Задача 6. На плоскости даны две точки А и В. Произвольная окружность
проходит через точку В и вторично пересекает прямую АВ в точке К,
отличной от А. Окружность проходящая через А, К и центр первой
окружности, вторично пересекается с первой в точке М. Найдите
геометрическое место точек М.
Решение
Содержание