    

Задание 3

 
 
1) Разложить на множители x y 2  z 2  y z 2  x 2  z x 2  y 2

Решение.






x y 2  z2  y z2  x 2  z x 2  y 2 
xy 2  xz 2  yz 2  yx 2  zx 2  zy 2 


 x y 2  xy  z 2  zx  yz2  zy 2 

 x y  z y  z  x   yz z  y   y  z  xy  xz  x 2  yz

 y  z y  x  x  z 
Ответ: y  z y  x  x  z 
2) Найти все а, при которых уравнения x 2  ax  1  0 и x 2  x  a  0 имеют хотя бы
один общий корень.
Решение.
Предположим, x – общий корень уравнений. Тогда
x 2  ax  1  x 2  x  a ,
ax  x  a  1,
a  1 x  1  0 .
При a=1 уравнения совпадают, но не имеют корней.
Подставив в одно из уравнений общий корень x=1 получаем, что a=-2.
Ответ: -2.
3) Решите систему уравнений
3x  y  6

x y 2
Решение.
 y  3x  6

 x  y  2 ,
  x  y  2

y  3x  6

  4x  8 ,
 4x  4
 
y




 3x  6
x  2
x 1

x=2, y=0 или x=1, y=-3.
Ответ: (2,0), (1,-3).
4) Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют соотношениям
 x2  y2  9

 y 1  0
3 y  6  2 x

Решение.
y
-3
0
-1
-2
-3
3
x
Искомая фигура состоит из полукруга радиуса 3 с центром в начале координат
и
трапеции высотой 1 и верхним основанием 6. Нижнее основание трапеции находим, определив
точку пересечения прямых y  1 0 и 3y  6  2x : x=3/2, y=-1.
S
1
1
9
 9  6  3    1 .
2
2
2
Ответ: S  9   1 .
2
5) Дан квадрат ABCD. Найти геометрическое место середин сторон квадратов,
вписанных в данный квадрат.
Решение.
Пусть сторона квадрата ABCD равна a. Введем прямоугольную систему координат с
центром в точке A и осями, параллельными сторонам квадрата.
Стороны вписанного квадрата KLRM образуют со сторонами квадрата ABCD равные
прямоугольные треугольники. Пусть ордината точки K равна b<a, тогда абсцисса точки M – ab. Пусть, далее, точка S – середина КМ, P - проекция точки S на ось y. Треугольник SMP
подобен треугольнику KMA, поэтому точка S имеет координаты  a  b , b  , то есть лежит на
 2 2
отрезке x  y  a , 0  x  a , соединяющем стороны AB и AD квадрата ABCD.
2
2
Середины остальных сторон вписанного квадрата – аналогично.
x
a
B
b
C
L
K
S
R
M
А
P
a-b
y
D
a
Ответ: отрезки, соединяющие середины сторон квадрата ABCD.