Диф.-и-интегральное-исчисление-функции-многих
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Российский химико-технологический университет
им. Д. И. Менделеева
Дифференциальное и
интегральное исчисление функции
многих переменных
Утверждено Редакционным советом
университета в качестве учебного пособия
Москва
2011
1
УДК 517 (075)
ББК 22.161.1
Р83
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, Е. Ю. Напеденина,
М. А. Меладзе, Т. В. Хлынова
Рецезент:
Доктор технических наук, профессор Российского химикотехнологического университета
им. Д. И. Менделеева
Л. С. Гордеев
Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих
Р83
переменных: учеб. пособие / сост.:
Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, Е. Ю. Напеденина, М. А. Меладзе,
Т. В. Хлынова, под ред. Е. Г. Рудаковской, М. Ф. Рушайло. – М. :
РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2011. – 92 с.
ISBN 978-5-7237-0937-9
Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому
анализу, читаемых кафедрой высшей математики для студентов первого курса
всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д.И. Менделеева.
Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа:
дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, интегральное
исчисление функций нескольких переменных. Большое внимание уделено
разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для
других дисциплин.
УДК 517(075)
ББК 22.161.1
ISBN 978-5-7237- 0937-9
© Российский химико-технологический
университет им. Д. И. Менделеева, 2011
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Дифференциальное исчисление функции многих переменных ..... 5
§1. Понятие функции нескольких переменных ............................................ 5
1. Пространство 𝑅𝑛 и множества в пространстве 𝑅𝑛 ............................. 5
2. Определение функции нескольких переменных ................................. 6
3. Линии и поверхности уровня ................................................................ 7
4. Предел функции в точке ........................................................................ 8
5. Непрерывность функции. Точки разрыва ............................................ 9
§2. Дифференцирование функции нескольких переменных ..................... 10
1. Частные производные функции нескольких переменных .................. 10
2. Дифференцируемость функции двух переменных .............................. 11
3. Дифференцирование сложной функции ............................................... 13
4. Дифференциал функции двух переменных .......................................... 15
5. Дифференцирование функции одной и двух переменных,
заданных неявно .......................................................................................... 16
6. Частные производные и дифференциалы высших порядков ............. 18
7. Аналитический признак полного дифференциала .............................. 19
§3. Производная по направлению и градиент ............................................. 21
1. Производная по направлению ............................................................... 21
2. Градиент и его свойства ......................................................................... 24
§4. Экстремумы функций нескольких переменных ................................... 27
1. Экстремумы функций двух и трёх переменных .................................. 27
2. Условный экстремум .............................................................................. 30
Глава 2. Интегральное исчисление функции нескольких переменных...... 33
§1. Двойной интеграл .................................................................................... 33
1. Геометрическая задача, приводящая к понятию двойного
интеграла .................................................................................................. 33
2. Определение двойного интеграла ......................................................... 35
3
3. Геометрический смысл двойного интеграла ....................................... 36
4. Основные свойства двойного интеграла ............................................. 36
5. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах ........... 39
6. Двойной интеграл в полярной системе координат............................. 45
7. Интеграл Эйлера–Пуассона .................................................................. 49
8. Некоторые приложения двойного интеграла ...................................... 52
§2. Тройной интеграл ..................................................................................... 53
1. Определение тройного интеграла ........................................................ 53
2. Физический и геометрический смысл тройного интеграла .............. 54
3. Основные свойства тройного интеграла ............................................. 54
4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат . 55
5. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах... 58
6. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах ......... 58
7. Некоторые приложения тройного интеграла ...................................... 59
§3. Криволинейные интегралы ..................................................................... 60
1. Криволинейные интегралы I рода (по дуге) ......................................... 60
2. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) ........................... 63
3. Формула Грина ........................................................................................ 67
4. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
(случай на плоскости) ................................................................................. 70
5. Потенциальное поле, потенциальная функция и её вычисление....... 75
6. Вычисление криволинейного интеграла, независящего от пути
интегрирования ........................................................................................... 78
§4. Поверхностные интегралы ...................................................................... 80
1. Поверхностный интеграл I рода ............................................................ 80
2. Поверхностный интеграл II рода......................................................... 82
3. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса–Остроградского ..... 86
4. Ротор (вихрь) векторного поля. Теорема Стокса................................. 88
4
Глава 1. Дифференциальное исчисление функции многих
переменных
§1. Понятие функции нескольких переменных
1. Пространство 𝑹𝒏 и множества в пространстве 𝑹𝒏
Определение 1
Пространством R n называется множество групп ( x1; x2 ;...; xn ) из “n”
действительных
чисел.
Такое
множество
групп
из
“n”
чисел
отождествляют с множеством точек M ( x1; x2 ;...; xn ) . При этом числа
x1; x2 ;...; xn называют координатами точек М, а число “n” определяет
размерность пространства R n .
В частности:
R1 = R – одномерное пространство множества точек М (х);
R 2 – двухмерное пространство множества точек М (х;у);
R 3 – трёхмерное пространство множества точек М (x;y;z).
Определение 2
Множеством D (или областью) в пространстве R n называют любую
часть пространства R n .
Определение 3
δ-окрестностью точки M 0 ( x0 ; y0 ) R 2 называют множество точек
M ( x; y ) R 2 ,
для
которых
выполняется
неравенство:
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 , т. е. любая окружность с радиусом, равным δ, и с
центром в точке M 0 .
Причём, если δ-окрестность точки M 0 ( x0 ; y0 )
проколотая (т.е. M 0 не включается), то её аналитическая запись :
0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 .
Аналогично, если точка M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) R 3 , то её δ-окрестность –
5
множество точек M ( x; y; z ) R3 , для которых выполняется неравенство:
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 , т. е. любой шар с радиусом, равным δ, и
с центром в точке
M0.
Тогда проколотая δ-окрестность точки
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) : 0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 .
Определение 4
Точка M 0 называется внутренней точкой области D R n , если
найдётся такая δ-окрестность точки M 0 , все точки которой принадлежат
области D.
Определение 5
Точка M 0 называется граничной точкой области D R n , если в
любой δ-окрестности точки M 0 есть точки, принадлежащие D и не
принадлежащие D.
Определение 6
Множество D называется открытым, если все его точки являются
внутренними.
Определение 7
Множество D называется замкнутым, если оно содержит все свои
граничные точки.
Определение 8
Множество D называется односвязным, если любые его две точки
можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей D.
2. Определение функции нескольких переменных
Определение 9
Если для множества D R n по некоторому правилу функция f
каждой точке M ( x1; x2 ;...; xn ) D соответствует единственное число
6
в
u E R , то говорят, что на множество D
определена функция
u f ( x1; x2 ;...; xn ) . Причём, область D – это область определения функции
f ( x1; x2 ;...; xn ) , а область E – это область изменения этой функции (или
область её значений).
Замечание
1.
Во
многих
прикладных
задачах
термин
функция
u f ( x1; x2 ;...; xn ) заменяется термином скалярное поле u f ( x1; x2 ;...; xn ) ,
т.е. точке M 0 D R n соответствует скаляр (число) u f (M 0 ) .
Замечание 2. Изобразить графически функцию “n” переменных возможно
только для n=2. Это будет некоторая поверхность в трёхмерном
пространстве.
3. Линии и поверхности уровня
Определение 10
Линией уровня для функции z f ( x; y) называется множество точек
M ( x; y) D R 2 , при которых функция принимает одно и то же значение,
т.е.: f ( x; y) const.
Определение 11
Поверхностью
уровня
для
функции
u f ( x; y; z)
называется
множество точек М (х;у;z) D R 3 , при которых функция принимает одно и
то же значение, т.е. f ( x; y; z) const.
Пример 1.
Для функции z x 2 y 2 линиями уровня будут окружности
x 2 y 2 C (C 0) .
Пример 2. Для функции
u x 2 y 2 z 2 поверхностями уровня будут
сферы x 2 y 2 z 2 C (C 0) .
Замечание 1. По аналогии можно определить поверхности уровня для
функций любого числа переменных.
7
Замечание 2. В ряде случаев можно получить представление о характере
изменения функции по линиям или поверхностям уровня.
4. Предел функции в точке
Определение 12
Число А называется пределом функции u f (M ) в точке M 0 , если для
любого сколь угодно малого числа 0 найдется число () 0 такое,
что для любой точки M D( f ) , находящейся в проколотой -окрестности
точки M 0 , выполняется неравенство: f (M ) A . Этот факт записывается
так:
lim f ( M ) A .
M M 0
Для
функции
двух
переменных
это
определение
можно
сформулировать следующим образом:
Число А называется пределом функции
z f ( x; y)
M 0 ( x0 ; y0 ) , если для любого сколь угодно малого числа
в точке
0 найдётся
число () 0 такое, что для любой точки M ( x; y) D( f ) , находящейся
в проколотой
f ( x; y) A .
Замечание 3.
-окрестности точки
Этот
факт
x x0 и
M 0 , выполняется
записывается
y y0
так:
неравенство:
lim f ( x; y) A.
x x0
y y0
в окрестности точки
M 0 может
происходить в различных направлениях. При этом предел функции
существует, если в различных направлениях предел один и тот же. В
противном случае говорят, что функция в точке M 0 предел не имеет.
Пример 3. Вычислить предел:
пусть y kx,
sin( xy)
sin( kx 2 )
lim
lim
1
тогда при x 0, y 0 x 0 kx 2
x 0
xy
y 0
8
Пример 4. Вычислить предел:
пусть y kx,
x2 k 2 x2
x 2 (1 k 2 )
lim
lim
lim
тогда при x 0, y 0 x 0 x 2 k 2 x 2 x 0 x 2 (1 k 2 )
x 0 x 2 y 2
y 0
x2 y2
lim
1 k 2
x 0 1 k 2
1 k 2
1 k 2
,
т.е. предел функции зависит от направления стремления (х;у) к (0;0),
следовательно предел не существует.
Замечание 4. Аналогично с определениями, данными для функции одной
переменной, можно дать определения для пределов: lim f ( M ) A и
M
lim f ( M )
M M 0
5. Непрерывность функции. Точки разрыва
Определение 13
Функция u f (M ) называется непрерывной в точке M 0 D( f ) , если
предел этой функции в точке M 0 равен значению функции в точке M 0 :
lim f ( M ) f ( M 0 ).
M M 0
Определение 14
Функция u f (M ) называется непрерывной в некоторой области D ,
если она непрерывна в каждой точке этой области D .
Определение 15
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются
точками разрыва функции.
Пример 5. Исследовать функцию на непрерывность: z
Решение.
x 0
D(z) :
y 0
9
x 2 2 xy 3 y 2
x2 y2
В области определения D(z) функция z непрерывна, так как является
элементарной
функцией.
В
точке
(0;0)
функция
не
определена,
следовательно, эта точка разрыва функции.
x 2 2 xy 3 y 2
Пример 6. Исследовать функцию на непрерывность: z 2
x y2 4
Решение. D(z) : x 2 y 2 4 0
Так как функция z элементарная то в области определения D(z) она
является непрерывной. Но при условии
x2 y 2 4 0
функция не
определена, следовательно, x 2 y 2 4 есть линия разрыва этой функции
(окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 2).
Замечание. Теоремы о конечных пределах и свойства непрерывных
функций на замкнутых областях, сформулированные ранее для функции
одной
переменной,
обобщаются
на
случай
функции
нескольких
переменных.
§2. Дифференцирование функции нескольких переменных
1. Частные производные функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦). Пусть точки
(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) и (𝑥 + ∆𝑥; 𝑦 + ∆𝑦) ∈ 𝐷(𝑓).
Определение 1
Если x и у получают приращения ∆𝑥 и ∆𝑦 соответственно, то функция
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) может получать приращения трёх видов:
∆𝑥 𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥; 𝑦)– 𝑓(𝑥; 𝑦) – частное приращение функции по х;
∆𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦 + ∆𝑦)– 𝑓(𝑥; 𝑦) – частное приращение функции по у;
∆𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥; 𝑦 + ∆𝑦)– 𝑓(𝑥; 𝑦) –
по х и у.
Определение 2
10
полное
приращение
функции
Частной производной по х функции 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) в точке
(х;у)
называется предел отношения частного приращения функции по х к
приращению ∆𝑥 при условиях, что ∆𝑥 → 0 и этот предел существует, т. е. :
𝑧𝑥′ =
где 𝑧𝑥′ или
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
∆𝑥 𝑧
𝑓(𝑥 + ∆𝑥; 𝑦) − 𝑓(𝑥; 𝑦)
= lim
= lim
,
∆𝑥→0
𝜕𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥
– обозначения частной производной по х.
Определение 3
Частной производной по у функции 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) в точке
(х;у)
называется предел отношения частного приращения функции по у к
приращению ∆𝑦 при условиях, что ∆𝑦 → 0 и этот предел существует, т.е. :
𝑧𝑦′ =
где 𝑧𝑦′ и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∆𝑦 𝑧
𝜕𝑧
𝑓(𝑥; 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥; 𝑦)
= lim
= lim
,
∆𝑦→0
𝜕𝑦 ∆𝑦→0 ∆𝑦
∆𝑦
– обозначения частной производной по у.
Замечание 1. Частные приращения по х и по у находятся при неизменных
переменных x и у соответственно. Поэтому правила нахождения частных
производных
по
х
и
по
у
являются
обычными
правилами
дифференцирования функции одной переменной в предположении, что
переменные х и у соответственно остаются постоянными.
2. Дифференцируемость функции двух переменных
Определение 4
Функция
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) называется
дифференцируемой в точке
(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓), если её полное приращение в этой точке можно представить
в виде:
∆𝑧 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 + 𝐵 ∙ ∆𝑦 + α(ρ) ∙ ρ,
где А и В не зависят от ∆𝑥 и ∆𝑦, а ρ = √∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 , α(ρ) → 0 при ρ → 0
11
Теорема 1 (связь между дифференцируемостью и существованием
частных производных)
Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦), то в этой
точке существует её частные производные 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) = 𝐴 и 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) = 𝐵.
Доказательство: функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦),
следовательно
∆𝑧 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 + 𝐵 ∙ ∆𝑦 + α(ρ) ∙ ρ,
где ρ = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 , α(ρ) → 0 при ρ → 0, т. е. ∆𝑥 → 0 и ∆𝑦 → 0.
Пусть ∆𝑦 = 0, тогда ∆𝑧 = ∆𝑥 𝑧 = 𝐴∆𝑥 + α(∆𝑥) ∙ ∆𝑥. Разделим на ∆𝑥 и
вычислим предел:
∆𝑥 𝑧
= lim (𝐴 + α(∆𝑥)) = lim 𝐴 + lim α(∆𝑥) = 𝐴 + 0 = 𝐴,
∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
lim
следовательно 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) существует и 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) = 𝐴.
Аналогично при ∆𝑥 = 0: ∆𝑧 = ∆𝑦 𝑧 = 𝐵∆𝑦 + 𝛼(∆𝑦) ∙ ∆𝑦. Разделим на
∆𝑦 и вычислим предел:
∆𝑦 𝑧
= lim (𝐵 + 𝛼(∆𝑦)) = lim 𝐵 + lim 𝛼(∆𝑦) = 𝐵 + 0 = 𝐵,
∆𝑦→0 ∆𝑦
∆𝑦→0
∆𝑦→0
∆𝑦→0
lim
следовательно 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) существует и 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) = 𝐵.
Теорема 2 (достаточные условия дифференцируемости функции)
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) в некоторой точке (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) имеет
непрерывные в этой точке частные производные 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) и 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦). Тогда
функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дифференцируема в этой точке.
Теорема 3 (связь дифференцируемости и непрерывности функции)
Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓), то
она непрерывна в этой точке.
12
Доказательство: ∆𝑧 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 + 𝐵 ∙ ∆𝑦 + α(ρ) ∙ ρ, где А и В не зависят от
∆𝑥
и
∆𝑦,
α(ρ) → 0 при ρ → 0,
т.е.
и
∆𝑥 → 0
∆𝑦 → 0,
тогда
∆𝑧 → 0 при ∆𝑥 → 0 и ∆𝑦 → 0, следовательно 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) непрерывна
в
этой точке.
3. Дифференцирование сложной функции
Теорема 4 (полная производная)
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) и
функции 𝑥 = 𝑥(𝑡)и 𝑦 = 𝑦(𝑡) дифференцируемы в соответствующей точке t
при которой 𝑥 = 𝑥(𝑡)и 𝑦 = 𝑦(𝑡). Тогда сложная функция 𝑧 = 𝑓(𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡))
дифференцируема в точке t, причём
производная
для
d𝑧
d𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
при
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)
∙
d𝑥
d𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
d𝑦
d𝑡
– полная
𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡).
∆𝑧 = 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑥 + 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑦 + α(ρ) ∙ ρ,
Доказательство:
где ρ = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 , α(ρ) → 0 при ρ → 0, т. е. ∆𝑥 → 0 и ∆𝑦 → 0.
Разделим ∆𝑧 на ∆𝑡 и вычислим предел при ∆𝑡 → 0:
𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑥 + 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑦 + α(ρ) ∙ ρ
∆𝑧
lim
= lim
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
∆𝑡→0
∆𝑡
∆𝑥
∆𝑦
ρ
= lim (𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙
+ 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙
+ α(ρ) ∙ ) =
∆𝑡→0
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑥
∆𝑦
ρ
+ 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) lim
+ lim α(ρ) ∙
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
∆𝑡→0 ∆𝑡
∆𝑡→0
∆𝑡
= 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) lim
= 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙ 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙ 𝑦 ′ (𝑡) + 0.
x 2 y 2
ρ
x y
, то
Так как
t
t
t t
2
2
13
ρ
t 0 t
lim
x' (t )2 y' (t )2
2
2
ρ
x y
lim α(ρ) lim α(ρ) lim
t 0
t 0 t
t t 0
t
0
x' (t )2 y' (t ) 2
0.
Итак,
∆𝑧
= 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙ 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙ 𝑦 ′ (𝑡)
∆𝑡→0 ∆𝑡
lim
d𝑧 𝜕𝑧
d𝑥
𝜕𝑧
d𝑦
(𝑥; 𝑦) ∙ (𝑡) +
(𝑥; 𝑦) ∙
(𝑡) =
=
d𝑡 𝜕𝑥
d𝑡
𝜕𝑦
d𝑡
=
𝜕𝑧
d𝑥
𝜕𝑧
d𝑦
(𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)) ∙ (𝑡) +
(𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)) ∙
(𝑡)
𝜕𝑥
d𝑡
𝜕𝑦
d𝑡
– полная производная для функции 𝑧 = 𝑓(𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)).
Теорема 5 (дифференцирование сложной функции)
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓), а
функции 𝑥 = 𝑥(𝑢; 𝑣) и 𝑦 = 𝑦(𝑢; 𝑣) дифференцируемы в точке (𝑢; 𝑣),
соответствующей точке (𝑥; 𝑦)= (𝑥(𝑢; 𝑣); 𝑦(𝑢; 𝑣)). Тогда сложная функция
𝑧 = 𝑓(𝑥(𝑢; 𝑣); 𝑦(𝑢; 𝑣)) дифференцируема в точке (𝑢; 𝑣), причём:
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
(𝑥; 𝑦) ∙
(𝑥; 𝑦) ∙
d𝑥
d𝑢
d𝑥
d𝑣
(𝑢; 𝑣 ) +
(𝑢; 𝑣 ) +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(𝑥; 𝑦) ∙
d𝑦
(𝑥; 𝑦) ∙
d𝑦
d𝑢
d𝑣
(𝑢; 𝑣 ),
(𝑢; 𝑣 ).
Формулы этой теоремы следуют из условия, что
𝜕𝑧
𝜕𝑢
находится при
𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, поэтому функции 𝑥 = 𝑥(𝑢; 𝑣𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ) и 𝑦 = 𝑦(𝑢; 𝑣𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ) от одной
переменной, следовательно, можно воспользоваться для вывода формулы
14
𝜕𝑧
𝜕𝑢
теоремой 4.
Аналогично, при выводе формулы для
𝜕𝑧
𝜕𝑣
используется условие, что
𝑢 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, т.е. функции 𝑥(𝑢𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ; 𝑣); 𝑦(𝑢𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ; 𝑣) рассматриваются как
функции одной переменной, т.е. можно использовать теорему 4.
4. Дифференциал функции двух переменных
Определение 5
Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓), то
∆𝑧 = 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑥 + 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑦 + α(ρ) ∙ ρ,
где α(ρ) → 0 при ρ → 0.
Тогда первые два слагаемых,
линейные относительно ∆𝑥 и ∆𝑦,
называются дифференциалом функции 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) в точке
(𝑥; 𝑦), т. е.
d𝑧 = 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑥 + 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙ ∆𝑦.
Если х и у независимые переменные, то ∆𝑥 = d𝑥 и ∆𝑦 = d𝑦. Тогда
другая запись дифференциала функции двух переменных в точке (𝑥; 𝑦):
d𝑧 = 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) ∙ d𝑥 + 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) ∙ d𝑦.
Так как ∆𝑧 − d𝑧 = α(ρ) ∙ ρ и α(ρ) → 0 при ρ → 0, то α(ρ) ∙ ρ –
бесконечно малая величина при ρ → 0 более высокого порядка малости по
сравнению с ρ, то между ∆𝑧 и d𝑧 можно поставить знак приближённого
равенства ∆𝑧 ≈ d𝑧 ⇒ 𝑓(𝑥 + ∆𝑥; 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥; 𝑦) ≈ d𝑧(𝑥; 𝑦) – формула
приближённых вычислений.
Теорема 6 (свойство инвариантности дифференциала)
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓),
15
а функции 𝑥 = 𝑥(𝑢; 𝑣) и 𝑦 = 𝑦(𝑢; 𝑣) дифференцируемы в точке (𝑢; 𝑣),
соответствующей
точке
(𝑥; 𝑦) = (𝑥(𝑢; 𝑣); 𝑦(𝑢; 𝑣)).
Функция
𝑧 = 𝑓(𝑥(𝑢; 𝑣); 𝑦(𝑢; 𝑣)) является сложной функцией переменных 𝑢 и 𝑣,
дифференцируемой по переменным 𝑢 и 𝑣. Тогда запись дифференциала
функции z по переменным х и у та же, что и по переменным 𝑢 и 𝑣:
d𝑧 = 𝑧𝑥′ ∙ d𝑥 + 𝑧𝑦′ ∙ d𝑦 = 𝑧𝑢′ d𝑢 + 𝑧𝑣′ d𝑣.
Доказательство:
d𝑧 = 𝑧𝑢′ d𝑢 + 𝑧𝑣′ d𝑣 = (𝑧𝑥′ 𝑥𝑢′ + 𝑧𝑦′ 𝑦𝑢′ )d𝑢 + (𝑧𝑥′ 𝑥𝑣′ + 𝑧𝑦′ 𝑦𝑣′ )d𝑣 =
= 𝑧𝑥′ 𝑥𝑢′ ∙ d𝑢 + 𝑧𝑦′ 𝑦𝑢′ ∙ d𝑢 + 𝑧𝑥′ 𝑥𝑣′ ∙ d𝑣 + 𝑧𝑦′ 𝑦𝑣′ ∙ d𝑣 =
= (𝑧𝑥′ 𝑥𝑢′ ∙ d𝑢 + 𝑧𝑥′ 𝑥𝑣′ ∙ d𝑣) + (𝑧𝑦′ 𝑦𝑢′ ∙ d𝑢 + 𝑧𝑦′ 𝑦𝑣′ ∙ d𝑣) =
= 𝑧𝑥′ (𝑥𝑢′ ∙ d𝑢 + +𝑥𝑣′ ∙ d𝑣) + 𝑧𝑦′ (𝑦𝑢′ ∙ d𝑢 + 𝑦𝑣′ ∙ d𝑣) = 𝑧𝑥′ ∙ d𝑥 + 𝑧𝑦′ ∙ d𝑦 ⇒
d𝑧 = 𝑧𝑢′ d𝑢 + 𝑧𝑣′ d𝑣 = 𝑧𝑥′ ∙ d𝑥 + 𝑧𝑦′ ∙ d𝑦
Что и требовалось доказать.
5. Дифференцирование функции одной и двух переменных, заданных
неявно
Определение 6
Пусть дано уравнение 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0. Считается, что функция 𝑦 = 𝑓(𝑥)
задана неявно в области 𝐷(𝑓) ∈ 𝑅 уравнением 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0, если для
любого значения 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓) найдётся одно число 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) – такое, что
𝐹(𝑥0 ; 𝑓 (𝑥0 )) ≡ 0.
Теорема 7 (дифференцирование функции одной переменной, заданной
неявно)
16
Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задана неявно уравнением 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0, где
функция 𝐹(𝑥; 𝑦) дифференцируема в точке (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷(𝐹) и 𝐹𝑦′ (𝑥; 𝑦) ≠ 0.
Тогда существует производная 𝑦 ′ (𝑥 ) = −
𝐹𝑥′ (𝑥;𝑦)
𝐹𝑦′ (𝑥;𝑦)
.
Доказательство: Если для ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) и 𝐹(𝑥; 𝑓(𝑥)) = 0, то
d𝐹(𝑥;𝑓(𝑥))
d𝑥
d𝐹
=0⇒
d𝑥
=
𝜕𝐹
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹
𝜕𝑦
∙
d𝑦
d𝑥
= 0⇒
d𝑦
d𝑥
=−
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦
, так как
𝜕𝐹
𝜕𝑦
≠ 0.
Что и требовалось доказать.
Определение 7
Пусть дано уравнение 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0. Считается, что функция
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) задана неявно в области 𝐷(𝑓) ∈ 𝑅2 уравнением 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0,
если
для
любой
пары
(𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ 𝐷(𝑓)
найдётся
одно
число
𝑧0 = 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0 ) − такое, что 𝐹(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0 )) ≡ 0.
Теорема 8 (дифференцирование функции двух переменных, заданных
неявно)
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) задана неявно уравнением 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0,
где функция
𝐹𝑧′ (𝑥; 𝑦; 𝑧) ≠ 0.
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) дифференцируема в точке
Тогда
существуют
частные
(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐷(𝐹) и
производные
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦), по х и у, которые равны:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=−
𝐹𝑥′ (𝑥;𝑦;𝑧)
𝐹𝑧′ (𝑥;𝑦;𝑧)
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=−
𝐹𝑦′ (𝑥;𝑦;𝑧)
𝐹𝑧′ (𝑥;𝑦;𝑧)
.
Доказательство: Из определения неявного задания функции
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) ⇒ 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑓(𝑥; 𝑦)) = 0.
Поэтому
17
функции
𝜕𝐹(𝑥;𝑦𝑓(𝑥;𝑦))
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝑧
= 0⇒ 𝜕𝑥 = 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 ∙ 𝜕𝑥 = 0⇒
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=−
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑧
,
так как 𝐹𝑦′ (𝑥; 𝑦; 𝑧) ≠ 0.
Что и требовалось доказать.
Аналогично выводится формула для
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
6. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) в каждой точке некоторой области имеет
частные производные
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
(𝑥; 𝑦) и
𝜕𝑦
( 𝑥; 𝑦). Они представляют собой
функции двух переменных. Производные от этих функций, если они
существуют, называются частными производными второго порядка и
обозначаются:
𝜕2 𝑧
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑧
𝜕𝑦 2
′′
= 𝑧𝑥𝑥
=
′′
= 𝑧𝑦𝑦
=
𝜕2 𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
( ) = (𝑧𝑥′ )′𝑥 ,
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
( ) = (𝑧𝑦′ )′𝑦 ,
𝜕𝑦 𝜕𝑦
′′
= 𝑧𝑥𝑦
=
′′
= 𝑧𝑦𝑥
=
𝜕
𝜕𝑧
( ) = (𝑧𝑥′ )′𝑦 ,
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
( ) = (𝑧𝑦′ )′𝑥 .
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Частные производные второго порядка вида
𝜕2 𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
и
𝜕2 𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
называют
смешанными производными.
Теорема 9 (о равенстве смешанных производных)
Пусть в области 𝐷 ∈ 𝑅2 существуют смешанные производные
18
′′
′′
𝑧𝑥𝑦
и 𝑧𝑦𝑥
и в точке
′′ (𝑥
′′
𝑧𝑥𝑦 0 ; 𝑦0 ) = 𝑧𝑦𝑥
(𝑥0 ; 𝑦0 ).
они
(𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ 𝐷
непрерывные.
Тогда
Замечание 2. Аналогично определяются частные производные второго,
третьего и т.д. порядков. И смешанные производные в точках их
непрерывности тоже равны. Определенный в пункте 4 дифференциал для
функции 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦): d𝑧 = 𝑧𝑥′ ∙ d𝑥 + 𝑧𝑦′ ∙ d𝑦 называют дифференциалом
первого порядка. Пусть функции 𝑧𝑥′ (𝑥; 𝑦) и 𝑧𝑦′ (𝑥; 𝑦) дифференцируемы в
некоторой
области
𝐷 ∈ 𝑅2 .
Тогда
в
этой
области
определен
и
′′
′′
′′
дифференциал второго порядка: d2 𝑧 = 𝑧𝑥𝑥
d𝑥 2 + 2𝑧𝑥𝑦
d𝑥d𝑦 + 𝑧𝑦𝑦
d𝑦 2 , если
′′
′′
𝑧𝑥𝑦
и 𝑧𝑦𝑥
непрерывны в области D.
7. Аналитический признак полного дифференциала
Теорема 10 (аналитический признак полного дифференциала)
Чтобы
выражение
𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦)d𝑦
дифференциалом некоторой функции 𝑢(𝑥; 𝑦) для
было
полным
(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 𝑅2 ,
необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
1. 𝑃(𝑥; 𝑦), 𝑄(𝑥; 𝑦),
2.
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
и
𝜕𝑄
𝜕𝑥
непрерывны в области 𝐷,
для ∀ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷.
Необходимость. Дано: 𝑃(𝑥; 𝑦), 𝑄(𝑥; 𝑦),
𝜕𝑃
𝜕𝑦
и
𝜕𝑄
𝜕𝑥
непрерывны в области 𝐷
и существует функция 𝑢(𝑥; 𝑦), для которой
𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦)d𝑦 = d𝑢.
Доказать, что
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
для ∀ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷.
Доказательство: Так как d𝑢 = 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦)d𝑦, то
19
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 𝑃(𝑥; 𝑦),
𝜕𝑦
= 𝑄(𝑥; 𝑦).
Тогда
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑢 ′
=( ) =
𝜕𝑥 𝑦
(𝑃(𝑥; 𝑦))′𝑦
=
Так как по условию 1
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑃
𝜕𝑦
,
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
и
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑢 ′
𝜕𝑄
𝜕𝑦 𝑥
𝜕𝑥
=( ) = (𝑄(𝑥; 𝑦))′𝑥 =
.
непрерывны в области 𝐷, то
непрерывны
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
и
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
⇒
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
⇒
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
.
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Дано: 𝑃(𝑥; 𝑦), 𝑄(𝑥; 𝑦),
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
и
𝜕𝑄
𝜕𝑥
непрерывны в области 𝐷 и
для ∀ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷.
Доказать, что существует функция 𝑢(𝑥; 𝑦), для которой
d𝑢 = 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦)d𝑦.
Доказательство: Проверим, можно ли найти функцию 𝑢(𝑥; 𝑦), если d𝑢 =
𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦)d𝑦 и выполнены условия теоремы
d𝑢 = 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + 𝑄(𝑥; 𝑦)d𝑦 ⇒
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑃(𝑥; 𝑦)
= 𝑄(𝑥; 𝑦).
(1)
(2)
Из (1) следует: 𝑢 = ∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + φ(𝑦), если у =const. Тогда
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + φ(𝑦)) =
Приравнивая (2) и (3) получим:
20
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + φ′(𝑦) (3)
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + φ′ (𝑦) = 𝑄(𝑥; 𝑦) ⇒ φ′ (𝑦) = 𝑄(𝑥; 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 (4)
Q
2
Q
Q( x; y ) P( x; y )dx
P
(
x
;
y
)
d
x
P( x; y )dx
x
y
x y x
x yx
так как
𝜕𝑃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
Q
Q P
P( x; y )
0,
x y
x y
по условию теоремы.
Следовательно:
𝑄(𝑥; 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
(∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥) = Ф(𝑦),
т.е. не зависит от х.
φ′ (𝑦) = Ф(𝑦)⇒ φ(𝑦) = ∫ Ф(𝑦) 𝜕𝑦.
Значит, функцию 𝑢(𝑥; 𝑦) можно найти из условий теоремы и
выражения (1):
𝑢(𝑥; 𝑦) = ∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥 + ∫ (𝑄(𝑥; 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑃(𝑥; 𝑦)d𝑥) d𝑦
Что и требовалось доказать.
§3. Производная по направлению и градиент
1. Производная по направлению
Пусть в области 𝐷 𝑅3 задано скалярное поле u = u(x;y;z) и задан
трёхмерный вектор 𝑆⃗ ≠ ⃗0⃗. Рассмотрим некоторую фиксированную точку
P0(х0;у0;z0) ∈ 𝐷 и точку P (x;y;z) ∈ 𝐷 с текущими координатами, но такую,
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
чтобы 𝑃
0 𝑃 ↑↑ 𝑆. Обозначим ∆𝑠⃗ u
u(P) – u(P0) – приращение функции u в
точке P0 по направлению вектора 𝑆⃗.
21
Определение 1
Производной функции u = u(x;y;z) в точке P0(х0;у0;z0) по направлению
вектора 𝑆⃗ называется предел отношения приращения ∆→ u
𝑠
u(P) – u(P0) к
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
расстоянию |𝑃
0 𝑃| при условиях, что P→P0(𝑃0 𝑃 ↑↑ 𝑆) и этот предел
существует. Обозначение:
∆→ 𝑢
𝜕𝑢
𝑢(𝑃) – 𝑢(𝑃0 )
𝑠
(𝑃0 ) = lim
= lim
𝑃→𝑃0 |𝑃
𝑃→𝑃0
𝜕𝑠⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑃
0 𝑃|
0 𝑃|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃0 𝑃↑↑ 𝑆⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃0 𝑃↑↑ 𝑆⃗
Теорема
Пусть функция u = u(x;y;z) дифференцируема в точке P0(х0;у0;z0).
Тогда в точке P0 существует производная функции u по направлению
вектора 𝑆⃗ и справедливо равенство:
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑠
𝜕х
(P0)
⃗
(P0)∙ cos 𝛼 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(P0)∙ cos β +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
(P0)∙ cos γ,
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора 𝑆⃗.
Доказательство: Возьмём точку P (x0 + ∆𝑥; y0 + ∆𝑦; z0 + ∆𝑧) так, чтобы
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃
0 𝑃 ↑↑ 𝑆.
Так как функция u(x;y;z) дифференцируема в точке P0, то:
∆s⃗⃗ u
u(P) – u(P0) = 𝑢𝑥′ (P0)∙ ∆𝑥 + 𝑢𝑦′ (P0)∙ ∆𝑦 + 𝑢𝑧′ (P0)∙ ∆𝑧 + α(ρ) ∙ ρ,
где
ρ = √∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 + ∆𝑧 2 ,
lim α(ρ) = 0.
ρ→0
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Так как 𝑃
0 𝑃 ↑↑ 𝑆, то углы α, β и γ, которые составляет вектор 𝑆 с
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
осями координат Ох, Оу и Оz соответственно, такие же для вектора 𝑃
0 𝑃.
22
Поэтому: cos α =
∆𝑥
ρ
, cos β =
∆𝑦
ρ
, cos γ =
∆𝑧
ρ0
=>
∆𝑥 = ρ cos α, ∆𝑦 = ρ cos β, ∆𝑧 = ρ cos γ.
Тогда ∆𝑠⃗ u = 𝑢𝑥′ (P0)∙ ρ cos α + 𝑢𝑦′ (P0)∙ ρ cos β + 𝑢𝑧′ (P0)∙ ρ cos γ + α(ρ) ∙ ρ.
∆𝑠⃗ 𝑢
= 𝑢𝑥′ (𝑃0 ) ∙ cos α + 𝑢𝑦′ (𝑃0 ) ∙ cos β + 𝑢𝑧′ (𝑃0 ) ∙ cos γ + α(ρ)
ρ
∆𝑠⃗ 𝑢
= lim(𝑢𝑥′ (𝑃0 ) ∙ cos α + 𝑢𝑦′ (𝑃0 ) ∙ cos β + 𝑢𝑧′ (𝑃0 ) ∙ cos γ + α(ρ))
ρ→0 ρ
ρ→0
lim
𝜕𝑢
𝜕𝑠⃗
(P0) = 𝑢𝑥′ (𝑃0 ) ∙ cos α + 𝑢𝑦′ (𝑃0 ) ∙ cos β + 𝑢𝑧′ (𝑃0 ) ∙ cos γ + 0 =>
𝜕𝑢
𝜕𝑠⃗
(P0) = 𝑢𝑥′ (𝑃0 ) ∙ cos α + 𝑢𝑦′ (𝑃0 ) ∙ cos β + 𝑢𝑧′ (𝑃0 ) ∙ cos γ.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим
частные
случаи
производной
по
направлениям.
π
2
1. Пусть 𝑆⃗ =𝑖⃗, тогда α 0, β , γ
u
i
π
2
u
π
cos 0 1, cos 0 .
x
2
π
π
2. Пусть 𝑆⃗ = 𝑗⃗, тогда α , β 0, γ
2
u
j
2
u
π
cos 0, cos 0 1.
y
2
⃗⃗ , тогда α π , β π , γ 0
3. Пусть 𝑆⃗ = 𝑘
2
u
k
2
u
π
cos 0, cos 0 1.
z
2
23
координатным
2. Градиент и его свойства
Пусть в области D R3 задано скалярное поле u = u(x;y;z) и в каждой
точке области D функция u(x;y;z) дифференцируема.
Определение 2
Градиентом функции u(x;y;z) в точке P0(х0;у0;z0)∈ 𝐷 называется
вектор, координатами которого являются значения частных производных
функции u(x;y;z) в этой точке:
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑃0 );
(𝑃 ))
grad 𝑢(𝑃0 ) = ( (𝑃0 );
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 0
Свойства вектора градиента
Свойство 1. Производная функции 𝑢 = 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) в точке 𝑃0 по
направлению вектора 𝑆⃗ равна скалярному произведению вектора градиента
этой функции в точке 𝑃0 на единичный вектор ⃗⃗⃗⃗
𝑆0 = (cos α ; cos β ; cos γ):
𝜕𝑢
(𝑃0 )
𝜕𝑆⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0 ) ∙ ⃗⃗⃗⃗
= grad
𝑆0 .
Свойство 1 следует из формулы скалярного произведения векторов и
определения вектора градиента.
Свойство 2. Производная функции 𝑢 = 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) в точке 𝑃0 по
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0 ) на вектор 𝑆⃗ :
направлению вектора 𝑆⃗ равна проекции вектора grad
𝜕𝑢
(𝑃0 )
𝜕𝑆⃗
= Пр𝑆⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ),
Свойство 2 следует из свойства 1 – определения скалярного
произведения и определения проекции вектора на ось.
Свойство 3. Производная функции 𝑢 = 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) в точке 𝑃0
24
по
направлению вектора градиента функции 𝑢 в точке 𝑃0 равна длине вектора
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0 ):
grad
𝜕𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0 )
𝜕grad
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0 ) |.
(𝑃0 )= |grad
Свойство 3 следует из формулы производной по направлению вектора
с
учётом
того,
что
направляющие
𝜕𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 )=( (𝑃0 );
𝜕х
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑃0 );
𝜕𝑢
𝜕𝑧
косинусы
вектора
(𝑃0 ))
вычисляются по формулам:
cos α
u
P0
x
2
u
u
2
P0 P0
y
x
cosβ
u
P0
x
;
2
grad
u
(
P
)
0
u
P0
z
u
P0
y
;
grad u ( P0 )
u
P0
z
.
cos γ
grad u ( P0 )
Свойство 4. Производная функции 𝑢 = 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧)
в точке 𝑃0 по
направлению вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ) принимает наибольшее значение по
сравнению с производными от этой функции в точке 𝑃0 по любому
другому направлению.
Действительно, из свойства 2:
𝜕𝑢
(𝑃0 )
𝜕𝑆⃗
̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0 ) ∙ cos (grad
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃
⃗
= Пр𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 )=grad
0 ); 𝑆 ) ,
25
̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃
⃗
но если 𝑆⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ), то угол (grad
0 ); 𝑆 ) = 0. Следовательно,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0̂
); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
cos (grad
grad 𝑢(𝑃0 ) ) = cos 0 = 1,
т.е. равен своему максимальному значению.
Свойство 5. Вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ) направлен по нормали к поверхности
уровня 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑐, где 𝑐 = 𝑢(𝑃0 ).
Следствие из свойств вектора градиента ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ). Градиент функции
𝑢 = 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) в каждой точке 𝑃0
направлен в сторону наибольшего
роста функции 𝑢, причём скорость изменения функции 𝑢 в этом
направлении равна длине вектора градиента ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ) .
Пример. Найти величину и направление наибольшего роста функции 𝑢 =
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 в точке 𝑃0 (1; 2; 3).
Решение. Учитывая сформулированное следствие из свойств вектора
градиента ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ), найдём ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ) .
𝜕𝑢
𝜕х
𝜕𝑢
𝜕х
=𝑦∙𝑧;
(𝑃0 ) = 2 ∙ 3 = 6 ;
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=𝑥∙𝑧;
𝜕𝑢
𝜕𝑧
=𝑥∙𝑦.
(𝑃0 ) = 1 ∙ 3 = 3 ;
𝜕𝑢
𝜕𝑧
(𝑃0 ) = 1 ∙ 2 = 2 .
Следовательно:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ) = (6; 3; 2),
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑃0 ) | = √62 + 32 + 22 = √49 = 7 .
|grad
Ответ: величина наибольшего роста функции 𝑢 в точке 𝑃0 равна 7;
направление наибольшего роста функции 𝑢 в точке 𝑃0 определяется
вектором градиента ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad 𝑢(𝑃0 ) = (6; 3; 2) или его направляющими
26
косинусами:
6
3
2
cos α = ; cos β = ; cos γ = .
7
7
7
§4. Экстремумы функций нескольких переменных
1. Экстремумы функций двух и трёх переменных
Определение 1
Точка 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ 𝐷(𝑓) называется точкой максимума функции
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦), если для любых точек (𝑥; 𝑦), принадлежащих окрестности
точки 𝑃0 , выполняется неравенство: 𝑓(𝑥; 𝑦) < 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0 ).
Определение 2
Точка 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ 𝐷(𝑓) называется точкой минимума функции 𝑧 =
𝑓(𝑥; 𝑦), если для любых точек (𝑥; 𝑦), принадлежащих окрестности точки
𝑃0 , выполняется неравенство: 𝑓(𝑥; 𝑦) > 𝑓(𝑥0 ; 𝑦0 ) .
Определение 3
Точки максимума и минимума называются точками экстремума
функции.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума)
Если точка 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ 𝐷(𝑓) является точкой экстремума функции
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦), то её частные производные в точке 𝑃0 равны нулю или не
существуют.
При доказательстве теоремы 1 используются определения частных
производных и теорема о необходимых условиях экстремума функции
одной переменной.
27
Замечание 1. Аналогично формулируются определения 1 и 2 и теорема 1
для функции трёх и более переменных.
Теорема 2 (достаточные
переменных)
условия
экстремума
функции
двух
Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) дважды дифференцируема в критической
точке
𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 )
и
её
окрестности
и
определитель
∆=
′′
′′
𝑧𝑥𝑥
(𝑃0 ) 𝑧𝑥𝑦
(𝑃0 )
| ′′
| > 0, то в точке 𝑃0 есть экстремум. Причём, если
′′
𝑧𝑦𝑥 (𝑃0 ) 𝑧𝑦𝑦
(𝑃0 )
′′
𝑧𝑥𝑥
(𝑃0 ) > 0, то точка 𝑃0
′′
𝑧𝑥𝑥
(𝑃0 ) < 0,
то
является точкой минимума функции, а если
точка
является
𝑃0
точкой
максимума.
Замечание 2. Если определитель ∆< 0, то в точке 𝑃0 нет экстремума, при
этом точку 𝑃0 называют седловой точкой. Если ∆= 0, то вопрос об
экстремуме в точке 𝑃0 остаётся нерешённым, нужны исследования
функции 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) по её производным более высокого порядка.
Теорема 3 (достаточные
переменных)
Пусть
функция
условия
𝑢 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)
экстремума
дважды
функции
трёх
дифференцируема
в
критической точке 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) и её окрестности. Определитель
′′
′′
′′
𝑢𝑥𝑥
(𝑃0 ) 𝑢𝑥𝑦
(𝑃0 ) 𝑢𝑥𝑧
(𝑃0 )
′′
′′
′′
∆= |𝑢𝑦𝑥 (𝑃0 ) 𝑢𝑦𝑦 (𝑃0 ) 𝑢𝑦𝑧 (𝑃0 )| имеет все главные диагональные миноры
′′
′′
′′
𝑢𝑧𝑥
(𝑃0 ) 𝑢𝑧𝑦
(𝑃0 ) 𝑢𝑧𝑧
(𝑃0 )
∆1 = 𝑢𝑥𝑥 (𝑃0 ), ∆2 = |
𝑢𝑥𝑥 (𝑃0 ) 𝑢𝑥𝑦 (𝑃0 )
|, ∆3 = ∆
𝑢𝑦𝑥 (𝑃0 ) 𝑢𝑦𝑦 (𝑃0 )
положительные, то 𝑃0 –
точка минимума функции 𝑢 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧). Если ∆1 < 0, ∆2 > 0 и ∆3 < 0 , то
точка 𝑃0 – точка максимума функции 𝑢 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧).
Замечание 3. Если 𝑃0 критическая точка функции 𝑢 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) и
∆𝑖 ≠ 0 (𝑖 = 1; 2; 3), но не выполняются условия теоремы 3, то в точке 𝑃0
28
нет экстремума, при этом точка 𝑃0 называется седловой точкой. Если все
∆𝑖 = 0 (𝑖 = 1; 2; 3), то вопрос об экстремуме в точке 𝑃0 решается с
помощью производных более высокого порядка.
Пример 1. Найти экстремумы функции: 𝑧 = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 8𝑥𝑦 + 1 .
Решение. 𝑧𝑥′ = 3𝑥 2 − 8𝑦; 𝑧𝑦′ = 3𝑦 2 − 8𝑥.
3
3
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥2
𝑧𝑥′ = 0
3𝑥 2 − 8𝑦 = 0
8
8
⇒ { 2
⇒ {27
⇒ { 27
⇒
{ ′
𝑧𝑦 = 0
3
3𝑦 − 8𝑥 = 0
𝑥 4 − 8𝑥 = 0
𝑥
𝑥
−
8)
=
0
(
64
64
3
⇒{
𝑦 = 𝑥2
8
𝑥1 = 0; 𝑥2 =
⇒ [
8
3
𝑥1 = 0; 𝑦1 = 0
8
8
3
3
𝑥2 = ; 𝑦2 =
.
8 8
Получили две точки 𝑀1 (0; 0) и 𝑀2 ( ; )
3 3
′′
′′
′′
′′
𝑧𝑥𝑥
= 6𝑥; 𝑧𝑦𝑦
= 6𝑦; 𝑧𝑥𝑦
= −8 = 𝑧𝑦𝑥
а) Исследуем точку 𝑀1 (0; 0):
′′ (𝑀 )
′′
′′
′′
𝑧𝑥𝑥
1 = 0; 𝑧𝑦𝑦 (𝑀1 ) = 0; 𝑧𝑥𝑦 (𝑀1 ) = 𝑧𝑦𝑥 (𝑀1 ) = −8 .
0 −8
Тогда ∆= |
| = 0 − 64 = −64 < 0 ⇒ точка 𝑀1 не является
−8 0
точкой экстремума.
8 8
б) Исследуем точку 𝑀2 ( ; ):
3 3
8
8
3
3
′′ (𝑀 )
′′
′′
′′
𝑧𝑥𝑥
2 = 6 ∙ = 16; 𝑧𝑦𝑦 (𝑀2 ) = 6 ∙ = 16; 𝑧𝑥𝑦 (𝑀2 ) = 𝑧𝑦𝑥 (𝑀2 ) = −8 .
16 −8
Тогда ∆= |
| = 256 − 64 = 192 > 0 ⇒ точка 𝑀2
−8 16
является
8 8
′′ (𝑀 )
точкой экстремума. Причём так как 𝑧𝑥𝑥
2 = 16 > 0, то точка 𝑀2 (3 ; 3)
является точкой минимума функции:
29
8 3
8 8
8 3
8 8
𝑧𝑚𝑖𝑛 ( ; ) = ( ) + ( ) − 8 ∙ ∙ + 1 = −
3 3
3
3
3 3
8 8
Ответ: 𝑧𝑚𝑖𝑛 ( ; ) = −
3 3
485
27
.
485
27
2. Условный экстремум
Пусть задана функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) на множестве 𝐷(𝑓) ⊂ 𝑅2 . Требуется
найти экстремумы функции 𝑓(𝑥; 𝑦), если 𝑥 и 𝑦 связаны некоторым
условием φ(𝑥; 𝑦) = 0, называемым уравнением связи.
Определение 4. Точка 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) ∈ 𝐷(𝑓) называется точкой условного
экстремума функции 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) при выполнении дополнительных условий
φ(𝑥; 𝑦) = 0 – уравнений связи.
Для нахождения точек условного экстремума существует два метода:
метод прямого отыскания и метод Лагранжа. Прямой метод состоит в том,
что из уравнения связи φ(𝑥; 𝑦) = 0 выражается одна из переменных через
другую, и её подставляют в функцию 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦). Получают функцию
одной переменной, для которой и решают задачу нахождения обычного
экстремума. Такой метод применяют тогда, когда удаётся из уравнения
связи выразить одну переменную через другую.
Пример 2. Найти условный экстремум функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 при условии
2𝑥 − 𝑦 = 1.
Решение. Используем метод
прямого
отыскания
точек
условного
экстремума. Из условия 2𝑥 − 𝑦 = 1 выразим 𝑦 = 2𝑥 − 1 и подставим его в
функцию 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 . Тогда 𝑧 = 𝑥 2 + (2𝑥 − 1)2 ⇒ 𝑧 = 5𝑥 2 − 4𝑥 + 1.
Найдём для функции 𝑧 = 5𝑥 2 − 4𝑥 + 1 обычный экстремум.
𝑧 ′ = 10𝑥 − 4 ⇒ 𝑧 ′ = 0, 10𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 =
30
2
5
𝑧′:
–
+
x
2
5
𝑧:
2
Следовательно, 𝑥 = – точка минимума функции 𝑧 = 5𝑥 2 − 4𝑥 + 1 .
5
2
Подставляем 𝑥 = в функцию 𝑧 = 5𝑥 2 − 4𝑥 + 1 и получим:
5
2 2
2
1
𝑧усл.𝑚𝑖𝑛 = 5 ∙ ( ) − 4 ∙ + 1 = .
5
5
5
2
1
1
Ответ: 𝑧усл.𝑚𝑖𝑛 ( ; − ) = .
5
5
5
Определение 5. Функция 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝜆) = 𝑓(𝑥; 𝑦) + 𝜆 ∙ φ(𝑥; 𝑦) называется
функцией Лагранжа, а коэффициент λ – множителем Лагранжа.
Замечание 4. Если связи не одно уравнение, а несколько (например, 𝑛), то
функция
Лагранжа
для
функции
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)
записывается
с
𝑛
множителями Лагранжа:
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝜆1 , 𝜆2 , … 𝜆n ) = 𝑓(𝑥; 𝑦) + 𝜆1 φ1 (𝑥; 𝑦) + 𝜆2 φ2 (𝑥; 𝑦) + ⋯ +𝜆n φn (𝑥; 𝑦).
Теорема 4 (необходимое условие поиска условного экстремума)
Пусть
функции
и
𝑓(𝑥; 𝑦)
φ(𝑥; 𝑦),
дифференцируемые
в
точке 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ), а 𝑃0 является точкой условного экстремума функции 𝑧 =
𝑓(𝑥; 𝑦) при условии φ(𝑥; 𝑦) = 0. Тогда найдется такое число 𝜆0 , при
котором точка
𝑃0
является
критической для
функции
Лагранжа
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥; 𝑦) + 𝜆0 φ(𝑥; 𝑦).
Метод
Лагранжа
поиска
условного
экстремума
состоит
следующем:
1) составляют функцию Лагранжа 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝜆) = 𝑓(𝑥; 𝑦) + 𝜆φ(𝑥; 𝑦);
31
в
2) находят её частные производные по 𝑥, 𝑦 и 𝜆;
3) приравнять частные производные к нулю и решают систему уравнений
𝐹𝑥′ = 0
𝐹𝑦′ = 0
;
{
′
𝐹𝜆 = 0 ⇒ φ(𝑥; 𝑦) = 0
4) исследуют найденную в результате решения системы точку 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 )
при найденном значении 𝜆0 и решают задачу обычного экстремума для
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝜆0 ) = 𝑓(𝑥; 𝑦) + 𝜆0 φ(𝑥; 𝑦).
Теорема 5 (достаточное условие поиска условного экстремума для
случая одного уравнения связи)
Пусть точка 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) и 𝜆0 найдены из решения системы
𝐹𝑥′ = 0
𝐹𝑦′ = 0
.
{
′
𝐹𝜆 = φ(𝑥; 𝑦) = 0
0
φ′𝑥 (𝑃0 )
φ′𝑦 (𝑃0 )
′′
′′
(𝑃0 ; 𝜆0 ) 𝐹𝑥𝑦
(𝑃0 ; 𝜆0 )| .
Пусть определитель ∆= |φ′𝑥 (𝑃0 ) 𝐹𝑥𝑥
′′
′′
φ′𝑦 (𝑃0 ) 𝐹𝑥𝑦
(𝑃0 ; 𝜆0 ) 𝐹𝑦𝑦
(𝑃0 ; 𝜆0 )
Если ∆> 0, то функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) имеет в точке 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) условный
максимум.
Если ∆< 0, то функция 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) имеет в точке 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) условный
минимум.
Пример 3. Методом Лагранжа найти условный экстремум для функции
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 при условии 2𝑥 − 𝑦 = 1.
Решение. Составим функцию Лагранжа
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝜆) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝜆(2𝑥 − 𝑦 − 1) .
Найдём её частные производные по 𝑥, 𝑦 и 𝜆:
32
𝑥 = −𝜆
𝑥 = −𝜆
= 2𝑥 + 2𝜆
𝜆
𝜆
2𝑥 + 2𝜆 = 0
𝑦
=
𝑦
=
′
𝐹𝑦 = 2𝑦 − 𝜆 ⇒
2𝑦 − 𝜆 = 0 ⇒
⇒
2
2 ⇒
′
2
𝜆
2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
𝐹𝜆 = 2𝑥 − 𝑦 − 1
𝜆
=
−
−2𝜆
−
=
1
[
{
{
{ 0
5
2
𝐹𝑥′
𝑥0 =
2
5
1
2
1
2
⇒ 𝑦0 = − 5 ⇒ 𝑃0 ( ; − ) при 𝜆0 = − .
5
5
5
{
2
𝜆0 = −
5
2
1
5
5
Выясним характер точки 𝑃0 ( ; − ) по теореме 5:
′′
′′
′′
φ′𝑥 = 2; φ′𝑦 = −1; 𝐹𝑥𝑥
= 2; 𝐹𝑦𝑦
= 2; 𝐹𝑥𝑦
= 0.
Составим определитель:
0 2 −1
∆= | 2 2 0 | = 0 + 0 + 0 − 2 − 8 = −10.
−1 0 2
2
1
5
5
Так как ∆< 0, то 𝑃0 ( ; − ) – точка условного минимума.
2
1
4
1
5
1
𝑧усл.𝑚𝑖𝑛 ( ; − ) = + = = .
5
5
25
25
25
5
2
1
1
Ответ: 𝑧усл.𝑚𝑖𝑛 ( ; − ) = .
5
5
5
Глава 2. Интегральное исчисление функции нескольких
переменных
§ 1. Двойной интеграл
1. Геометрическая задача, приводящая к понятию двойного интеграла
Пусть на замкнутой области D R² задана непрерывная функция
z f ( x; y), f ( x; y) 0 для ( x; y) D . В системе координат 0XYZ функция
33
z f ( x; y) задаёт некоторую поверхность z f ( x; y) . Из каждой граничной
точки области D восстанавливаем перпендикуляры к плоскости 0XY до
пересечения с поверхностью z f ( x; y) . При этом в пространстве R³
получаем объёмное цилиндрическое тело, у которого нижним основанием
является область D, верхним – часть поверхности z f ( x; y ) и боковая
поверхность
параллельна
оси
0Z.
Такое
тело
будем
называть
цилиндроидом.
Ставим задачу: вычислить объём V этого цилиндроида (рис. 1). С этой
целью проведём следующие операции:
а) область D разделим на n частей (произвольно) – D1, D2 , D3 ,..., Dn ;
б) обозначим площади каждой из этих частей S1, S2 , S3 ,..., Sn ;
в) на каждой из частей разбиения области D выберем точку M i ( xi ; yi ) и
строим ряд цилиндрических «столбиков», имеющих основания D1 и
высоты hi f (M i ) ;
Рис. 1
г) вычислим объёмы полученных «столбиков»:
Vi f ( xi ; yi )Si ;
д) в результате построено тело, состоящее из n «столбиков», приближенно
равное объёму цилиндроида, который равен:
34
n
n
i 1
i 1
V Vi f ( xi ; yi )Si ;
n
е) для повышения точности равенства: V Vi будем уменьшать размеры
i 1
частей разбиения области D, увеличивая их количество, т.е. n → ∞, но при
условии стремления к нулю max Si , стягивающегося в точку. Тогда
можно записать точное равенство:
V
n
lim
f ( xi ; yi )Si ;
n
i 1
max S i 0
ж) этот предел и даёт объём V заданного цилиндроида.
2. Определение двойного интеграла
Определение 1. Сумма
n
f ( xi ; yi )Si , построенная в разделе 1 пункт д)
i 1
называется интегральной суммой для функции f ( x; y) на замкнутой
области D.
Определение 2. Двойным интегралом от функции f ( x; y) по замкнутой
области D называется предел интегральной суммы
n
f ( xi ; yi )Si
при
i 1
условиях:
а) n → ∞ и max Si → 0 (стягиваясь в точку);
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D
на части, ни от выбора на этих частях точек M i ( xi ; yi ) Di .
Обозначение двойного интеграла:
D
f ( x; y )dS f ( x; y )dxdy
D
35
n
lim
f ( xi ; yi )Si .
n
i 1
max S 0
i
Теорема (достаточное условие существования двойного интеграла)
Если в замкнутой области D R² функция z f ( x; y) непрерывна, то
двойной интеграл от этой функции по области D существует.
3. Геометрический смысл двойного интеграла
1) Если функция z f ( x; y) непрерывна в области D R² и f(x;y) ≥ 0,
то двойной интеграл от этой функции по области D равен объёму
цилиндроида, у которого нижнее основание – область D OXY , верхнее –
часть поверхности z f ( x; y) и боковая поверхность параллельна 0Z, т.е.
Vцилиндроида f ( x; y )dxdy
D
2) Если f ( x; y ) 1 для любых ( x; y) D , то двойной интеграл от
z = 1 по области D равен площади области D:
S D dxdy .
D
4. Основные свойства двойного интеграла
1) Пусть функция z f ( x; y) непрерывна в области D R², причём
D D1 D2 , тогда
f ( x; y)dS f ( x; y)dS f ( x; y)dS.
D
Это
свойство,
D1
как
и
D2
последующие,
можно
доказать
путём
рассмотрения интегральных сумм и последующего перехода к пределам.
2) Постоянный множитель k выносится за знак двойного интеграла:
k f ( x; y)dS k f ( x; y)dS.
D
D
36
3) Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме
двойных интегралов от этих функций:
f1( x; y) f 2 ( x; y)dS f1( x; y)dS f 2 ( x; y)dS.
D
D
D
4) Если для двух непрерывных в области D функций f(x;y) и g(x;y)
выполняется неравенство f(x;y) ≤ g(x;y), то
f ( x; y)dS g ( x; y)dS .
D
D
Теорема (о среднем значении двойного интеграла)
Если функция z f ( x; y) непрерывна в замкнутой области D, то
внутри области D найдется, хотя бы одна точка ( x0 ; y0 ) , в которой
выполняется равенство:
f ( x; y)ds
f ( x0 ; y 0 ) S D ,
D
где S D – площадь области D.
Доказательство:
По свойству непрерывной функции в замкнутой
области, функция z f ( x; y) в области D достигает своих наименьшего (m)
и наибольшего (M) значений. Значит:
m ≤ f (x;y) ≤ M для ( x; y ) D .
Тогда для всех ( xi ; yi ) D можно записать
m ≤ f ( xi ; yi ) ≤ M ,
где i 1; n.
Умножая последнее неравенство на Si 0 , получим:
m S i f ( xi ; yi )S i M S i .
37
Суммируем все n неравенств ( i 1; n ):
n
n
n
i 1
i 1
i 1
m Si f ( xi ; yi )Si M Si .
Вынесем m и М за знаки сумм (как постоянные величины) и перейдём
к пределам при n → ∞ и max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку):
m lim
n
Si
n i 1
max S 0
i
n
lim f ( xi ; yi )S i M lim
n i 1
max S 0
i
n
M S i .
n i 1
max S 0
i
Ссылаемся на определение двойного интеграла и получаем:
m ds f ( x; y )ds M ds
D
D
D
m S D f ( x; y )ds M S D .
D
Разделим последнее неравенство на S D , где S D 0 . Тогда
m
f ( x; y )ds
D
SD
M.
По свойству непрерывной функции в замкнутой области, функция
z f ( x; y) в области D принимает все промежуточные значения между
наименьшим
(m)
и
наибольшим
(М)
значениями.
Следовательно,
существует точка ( x0 ; y0 ) D , в которой:
f ( x0 ; y 0 )
f ( x; y)ds
D
SD
, умножаем на S D f ( x; y )dS f ( x0 ; y0 ) S D
D
Теорема доказана.
38
Геометрический смысл теоремы о среднем значении двойного интеграла
Если
f ( x; y) 0 в области D, то объём цилиндроида V f ( x; y )dS
D
можно заменить на объём цилиндра, у которого основаниями верхним и
нижним будет область D, а высота f ( x0 ; y0 ) .
5. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Определение 1. Замкнутая область D называется правильной в направлении
оси 0y (или 0x), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку
области D и параллельная оси 0y (или 0x), пересекает границу области D
только в двух точках.
Рис. 2
На рисунках: а – D правильная в направлении 0y; б – D правильная в
направлении 0x; в – D правильная в направлении 0x, но неправильная в
направлении 0y; г – D правильная в направлении 0y, но неправильная в
направлении 0x.
При вычислении двойного интеграла используют правила сведения
этого интеграла к повторному. При этом область D должна быть
правильной в направлении, например оси 0y и её границы должны
описываться непрерывными функциями, причём
39
y 1( x) – нижняя
граница области D и y 2 ( x) – верхняя граница области D, т.е.
1( x) 2 ( x) для любого x a; b.
Если эти условия на область D не выполняются, то её разбивают на
части, на которых эти условия выполняются, и интегрируют по каждой из
частей, а затем результат суммируют.
Далее рассматривают при некотором фиксированном значении
x a; b интеграл от функции f (x;y) по y 1( x); 2 ( x) :
( x)
2
f ( x; y)dy S ( x).
( x)
1
Тогда объём цилиндроида равен
D
b 2 ( x )
f ( x; y )dxdy S ( x)dx f ( x; y )dy dx.
a
a ( x)
1
b
( x)
При этом
2
f ( x; y)dy
вычисляется при фиксированном х (x=const) и
( x)
1
b
называется внутренним интегралом, а S ( x )dx – внешним интегралом.
a
D
b 2 ( x )
f ( x; y )dxdy f ( x; y )dy dx – повторный интеграл.
a ( x)
1
Правило вычисления начинается с вычисления внутреннего интеграла
при х = const, затем от полученной функции S(x) вычисляется внешний
b
интеграл
S ( x ) dx .
a
Рассмотрим случай сведения двойного интеграла к повторному, если
40
область D правильная в направлении оси 0x и границы её заданы
непрерывными функциями: x=ψ1(y) – левая граница области D и x=ψ2(y) –
правая граница области D, т.е. ψ1(y) ≤ ψ2(y) для любого y [c;d].
Далее
при
некотором
фиксированном
y [c;d]
значении
рассматривают интеграл от функции f (x;y) при x [ψ1(y);ψ2(y)]:
ψ 2 ( y)
f ( x; y)dx S ( y).
ψ1 ( y )
Тогда объём цилиндроида равен:
D
При этом
d ψ 2 ( x)
f ( x; y )dxdy S ( y )dy f ( x; y )dx dy.
c
c ψ ( x)
d
1
ψ2 ( y)
f ( x; y)dx
вычисляется
при
фиксированном
ψ1 ( y )
d
значении y (y=const) и называется внутренним интегралом, а
S ( y ) dy –
c
внешним интегралом.
Правило
вычисления
этого
повторного
интеграла
аналогично
описанному выше: сначала вычисляют внутренний интеграл по х при
y = const, затем – внешний интеграл по y.
Замечание 1. Если область D является правильной в направлении обеих
осей и границы описываются следующим образом: нижняя граница:
y 1 ( x) ; верхняя граница: y 2 ( x) ;
x [a;b]; левая граница: x=ψ1(y);
правая граница: x=ψ2(y); y [c;d], то выполняется равенство:
D
b 2 ( x)
d ψ ( x)
f ( x; y )dxdy f ( x; y )dy dx f ( x; y)dx dy.
a ( x)
c ψ ( x)
2
1
1
41
Общеупотребительна другая запись повторных интегралов:
b 2 ( x)
b ( x)
f ( x; y)dy dx dx f ( x; y )dy
a ( x)
a ( x)
2
1
1
или
d ψ 2 ( x)
d ψ ( x)
f ( x; y)dx dy dy f ( x; y)dx.
c ψ ( x)
c
ψ ( x)
2
1
1
Замечание 2. При представлении двойного интеграла в виде повторного,
пределы внешнего интеграла всегда постоянные, а пределы внутреннего
интеграла, как правило, переменные. Только в случае если область D –
прямоугольник и a x b , c y d , то внешний и внутренний интегралы
имеют постоянные пределы:
b
d
a
c
f ( x; y)dxdy dx f ( x; y)dy.
D
Замечание 3. Если f ( x; y) f1( x) f 2 ( y) и область D – прямоугольник:
a x b , c y d , то двойной интеграл от f ( x; y) по такой области D
равен произведению определённых интегралов:
b
d
a
c
f1( x) f 2 ( y)dxdy f1( x)dx f 2 ( y)dy
D
a x b
.
D :
c
y
d
Пример 1. Вычислить повторный интеграл:
1
2 x
1
2 2 x
y
d
x
xy
d
y
x 2
0
x
0
2
42
x2
dx
1
2
1
4 4x x 2 x5
2 x 2
x 2
x
x
dx x
dx
2
2
2
2
0
0
1
1
1
x3 x5
2x3
x4
x6
2
2 1
2x 2x
dx x
0
2
2
3 0 8 0 12 0
0
2 1 1 24 16 3 2 27 18 9 3
1
.
3 8 12
24
24
24 8
1
Ответ:
1
2 x
0
x2
3
dx xydy 8 .
Пример 2. Расставить пределы интегрирования в различном порядке:
f ( x; y)dxdy , если область D ограничена линиями: y = 2x;
y = x; x = 1.
D
1) Чертёж области D:
Рис. 3
2) Область D правильная в направлении оси 0y для x [0;1] .
Нижняя граница D : y = x; верхняя граница D : y = 2x. Поэтому:
1
2x
0
x
f ( x; y)dxdy dx f ( x; y)dy
D
3) Область D правильная в направлении оси 0X, но для y 0;1 левая
граница D: x
y
; правая граница D: x y , а для y 1;2 левая граница
2
43
D: x
y
; правая граница D: x 1 . Поэтому область D
2
в этом случае
разбиваем на две области прямой y=1: D1 y 0;1 и D2 y 1;2 , интеграл
по области D представляем суммой по областям D1 и D2 :
1
y
2
1
0
y
2
1
y
2
f ( x; y)dxdy dy f ( x; y)dx dy f ( x; y)dx
D
Ответ:
1
2x
1
y
2
1
0
x
0
y
2
1
y
2
f ( x; y)dxdy dx f ( x; y)dy dy f ( x; y)dx dy f ( x; y)dx
D
Пример 3. Изменить порядок интегрирования:
1
1 x
0
1 x
dx f ( x; y)dy.
Чертёж области D: 0 x 1 , нижняя граница области D: y 1 x ,
верхняя граница y 1 x (рис. 4).
Рис. 4
Чтобы изменить порядок интегрирования, надо внешний интеграл
взять по y, а внутренний – по x. Область D в направлении оси 0x
44
правильная, но для y 0;1 левая граница области D: х = 1 – у, правая
граница х = 1, а для y 1; 2 левая граница D: х = у – 1, правая – та же
x 1. Поэтому область D разбиваем на две области прямой y = 1:
D1 y 0;1 и D2 y 1;2 и интеграл по области D представляем в виде
суммы интегралов по областям D1 и D2 :
1
1 x
0
1 x
dx f ( x; y)dy f ( x; y)dxdy f ( x; y)dxdy
D1
1
1
0
1 y
dy
Ответ:
6.
D2
2
1
1
y 1
f ( x; y )dx dy
f ( x; y)dx
1
1 x
1
1
2
1
0
1 x
0
1 y
1
y 1
dx f ( x; y )dy dy f ( x; y )dx dy f ( x; y )dx.
Двойной интеграл в полярной системе координат
Полярная система координат считается заданной, если заданы:
1) точка 0, называемая полюсом;
2) полуось 0х, называемая полярной осью. На 0х выбрана масштабная
единица.
Тогда положение точки М в полярной системе координат определяют
две величины: – угол наклона вектора OM к полярной оси 0х и ρ –
величина вектора OM (Рис. 5).
Рис. 5
45
Если задать декартовую систему координат, связанную с полярной
так, чтобы ось 0х совпадала с
полярной осью 0х и ось 0у была
перпендикулярна к полярной оси 0х, то можно установить связь между
координатами точки М в обеих системах координат:
x2 y 2 ρ2
x ρ cos
,
y ρ sin или y
tg
x
где (x;y) – координаты точки М в декартовой системе, (; ρ) – координаты
той же точки М в полярной системе.
Любую кривую y f (x) , заданную в декартовой системе координат,
можно задать в полярной системе уравнением ρ ρ() , которое можно
получить непосредственно исходя из геометрических свойств этой кривой
либо с помощью формул перехода от декартовых координат к полярным.
Элементарной областью D в полярной системе координат считают
сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из полюса под углами
α и β к оси 0x ( α и β ), и кривой ρ ρ() (рис.6).
Рис. 6
Определение. Область D в полярной системе координат называется
правильной, если любой луч, исходящий из полюса и проходящий через
внутреннюю точку области D, пересекает границу области D только в двух
точках (рис. 7).
46
Рис. 7
Замечание 1. Если полюс 0 лежит вне области D, то правильную область
D в полярной системе координат можно описать как область,
ограниченную двумя лучами α и β (α β) и кривыми ρ ρ1() и
ρ ρ2 () (ρ1() ρ2 ()) при α; β.
Замечание 2. Если полюс 0 лежит внутри области D, то правильную
область D в полярной системе координат можно описать неравенствами:
0 2π ; 0 ρ ρ().
Переход от декартовых координат к полярным в двойном интеграле
проводится для упрощения его вычисления в случае, если:
1) функция
f ( x; y) зависит от x 2 y 2 или от
y
, так как x 2 y 2 ρ2 и
x
y
tg ;
x
2) область
D
ограничена кривыми,
уравнения
которых
легко
преобразуются в полярные координаты.
Теорема (переход от декартовых координат к полярным в двойном
интеграле)
Пусть выполнены условия:
f ( x; y)
непрерывна в замкнутой области D;
область D является правильной в полярной системе координат, т.е.
47
область D задана неравенствами: α β , ρ1() ρ ρ2 () ;
функции ρ1() и ρ 2 () непрерывны при α; β. Тогда
справедливо равенство:
β
ρ 2 ( )
α
ρ 1 ( )
f ( x; y)dxdy d f (ρ cos ; ρ sin )ρdρ
D
Следует помнить правило этого перехода:
y ρ sin в функции
Заменить x ρ cos и
f ( x; y) и в
уравнениях границ области D;
Заменить ds ρdρd ;
При вычислении двойного интеграла в полярных координатах
внешний интеграл вычисляется по от α до β , а внутренний по ρ от
ρ1() до ρ 2 () – если полюс 0 лежит вне области D. Если полюс 0 лежит
внутри области D, то внешний интеграл по от 0 до 2π , а внутренний по
ρ от 0 до ρ1() (граница области D).
Пример. Вычислить
x 2 y 2 2x
.
,
если
D:
y
d
x
d
y
y
x
D
Чертёж области D:
x 2 y 2 2 x x 2 y 2 2 x 0 x 2 2 x 1 y 2 1 x 12 y 2 1
– круг с центром в точке (1;0) и радиусом r = 1 (рис. 8).
Рис. 8
48
В полярной системе координат:
уравнение x 2 y 2 2 x преобразуется к виду:
ρ2 cos2 ρ2 sin 2 2ρ cos,
ρ2 2ρ cos,
ρ 2 cos ;
π
4
π
π
;0 ρ 2cos (рис. 8).
2
4
D:
прямая y x ;
ydxdy ρ sin ρdρd ρ
D
D
π
4
2
sin dρρ
D
π
4
2 cos
ρ3
d ρ sin dρ sind
3
π
π
0
2 cos
2
2
π
4
0
2
8
π
4
sin 83 cos d 3 sin cos d
3
π
2
3
π
2
π
4
π
8
2
cos3 dcos cos 4 4 π
3 π
3
2
2
4
2
2 2
1
π
π
cos 4 cos 4
3
3 2
6
4
2
Ответ:
1
.
6
7. Интеграл Эйлера–Пуассона
2
Определение. Несобственный интеграл e x dx называется интегралом
0
Эйлера–Пуассона.
2
Известно, что e x dx не выражается через элементарные функции,
49
поэтому для вычисления интеграла Эйлера–Пуассона используем двойной
интеграл от функции e ( x
2 y2 )
по различным специального вида областям.
Рассмотрим три области:
1) D1 – 1-я четверть круга радиуса R; x2+y2 ≤ R2(x ≥ 0; y ≥ 0).
2) D2 – квадрат со стороной R в 1-й четверти; x=R; y=R; x=0; y=0.
3) D3 – 1-я четверть круга радиуса R 2 : x2+y2 ≤ 2R2(x ≥ 0; y ≥ 0).
По
( x
e
каждой
2 y2 )
из
этих
областей
вычислим
двойной
интеграл
dxdy .
D
x ρ cos ; y ρ sin ; dxdy ρdρd
ρ 2 R 2
ρ R
( x 2 y 2 )
2
2
2
e
d
x
d
y
x y R
D1 :
π
D
0
x
0
;
y
0
0
2
1)
1
π
2
R
0
0
d e
π
2
1
e
20
ρ 2
π
2
ρdρ
0
1 R ρ 2
- d e d(-ρ 2 )
2 0
π
2
2
π
2
1
1 e R
d (e R 1)d
02
20
2
0
R
ρ 2
2
2
1 e R π π(1 e R )
.
2
2
4
2)
( x
e
2 y2 )
D2
R
0 x R R R x 2 y 2
dxdy D2 :
e dy
dx e
0
y
R
0 0
e
0
x2
R
dx e
0
2
y2
R
2
dy e x dx .
0
50
π
2
3)
e
( x 2 y 2 )
D3
ρ 2 2 R 2
ρ R 2
2
2
2
x y 2R
dxdy D3 :
π
π
0
0
x 0; y 0
2
2
π
2
d
0
R 2
0
π
2
2
2
1
e ρ ρdρ e ρ
2
0
R 2
d
0
π
2
2
1
π
e 2 R 1 02 1 e 2 R .
2
4
Так как e ( x
2 y2 )
e
0 при любых (x; y) D и D1 D2 D3 , то:
( x 2 y 2 )
dxdy e ( x
D1
2 y2 )
dxdy e ( x
D2
2 y2 )
dxdy
D3
Следовательно:
2
R x2
π
π
R2
2 R 2
1
e
e dx 1 e
.
4
4
0
2
2
Так как 1 e R и 1 e 2 R положительны при любых значениях R,
то
R
2
2
2
π
π
1 e R e x dx
1 e 2 R .
2
2
0
Вычислим пределы:
lim
R
R
2
2
2
π
π
1 e R lim e x dx lim
1 e 2 R
R
R 2
2
0
R
2
π
π
1 0 lim e x dx
1 0
R0
2
2
0
R
2
По теореме о пределе трёх функций: e x dx
0
51
π
.
2
8. Некоторые приложения двойного интеграла
1) Площадь плоской области D:
S D dxdy .
D
2) Объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью
z f ( x; y) , снизу областью D на плоскости 0XY, сбоку цилиндрической
поверхностью, параллельной оси 0Z (рис. 1):
V f(x;y) dxdy .
D
3) Площадь поверхности z f ( x; y) :
S
D0xy
2
2
f f
1 - dxdy ,
x x
где D0xy – проекция данной поверхности на плоскость 0XY.
4) Масса пластинки, занимающей область D плоскости 0XY и имеющей
плотность γ( x; y ) :
M γ(x;y)dxdy .
D
При этом статистические моменты пластинки относительно осей
0X и 0Y:
M x y γ(x;y)dxdy ; M y x γ(x;y)dxdy .
D
D
5) Координаты центра тяжести пластинки:
x0
My
M
; y0
52
Mx
M .
В случае однородной пластинки γ( x; y) const и координаты центра
тяжести однородной пластинки имеют вид:
x0
xdxdy
D
dxdy
; y0
ydxdy
D
D
dxdy
.
D
§2. Тройной интеграл
1. Определение тройного интеграла
Пусть задана функция u f ( x; y; z) на замкнутой области D R3.
Определение 1. Сумма
n
f ( xi ; yi ; zi ) Vi ,
где точка ( xi ; yi ; zi ) Di , Vi –
i 1
объём i-й части разбиения области D на D1, D2 ,..., Dn , называется
интегральной
суммой
функции
в
f ( x; y; z)
области
D.
Определение 2. Тройным интегралом от функции u f ( x; y; z) по области
D R3 называется предел интегральной суммы
n
f ( xi ; yi ; zi ) Vi
при
i 1
условиях:
а) n и max Vi (стягиваясь в точку);
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D
на части D1, D2 ,..., Dn , ни от выбора точек ( xi ; yi ; zi ) в области Di (i 1; n) .
Итак:
f ( xi ; yi ; zi )dv
D
n
lim
f ( xi ; yi ; zi ) Vi ,
n
i 1
max V 0
i
где dv dxdydz – элемент области D R3.
53
Теорема (достаточное условие существования тройного интеграла)
Если функция u f ( x; y; z) непрерывна в области D R3, то тройной
интеграл от этой функции по области D существует.
2. Физический и геометрический смысл тройного интеграла
1) Если f ( x; y; z) 1 при ( x; y; z) D R3, то тройной интеграл от такой
функции по области D равен объёму тела D:
VD dxdydz.
D
2) Если в каждой точке объёмной области D задана плотность
распределения масс γ( x; y; z) , то тройной интеграл от этой плотности по
области D равен массе тела, занимающего область D:
mD γ( x; y; z )dxdydz .
D
3. Основные свойства тройного интеграла
1) Если функция
u f ( x; y; z) непрерывна в объёмной области D и
D D1 D2 , то
f ( x; y; z)dv f ( x; y; z )dv f ( x; y; z)dv .
D
D1
D2
2) Если k постоянная величина, то
k f ( x; y; z )dv k f ( x; y; z)dv .
D
D
3) Если функции f1( x; y; z ) и f 2 ( x; y; z ) непрерывны в области D R3, то
f1( x; y; z ) f 2 ( x; y; z )dv f1( x; y; z )dv f 2 ( x; y; z )dv .
D
D
54
D
4) Если для любых значений ( x; y; z) D R3 выполняется неравенство:
f1( x; y; z ) f 2 ( x; y; z ) , то
f1( x; y; z )dv f 2 ( x; y; z )dv .
D
D
Теорема (о среднем значении тройного интеграла)
Если функция u f ( x; y; z) непрерывна в замкнутой области D R3, то
внутри области D найдётся хотя бы одна точка ( x0 ; y0 ; z0 ) D , для которой
выполняется равенство:
f ( x; y; z )dv
f ( x0 ; y0 ; z0 ) VD ,
D
где V D – объём тела, занимающего область D.
4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
Для вычисления тройного интеграла от функции u f ( x; y; z) по
области D R3 проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту
проекцию G(G ПрOXY D) . Пусть область D будет такой, что любая
прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси
0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух
точках. Пусть
z z1 ( x; y ) и z z2 ( x; y) – уравнения поверхностей,
ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис. 1).
Тогда можно записать:
z 2 ( x; y )
f ( x; y; z)dv dxdy f ( x; y; z)dz.
D
D
55
z1 ( x; y )
Рис. 1
Если область G окажется правильной в направлении, например, оси
a x b
G
:
0Y, т.е.
y ( x) y y ( x) , то
2
1
b
y 2 ( x ) z 2 ( x; y )
a
y1 ( x ) z1 ( x; y )
f ( x; y; z)dv dx dy f ( x; y; z)dz.
D
Замечание 1. При сведении тройного интеграла к трём повторным
интегралам не обязательно проецировать область D на плоскость 0XY,
можно проецировать либо на 0XZ, либо на 0YZ – как удобнее.
Замечание 2. Следует сначала вычислять внутренний интеграл по z, считая
x и y постоянными, а затем вычислять двойной интеграл от полученной
функции Фx;y
z 2 ( x; y )
f ( x; y; z)dz
по области G, тогда:
z 1 ( x; y )
f ( x; y; z )dv Ф( x; y)dxdy.
D
Пример. Вычислить
G
x y z 1
,
где
D
:
x 0; y 0; z 0
x y z 13
D
dxdydz
56
Рис. 2
Объёмная область D – треугольная пирамида с основанием AOB и
вершиной в точке C (рис. 2).
Пр OXY D G – треугольник AOB.
dxdydz
1 x y
1 x y
dz
d( z x y 1)
x y z 13 dxdy x y z 13 dxdy x y z 13
D
G
0
G
0
1 x y
1
-1
1
dxdy
dxdy
2
2
2
2( x y z 1) 0
2 x y 1-x-y 1
2 x y 1
G
G
1
1 x
1 1 x
1 x
1
1
1
1
1
dy
dy
d
x
d
y
d
x
d
y
2x y 12 8
2 x y 1 8 dx
2 x y 12 8
G
0
0
0
0
0
1
x
1 x
1 1 x
1
1
1
1 x
1 d y x 1 y
d
x
dx
2 y x 1
2
2
8
8
y
x
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1 1
1 x
1 x
1
1 1 1
dx
dx
2 1 x x 1 2 x 1 8 8
4 2 x 1 8 8
0
0
1
1
1
3 x
1
3
x2
1 1
dx ln x 1 x
2 x 1 8 8
2
8 0 16
0
0
Ответ:
1
5
ln 2 .
2
16
57
1
0
1
1
3 1 1
5
ln 2 ln 1
ln 2
2
2
8 16 2
16
5. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Переход от декартовых координат к цилиндрическим проводится по
формулам: x ρ cos ; y ρ sin ; z z (рис. 3). (0 ρ ; 0 2π;
z ) . Тогда тройной интеграл от f ( x; y; z) по области D R3
преобразуется следующим образом:
f ( x; y; z )dxdydz f (ρ cos ; ρ sin ; z ) ρ dρ d dz.
D
D
Рис. 3
6. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
Переход от декартовых координат к сферическим проводится по
формулам (рис. 4):
x ρ cos sin θ; y ρ sin sin θ; z ρ cos θ
(0 ρ ; 0 2π; 0 θ π)
Рис. 4
58
Тогда тройной интеграл от f ( x; y; z) по области D R3 преобразуется
следующим образом:
f ( x; y; z )dxdydz f (ρ cos sin θ; ρ sin sin θ; ρ cos θ) ρ
D
2
sin θdρd dθ
D
7. Некоторые приложения тройного интеграла
1) Объём тела, занимающего область D R3:
VD dxdydz
D
2) Масса тела, занимающего область D R3:
M D γ( x; y; z )dxdydz ,
D
где ( x; y; z) – плотность тела.
3) Координаты центра тяжести тела, занимающего область D R3:
x0
1
x γ( x; y; z )dxdydz;
M D
D
y0
1
y γ( x; y; z )dxdydz;
M D
D
z0
1
z γ( x; y; z )dxdydz.
M D
D
Если тело однородное, т.е. γ(x;y;z) const , то координаты его центра
тяжести:
x0
1
xdxdydz;
M D
D
y0
1
ydxdydz;
M D
D
59
z0
1
zdxdydz.
M D
D
§ 3. Криволинейные интегралы
1. Криволинейные интегралы I рода (по дуге)
Пусть функция z = f (x; y) определена и непрерывна в точках дуги AB,
принадлежащей гладкой кривой l, имеющей уравнение y ( x) (a x b) .
Разобьём
дугу
AB
произвольным
образом
на
n
дуг
точками
A A0 ; A1,..., An B, пусть li – длина дуги Ai 1 Ai . На каждой из n дуг
выберем произвольно точку
M i ( xi ; yi ) (i 1; n)
и умножим значение
функции f ( xi ; yi ) в этой точке на длину li .
Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x; y) по дуге AB
называется сумма вида:
n
f ( xi ; yi )li .
i 1
Определение 2. Криволинейным интегралом от функции f (x; y) по дуге AB
(или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной
суммы
n
f ( xi ; yi )li
вида
i 1
f ( x; y )dl
AB
n
lim
f ( xi ; yi )li
n i 1
max l i 0
при условиях:
1) n и max Δli 0 (i 1; n) ;
2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB
на части, ни от выбора на каждой из частей точек M i ( xi ; yi ) .
60
Криволинейный интеграл I рода вычисляется по формуле:
b
f ( x; y )dl f ( x; ( x)) 1 ' ( x) 2 dx,
AB
a
если кривая AB задана функцией y ( x) (a x b) .
Если кривая AB задана параметрически: x = x(t), y = y(t), где t1 t t2 ,
то криволинейный интеграл I рода от функции f ( x; y) по такой кривой
вычисляется по формуле:
f ( x; y )dl
AB
t2
2
2
f ( x(t ); y(t )) x' (t ) y' (t ) dt.
t1
Аналогично определяется и вычисляется криволинейный интеграл от
функции u f ( x; y; x) , определенной и непрерывной в точках дуги AB
гладкой
пространственной
кривой
l.
Пусть
эта
кривая
задана
параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ( t1 t t2 ), тогда
f ( x; y )dl
AB
t2
2
2
2
f ( x(t ); y(t ); z(t )) x' (t ) y' (t ) z' (t ) dt.
t1
Если f ( x; y) 0 , то криволинейный
интеграл I рода представляет
собой массу кривой l, имеющей переменную плотность γ f ( x; y) .
1.1. Основные свойства криволинейного интеграла I рода
1) Криволинейный
интеграл I рода не зависит от направления пути
интегрирования:
f ( x; y)dl f ( x; y)dl
AB
BA
61
2) Если дугу l интегрирования разбить на две части l1 и l2 , то:
f ( x; y)dl f ( x; y)dl f ( x; y)dl.
l
l1
l2
f1( x; y) f 2 ( x; y)dl f1( x; y)dl f 2 ( x; y)dl.
3)
l
l
l
k f ( x; y)dl .k f ( x; y)dl ,
4)
l
l
где k=const.
5) Если f ( x; y) 1 для любой точки кривой AB, то dl AB – длина дуги
AB
AB.
Пример 1. Вычислить длину кривой y 2 x3 от точки A (0;0) до точки
B(4;8).
AB
4
dl
AB
1 y'
2
0
1
4
3
3 x
9
3
2
dx y x ; y' x
1 x dx
2
2 0
4
4
4
9
9 4 2 9
1 x d 1 x
1 x
90
4
4 9 3 4
Ответ: AB
3
4
8
8
103 1
10 10 1 .
27
27
0
8
10 10 1 .
27
Пример 2. Вычислить ( x y )dl AB , если AB – отрезок прямой от точки
AB
A (0;0) до точки B(4;3). Прямая AB y = kx (x = 4 и y = 3):
3 k4 k
3
4
т.е. уравнение прямой AB y x
62
3
,
4
2
4
4
4
3
1
25
5
3
( x y)dl x 4 x 1 4 dx 4 x 16 dx 16 xdx
AB
0
0
0
5 x2
16 2
Ответ:
4
0
5
2
5
.
2
2. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Пусть в пространстве R 3 задана дуга AB гладкой кривой l и на этой
дуге AB задано векторное поле
F ( x; y; z) P( x; y; z) i Q( x; y; z) j R( x; y; z)k.
Точками A A0 ; A1, A2 ,..., An B дуга AB разбита на n произвольных
дуг A0 A1, A1 A2 ,..., An 1 An B , на каждой из которых произвольно взяты
точки M i ( xi ; yi ; zi ) i 1; n . Концы дуг соединены отрезками прямых, на
которых
выбрано
направление,
т.е.
образованы
векторы:
l1 A0 A1, l2 A1 A2 ,..., ln An 1 An каждый из которых имеет координаты:
li (xi ; yi ; zi ), i 1; n .
Составим сумму скалярных произведений векторов F (M i ) li i 1; n:
n
n
i 1
i 1
F ( M i ) li P( M i ) xi Q( M i ) yi R( M i ) zi .
Определение 3. Сумма
n
F ( M i ) li
называется интегральной суммой для
i 1
векторной функции F ( x; y; z) по дуге AB кривой l R3 .
Определение 4. Криволинейным интегралом II рода от векторной
функции
F ( x; y; z)
по дуге AB кривой l R3 называется предел
63
последовательности интегральных сумм
n
F ( M i ) li
при условиях:
i 1
1) n и max li 0 i 1; n;
2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги на
части, ни от выбора на каждой из этих частей точек M i . Этот
криволинейный интеграл II рода обозначается:
F dl
AB
n
F (M i ) li
lim
n i 1
max li 0
i 1; n
т.е. :
F dl
AB
P( x; y; z )dx Q( x; y; z )dy R( x; y; z )dz .
AB
Теорема 1 (существование криволинейного интеграла II рода)
Если вектор-функция F ( x; y; z) непрерывна на дуге AB гладкой кривой
l,
то
криволинейный
интеграл
II
рода
существует.
Замечание 1. Если вектор-функция F ( x; y; z) P( x; y; z) i Q( x; y; z) j задана
на дуге AB гладкой кривой l R 2 , то криволинейный интеграл II рода
записывается следующим образом:
F dl
AB
P( x; y; z )dx Q( x; y; z )dy
AB
2.1. Свойства криволинейного интеграла II рода
1) Интеграл II рода изменяет знак на противоположный при изменении
направления пути интегрирования:
F dl
F dl .
AB
BA
64
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz.
2)
AB
AB
AB
AB
Остальные свойства аналогичные свойствам интеграла I рода.
2.2. Физический смысл криволинейного интеграла II рода
Интеграл
F dl
равен
работе, совершаемой при перемещении
AB
материальной точки единичной массы из точки A в точку B по кривой l
в силовом поле, создаваемом вектором
F P( x; y; z)i Q( x; y; z) j R( x; y; z)k .
2.3. Вычисление криволинейного интеграла II рода
Пусть дуга AB кривой l R3 задаётся параметрически: x= x(t), y= y(t),
z = z(t) и точке A соответствует значение параметра t α , а точке B –
значение t β . Тогда: y x
b
P( x; y; z )dx Q( x; y; z )dy R( x; y; z )dz P( x(t ); y(t ); z (t ) x' (t )
AB
a
Q( x(t ); y (t ); z (t )) y' (t ) R( x(t ); y (t ); z (t )) z' (t )) dt.
В частном случае плоского задания кривой l R 2 , например, в виде
функции y (x) от точки A(a; (a)) до точки B(b; (b)) , интеграл II рода
вычисляется по формуле:
b
P( x; y)dx Q( x; y)dy P( x; ( x)) Q( x; ( x)) ' ( x) dx.
AB
a
Пример 1. Вычислить:
x cos t; y sin t;
(
x
y
)
d
x
(
x
z
)
d
y
y
d
z
AB
:
z a t;0 t 2π
AB
65
2π
(cos t sin t ) ( sin t ) (cos t a t ) cos t sin t a dt
0
- cos t sin t sin
2π
2
t cos 2 t a t cos t a sin t dt
0
cos 2 t
2
2π
2π
2π
2π
0
0
0
cos 2tdt a t cos t dt a sin t dt
0
2π
cos 2 2 π cos 2 0 1
2π
2π
sin 2t a (t sin t cos t ) 0 a cos t 0
2
2
2
0
1 1 1
1
sin 4 π sin 0 a (2 π sin 2 π 0 cos 2 π cos 0) a (cos 2 π cos 0) 0.
2 2 2
2
Ответ: 0.
Пример 2. Вычислить:
1
AB
3
0
1
1
1
1
e x d( x 3 ) 2 x 2 dx e x
30
3
0
Ответ:
ye dx xdy x 2 e x 2 x 2 dx AB : y x 2 ; A(0;0); B(1;1)
xy
3
3
1
1
2
1
1 2
1
x 3 e 0 (e 1).
3
3 3
3
0 3
0
1
(e 1) .
3
Пример 3. Вычислить работу силового поля F yi x j при перемещении
материальной точки вдоль верхней половины эллипса
A(a;0) в точку B(a;0) .
66
x2 y2
1 из точки
a2 b2
A
F dl
AB
x2 y2
x a cos t
y
d
x
x
d
y
2 2 1
y
b
sin
t
,
0
t
π
a
b
AB
π
(b sin t (a sin t ) a cos t b cos t )dt
0
π
π
π
ab(sin t cos t )dt ab dt ab t 0 π ab.
2
2
0
0
Ответ: π ab.
Замечание 2. Если кривая l, по которой проводится интегрирование,
является замкнутой, то A= B (начало пути совпадает с его концом). Тогда
путь интегрирования называют контуром и обозначают буквой C. При
криволинейный интеграл обозначают:
Pdx Qdy Rdz
C
с указанной стрелкой направления интегрирования. В таком случае
интеграл называют циркуляцией вектора F по замкнутому контуру. Если
нет стрелки, указывающей направление, то вычисляют интеграл против
часовой стрелки (положительное направление).
3. Формула Грина
Теорема.
2
Пусть C – граница замкнутой области D R и функции
P( x; y) , Q( x; y ),
P
Q
( x; y ) и
( x; y ) и
y
x
непрерывны в области D. Тогда
справедлива формула Грина:
Q
Pdx Qdy x
C
D
P
dxdy ,
y
где обход контура C осуществляется против часовой стрелки.
67
Доказательство: Пусть область D правильная в направлениях 0X и 0Y
(рис. 1).
Рис. 1
Пусть кривая AMB – график функции y y1 ( x) – дуга AMB,
кривая ANB – график функции y y 2 ( x) – дуга ANB,
кривая MAN – график функции x x1 ( y) – дуга MAN,
кривая MBN – график функции x x2 ( y) – дуга MBN.
Вычислим
b
y 2 ( x)
b
P
P
y dxdy dx y dy dxP( x; y)
D
a
y ( x)
a
1
y 2 ( x)
y1 ( x )
b
b
a
a
Px; y 2 ( x) dx P x; y1 ( x) dx
P( x; y)dx P( x; y)dx P( x; y)dx,
BNA
AMB
C
т.е.
P
y dxdy P( x; y)dx .
D
(1)
C
Аналогично вычислим
x2 ( y )
n
n
Q
Q
d
x
d
y
d
y
d
x
x
x
dy Q( x; y)
D
m
x ( y)
m
1
68
x2 ( y )
x1 ( y )
n
Q x2 ( y ); y Q x1 ( y ); y dy
m
n
n
m
m
Qx2 ( y); y dy Qx1 ( y); y dy
Q( x; y)dy Q( x; y)dy Q( x; y)dy,
MBN
NAM
C
т.е.
Q
x dxdy Q( x; y)dy .
D
(2)
C
Вычтем (1) из (2), получим:
Q
P
x dxdy y dxdy Q( x; y)dy P( x; y)dx.
D
D
C
C
Используя свойства двойного и криволинейного интегралов, можно
записать:
Q
P
x y dxdy Q( x; y)dy P( x; y)dx
D
C
или
Q
Q( x; y)dy P( x; y)dx x
C
D
P
dxdy.
y
Теорема доказана.
Замечание 1. Условия теоремы Грина обеспечивают существование всех
входящих в неё интегралов.
Замечание 2. Если область D не является правильной, то её надо разбить на
правильные части. Тогда:
Pdx Qdy
C
D1
D2
...
Dn
и для каждого из n слагаемых применяем формулу Грина.
69
Пример 1. Вычислить по формуле Грина:
P( x; y ) y Py' 1
(1 1)dxdy 2 dxdy 2S D .
xdy ydx
'
C
D
Q( x; y ) x Q x 1 D
Из полученного результата можно записать формулу для вычисления
площади области D, у которой границей является контур C, с помощью
криволинейного интеграла:
SD
1
xdy ydx.
2 C
Пример 2. Вычислить по формуле Грина:
(e
x
sin y m y )dx (e x cos y m)dy .
C
a
a
, m, a
C : x 2 y 2 ax окружность с центром O1 ;0 и радиусом
2
2
постоянные величины.
P e x sin y my; Q e x cos y m;
Py' e x cos y m; Q'x e x cos y.
e
x
sin y m y dx e x cos y m dy e x cos y e x cos y m dxdy mdxdy
C
D
D
2
πma
a
m S D m πR 2 m π
.
4
2
Ответ:
2
πma 2
.
4
4. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
(случай на плоскости)
Определение. Криволинейный интеграл II рода называется независящим
от пути интегрирования, если результат интегрирования будет один и тот
70
же по любому пути, соединяющему точки A и B, на котором функции P
(x;y) и Q (x;y) непрерывны. Обозначение такого интеграла:
B
P( x; y )dx Q( x; y )dy.
A
B
Теорема 1. Криволинейный интеграл
P( x; y)dx Q( x; y)dy
не зависит от
A
пути интегрирования в области D тогда и только тогда, когда
B
P( x; y)dx Q( x; y)dy 0
A
по любому замкнутому контуру C, целиком лежащему в области D.
Доказательство:
B
Необходимость. Дано: Pdx Qdy 0 , где С – любой контур D .
A
B
Доказать: Pdx Qdy не зависит от пути интегрирования.
A
Пусть точки A и B D . Рассмотрим две произвольные кривые l1 и l2 ,
соединяющие точки A и B (рис. 1).
Рис. 1
B
Так как по условию Pdx Qdy не зависит от пути интегрирования, то
A
71
Pdx Qdy Pdx Qdy.
AmB
AnB
Отсюда следует:
Pdx Qdy Pdx Qdy 0 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0.
AmB
AnB
AmB
BnA
C
Так как кривые l1 и l2 взяты произвольно, то и контур C=AmBnA –
произвольный.
Необходимость доказана.
B
Достаточность. Дано: Pdx Qdy 0 , где С – любой контур D .
A
B
Доказать: Pdx Qdy не зависит от пути интегрирования.
A
Рис. 2
Возьмём произвольный контур C D и на нём две точки
A и B
(произвольно) (рис. 2). Тогда по свойству криволинейного интеграла
можно записать:
0 Pdx Qdy
C
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy.
AmB
BnA
AmB
Поэтому
Pdx Qdy Pdx Qdy.
AmBl
1
AnB l
2
72
AnB
Как
видим,
результат
интегрирования по двум произвольным
кривым, имеющих одно и тоже начало (A) и один и тот же конец (B)
B
одинаковый,
следовательно,
Pd x Qd y
не
зависит
от
пути
A
интегрирования.
Достаточность доказана.
Теорема 2 (критерий независимости криволинейного интеграла от
пути интегрирования)
Пусть
функции
P( x; y ), Q( x; y ),
P
Q
( x; y ),
( x; y )
y
x
односвязной области D R . Чтобы интеграл
2
непрерывны
в
P( x; y)dx Q( x; y)dy
не
B
A
зависел от пути интегрирования в области D, необходимо и достаточно
выполнение равенства:
P
Q
( x; y )
( x; y ) в любой точке ( x; y ) D .
y
x
Доказательство:
Необходимость.
Дано:
P( x; y)dx Q( x; y)dy
не
зависит
от
пути
AB
интегрирования в области D, т.е. по любому контуру C D : Pdx Qdy 0.
C
Доказать:
P
Q
( x; y)
( x; y) в любой точке ( x; y ) D .
y
x
Предположим, что в точке M 0 D равенство не выполняется, т.е.
P
Q
(M 0 )
( M 0 ).
y
x
73
Пусть
Q
P
( M 0 ) ( M 0 ) 2σ 0. Построим окружность C с центром
x
y
в точке M 0 столь малого радиуса ρ , чтобы во всех точках круга S,
ограниченного этой окружностью, выполнялось неравенство
Q P
σ.
x y
Это требование можно выполнить исходя из непрерывности функции
Q P
.Тогда по формуле Грина:
x y
Q
P
Pdx Qdy ( x y )dxdy σdxdy σπρ
C
S
2
0,
S
т.е. есть замкнутый контур, принадлежащий области D, по которому
интеграл не равен 0. Это противоречит условию теоремы. Следовательно, в
любой
точке
( x; y) D
выполняется
равенство:
P
Q
( x; y )
( x; y ).
y
x
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Дано:
Доказать:
P
Q
( x; y )
( x; y ) в любой точке ( x; y) D.
y
x
P( x; y)dx Q( x; y)dy
не зависит от пути интегрирования в
AB
области D, т.е. по любому контуру C D :
Pdx Qdy 0 .
C
Рассмотрим любой контур C D , ограничивающий область S D
(так как область D односвязная). Тогда по формуле Грина:
Q
P
Pdx Qdy ( x y )dxdy .
C
S
74
Так как по условию теоремы
( x; y) D , то
Q
P
( x; y )
( x; y )
x
y
Q P
0 в области S D . Следовательно,
x y
в любой точке
0dxdy 0
S
Pdx Qdy 0 .
C
Так как контур C произвольный в области D, то
Pdx Qdy
в области
AB
D не зависит от пути интегрирования.
Достаточность доказана.
5. Потенциальное поле, потенциальная функция и её вычисление
Определение 6.
Векторное поле F P( x; y)i Q( x; y) j называется
потенциальным,
если
P( x; y)dx Q( x; y)dy
не
зависит
от
пути,
AB
соединяющего точки A и B.
Если
P( x; y)dx Q( x; y)dy
не зависит от пути интегрирования, то
AB
Pdx Qdy 0 Pdx Qdy dU ( x; y).
C
При этом функция U (x;y) называется потенциальной функцией поля
F P( x; y)i Q( x; y) j .
Вычисление потенциальной функции
Если
P
Q
( x; y )
( x; y ) , то существует функция U (x;y) , для которой
y
x
75
dU Pdx Qdy .
Для
криволинейный
интеграл
вычисления
функции
Pdx Qdy ,
не
U (x;y)
используем
зависящий
от
пути
AB
интегрирования. Путь AB выбираем любой, соединяющий точки A( x0 ;y0 )
и B(x;y) ; например, ломаную линию ACB, где C ( x;y0 ) (рис. 3). Тогда
B
U ( x; y ) P( x; y )dx Q( x; y )dy
A
C ( x; y 0 )
B ( x; y )
P( x; y )dx Q( x; y )dy
A( x 0 ; y 0 )
P( x; y)dx Q( x; y)dy
C ( x; y 0 )
y
AC : y y0 , dy 0; x
P( x; y0 )dx Q( x; y)dy.
CB : x const, dx 0 x
y
0
0
Рис. 3
Итак,
x
y
x0
y0
U ( x; y ) P( x; y )dx Q( x; y )dy.
Пример.
Найти потенциальную функцию U ( x; y ) по её полному
дифференциалу: dU ( x y 1)dx (e y x)dy.
Проверим условие полного дифференциала:
76
P ( x y 1) Py' 1
Py' Q'x – выполняется.
y
'
Q e x Q x 1
Способ 1. Если dU ( x y 1)dx (e y x)dy , то
U
x2
x y 1 U ( x y 1)dx ( y )
yx x ( y ) (y const)
2
x
U
y
y e x
x2
U
yx x ( y ).
2
U
x ' ( y ) e y x ' ( y ) e y ( y ) e y dy e y C.
y
Следовательно,
U
x2
yx x e y C.
2
Способ 2. Выберем в качестве пути интегрирования ломаную OCB, где
O(0;0), C( x;0), B( x;y) (рис. 4)
Рис. 4
U ( x; y )
B ( x; y )
( x 1 1)dx (e
y
x)dy
O ( 0; 0 )
OC : y 0, dy 0;
y
y
(
x
y
1
)
d
x
(
e
x
)
d
y
(
x
y
1
)
d
x
(
e
x
)
d
y
CB : x const , dx 0
OC
CB
77
y
x
2
x
y
0
0
x
x2
y
( x 1)dx (e x)dy
x e xy
x e y xy 1;
2
2
0
0
y
Итак:
U
x2
x e y xy C ,
2
где C – произвольная постоянная.
6. Вычисление криволинейного интеграла, независящего от пути
интегрирования
Pdx Qdy
Интеграл
не зависит от пути интегрирования, если Py' Q'x .
AB
Тогда значение интеграла будет зависеть от координат начала пути –
точка A и конца пути – точка B. При этом интеграл записывают
( x2 ; y2 )
Pdx Qdy.
следующим образом:
Чтобы его вычислить, можно
( x1 ; y 1 )
использовать два способа.
Способ 1.
( x2 ; y 2 )
( x2 ; y2 )
( x1 ; y1 )
( x1 ; y1 )
Pdx Qdy du,
где u u( x; y) – потенциальная функция.
Но так как
b
b
a
a
du u
u (b) u (a) , то
78
( x2 ; y2 )
( x2 ; y2 )
du u ( x; y)
( x1 ; y 1 )
u ( x2 ; y 2 ) u ( x1 ; y1 ).
( x1 ; y 1 )
Следовательно
( x2 ; y2 )
Pdx Qdy u( x2 ; y2 ) u( x1; y1 ).
( x1 ; y1 )
Способ
2.
Можно
вычислить
интеграл,
выбрав
любой
путь
интегрирования, соединяющий точки A( x1; y1 ) и B( x2 ; y2 ) . Наиболее
рационально выбрать путь ACB (рис. 3) – ломаную линию, звенья которой
параллельны осям координат, т.е. взять точку C ( x2 ; y1 ) или C ( x1; y2 ) , тогда
путь интегрирования будет состоять из двух отрезков: AC и CB, при этом
интеграл будет равен сумме двух интегралов по AC и CB. 0
Пример. Вычислить интеграл
( 2;2)
( x 2 y)dx (2 x y)dy.
( 0;0)
Способ 1 (рис. 5).
Рис. 5
( 2; 2)
( x 2 y)dx (2 x y)dy ( x 2 0)dx (2 2 y)dy
( 0;0)
OC
2
OC : y 0, dy 0; 2
x2
xdx (4 y )dy 2
CB : x 2, dx 0 0
0
79
CB
2
y2
4y
2
2
2
0
0
2 8 2 8.
0
Способ 2.
( 2;2)
( 2;2)
( 2;2)
( x 2 y)dx (2 x y)dy du u( x; y)
( 0;0)
( 0;0)
,
( 0;0)
где u( x; y) функция, для которой du ( x 2 y)dx (2x y)dy .
u'x x 2 y
x2
'
u ( x 2 y )dx ( y )
2 xy ( y ) ( y const ),
2
u y 2 x y
u'y
y2
2 x ' ( y ) 2 x y ' ( y ) y ( y ) .
2
Значит:
( 2;2)
x2
y2
u ( x; y )
2 xy
( x 2 y )dx (2 x y )dy
2
2
( 0;0)
( 2;2)
x2
y 2
2 xy
2 8 2 8.
2
2
(0;0)
Ответ: 8.
§ 4. Поверхностные интегралы
1. Поверхностный интеграл I рода
Пусть функция U U ( x; y; z) непрерывна на гладкой поверхности S,
заданной функцией z f ( x; y) непрерывно дифференцируемой в каждой
точке области D R2.
Определение. Поверхностным интегралом I рода от функции U ( x; y; z) по
поверхности S называется предел интегральной суммы
n
U ( xi ; yi ; zi ) S i
i 1
при условиях:
80
1) n и max Si 0 (стягиваясь в точку);
2) предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа
разбиения поверхности S на n частей, ни от выбора точек ( xi ; yi ; zi ) на
этих частях, т.е.
n
lim
U ( xi ; yi ; zi ) Si U ( x; y; z )ds,
n i 1
max S i 0
S
где ΔSi – площадь i-й части поверхности S (i 1; n), dS – дифференциал
поверхности S, вычисляемый по формуле:
2
2
z z
dS 1 dxdy.
x y
Если проекция поверхности
S на плоскость OXY однозначна и
совпадает с областью D, то поверхностный интеграл I рода вычисляется по
формуле:
2
2
z z
U ( x; y; z)ds U ( x; y; f ( x; y)) 1 x y dxdy.
S
D
Замечание 1. Если прямая, параллельная оси OZ
и проходящая через
внутреннюю точку области D, пересекает поверхность S в более чем одной
точке, то поверхность S разбивается на части так, чтобы прямая,
параллельная оси OZ, пересекала поверхность S только в одной точке.
Далее интегрирование следует выполнить по каждой из полученных
частей.
Замечание 2. Поверхностный интеграл I рода не зависит от того, по какой
стороне поверхности он берётся.
Замечание 3. Физический смысл поверхностного интеграла I рода зависит
81
от физического смысла данного скалярного поля, т.е. от U U ( x; y; z) , он
может определять массу, распределенную на данной поверхности,
электрический заряд и т.д.
Замечание 4. Если функция U U ( x; y; z) равна единице во всех точках
ds
поверхности S, то поверхностный интеграл I рода
равен площади
S
поверхности S. Следовательно, справедлива формула:
S S ds
S
D
2
2
z z
1 dxdy,
x y
где D – проекция поверхности S на плоскость OXY, z f ( x; y) – функция,
задающая поверхность S.
2. Поверхностный интеграл II рода
Гладкая поверхность S R 3 называется двусторонней, если нормаль к
этой поверхности в любой её точке при обходе по любому замкнутому
контуру, лежащему на поверхности S и не имеющему общих точек с её
границей,
возвращается
в
первоначальное
положение.
Выбор
определённой стороны поверхности, т.е. выбор направления нормали к
поверхности, называется ориентацией поверхности.
Пусть S гладкая ориентированная поверхность, в каждой точке
которой задана непрерывная функция U U ( x; y; z) . Разобьём поверхность
S на n частей произвольно и каждую часть проецируем на плоскость,
например, OXY. Обозначим площадь каждой проекции Sixy (i 1; n) . На
каждой из частей поверхности произвольно берём точку M i ( xi ; yi ; zi ) и
составим сумму
n
U ( xi ; yi ; zi ) Sixy .
i 1
82
Определение. Поверхностным интегралом II рода называется предел
интегральной суммы
n
U ( xi ; yi ; zi ) Sixy
при условиях:
i 1
1) n и max Si 0 (стягиваясь в точку),
2) предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа
разбиения поверхности S на части, ни от выбора точек M i (i 1; n) на
каждой из частей поверхности, т.е.
n
lim
U ( xi ; yi ; zi ) Sixy U ( x; y; z )dxdy .
n
i 1
max S 0
i
S
Аналогично можно дать определения поверхностных интегралов II
рода по другим координатам:
U ( x; y; z )dxdz
S
n
lim
U ( xi ; yi ; zi ) Sixz
n
i 1
max S 0
i
и
U ( x; y; z )dydz
S
n
lim
U ( xi ; yi ; zi ) Siyz .
n
i 1
max S 0
i
Пусть в каждой точке ориентированной поверхности S определен
вектор
F ( x; y; z ) P( x; y; z ) i Q( x; y; z ) j R( x; y; z ) k ,
где P( x; y; z), Q( x; y; z), R( x; y; z) непрерывные функции на поверхности S.
Тогда можно определить поверхностный интеграл II рода в общем случае
от векторной функции F ( x; y; z ) по поверхности S :
83
F ( x; y; z) d s P( x; y; z)dydz Q( x; y; z)dxdz R( x; y; z)dxdy,
S
S
где F ( x; y; z ) d s скалярное произведение вектора F ( x; y; z ) и ds вектора
с координатами:
d s dS yz
; dS xz
; dS xy
(cos α ds; cosβ ds; cos γ ds) (dydz; dx d z; dx d y).
Следовательно, поверхностный интеграл II рода в общем случае
можно записать:
F d s P( x; y; z ) cos α Q( x; y; z ) cos β R( x; y; z ) cos γ ds
S
S
P( x; y; z )dydz Q( x; y; z )dxdz R( x; y; z )dxdy,
S
т.е. в общем случае интеграл можно записать как поверхностный интеграл
I рода или как поверхностный интеграл II рода
(по координатам).
Поверхностный интеграл II рода называют потоком векторного поля
F ( x; y; z ) через поверхность S или S . Название «поток» связано с
гидромеханической задачей – вычисления количества жидкости или газа,
протекающего в заданном направлении в единицу времени через
поверхность S. Переход к другой стороне поверхности меняет направление
нормали к поверхности, а потому и знак поверхностного интеграла II
рода. Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к
вычислению поверхностного интеграла I рода:
F d s F n ds
S
S
( P( x; y; f ( x; y )) cos α Q( x; y; f ( x; y )) cos β R( x; y; f ( x; y )) cos γ)ds,
S
где
cos α; cosβ; cos γ направляющие косинусы вектора нормали n ;
84
z f ( x; y) функция, задающая поверхность S.
Или вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к
вычислению суммы трёх двойных интегралов:
F d s P( x( y; z); y; z)dydz
Пр ня S
S
Q( x; y( x; z ); z )dxdz
ПР xz S
R( x; y; z( x; y))dxdy,
ПР xy S
где ПрyzS, ПрxzS, ПрxyS проекции поверхности S на плоскости OYZ, OXZ
и OXY
соответственно, функции x(y;z), y(x;z) и z(x;y) – выражения,
полученные из уравнения z f ( x; y) , задающего поверхность
S, с
помощью разрешения x, y и z относительно соответствующих координат.
Пример. Вычислить поток вектора F xi yj zk
сторону
1
сферы, лежащей в первом октанте (рис. 1):
8
через внешнюю
x2 y 2 z 2 R2
x 0; y 0; z 0
Рис. 1
Так как в первом октанте внешняя нормаль сферы со всеми осями
координат
образует
острые
углы,
то
все
три
направляющих
косинуса нормали неотрицательны. Поэтому:
F d s
S
Пр yz S
xdydz
ydxdz zdxdy
Пр xz S
Пр xy S
R 2 y 2 z 2 dydz R 2 x 2 z 2 dxdz R 2 x 2 y 2 dxdy.
S1
S2
S3
85
Вычислим первый интеграл, остальные будут по величине такие же.
y ρ cos ; dydz ρdρd
R 2 y 2 z 2 dydz
R 2 ρ 2 ρdρd
z ρ sin
S
S
1
1
π
2
R
0
0
d
π
2
π
2
R
R
1
1
2
R ρ ρdρ d R 2 ρ 2 d( R 2 ρ 2 ) d ( R 2 ρ 2 ) 3
20 0
20
3
2
2
0
π
2
π
2
1
R3
πR 3
3
d
(
0
R
)
.
3 0
3
6
0
Итак:
R 3
πR 3
F d s 3 6 2 .
S
Ответ:
F d s
S
πR 3
.
2
3. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса–Остроградского
Определение. Пусть в пространстве R 3 задан вектор
F ( x; y; z ) P( x; y; z ) i Q( x; y; z ) j R( x; y; z ) k ,
где функции P, Q и R дифференцируемые в некоторой области D R3.
Тогда дивергенцией векторного поля F ( x; y; z ) называется скалярная
величина, обозначаемая div F и вычисляемая по формуле:
div F
P Q R
.
x y z
Теорема Гаусса–Остроградского
86
Пусть задана замкнутая поверхность S , ограниченная двумя
правильными по направлению оси
OZ поверхностями S1 и S 2 ,
описываемые, как z z1 ( x; y) и z z 2 ( x; y) соответственно. Тогда поток
вектора
F ( x; y; z) P( x; y; z) i Q( x; y; z) j R( x; y; z) k ,
через
поверхность S с нормалью n cosα i cosβ j cos γ k , направленной
из внутренней части, ограниченной поверхностью S (наружу по
отношению к объёму V), вычисляется по формуле:
P
P( x; y; z ) cos α Q( x; y; z ) cos β R( x; y; z ) cos γ dS x
S
V
Q R
dxdydz.
y z
В векторной форме формула ГауссаОстроградского имеет вид:
F d S divF dV .
S
V
Эта формула Гаусса–Остроградского связывает поток вектора F
через замкнутую поверхность S, ориентируемую вектором нормали n ,
направленный наружу по отношению к объёму V, заключенному внутри
поверхности S, с тройным интегралом по объему V от div F . Если вектор
F является вектором скорости жидкости, протекающей через объём V, то
интеграл даёт количество жидкости, вытекающей из объёма V через
поверхность S в единицу времени. Если жидкость втекает в объём V, то
тройной интеграл получается отрицательным, так как divF 0 .
Если divF 0 во всех точках объёма V, то поток вектора F равен 0.
Это означает, что количество втекающей жидкости и вытекающей из
объёма V одинаковое.
87
Пример. Определить поток вектора F x i y j z k через внешнюю
сторону сферы x 2 y 2 z 2 4 .
Найдём div F ; P x, Q y, R z
P
Q
R
1;
1;
1. Следовательно
x
y
z
divF 1 1 1 3.
4
F d S 3 dV 3 dV 3 3 πR
S
Ответ:
V
V : шар
3
4 π 23 32π
V
x 2 y 2 z 2 4, R 2
F d S 32π .
S
4. Ротор (вихрь) векторного поля. Теорема Стокса
Определение.
Ротором
(или
вихрем)
векторного
поля
F ( x; y; z ) P( x; y; z ) i Q( x; y; z ) j R( x; y; z ) k называется вектор, который
в каждой точке дифференцируемости поля обозначается
rot F
и
вычисляется следующим образом:
i
rot F
x
P
j
y
Q
k
Q P
R Q P R
i
k .
j
z y z z x
x y
R
Теорема Стокса
Пусть в пространстве R 3 задан замкнутый гладкий контур C,
являющийся
границей
поверхности
S,
заданной
непрерывно
дифференцируемой функцией. Ориентация поверхности S согласуется с
направлением обхода контура C «по правилу винта»: вектор нормали в
каждой точке поверхности S направлен так, что если смотреть с конца
88
вектора, то обход контура C наблюдается против часовой стрелки (в этом
случае направление вектора нормали считается положительным). Тогда
справедлива формула:
Pdx Qdy Rdz
C
R Q
Q P
P R
dS .
cos
α
cos
β
cos
γ
y z
x y
z
x
S
Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом
II рода по замкнутому контуру, т.е. циркуляцией вектора F ( x; y; z ) , с
поверхностным интегралом II рода от векторного поля
rot F
по
поверхности S, ориентированной с обходом контура C «по правилу винта»,
т.е. с потоком вектора rot F по поверхности, натянутой на контур C.
В векторной форме формула Стокса имеет вид:
F dl
C
rot F n dS .
S
Замечание 1. Если рассматривать формулу Стокса в плоском случае
(т.е. если z=0), то получается формула Грина. Значит, формула Грина
является частным случаем формулы Стокса.
Замечание 2. Из теоремы Стокса следует, что потоки rot F через любые
две поверхности, имеющие общий «край», равны.
Пример. Применяя формулу Стокса, вычислить
x
y dx dy zdz , если
2 3
C
x y r
контур C:
(окружность на плоскости OXY).
z 0
2
2
2
Найдём вектор rot F :
89
i
rot F
x
x2 y3
j
y
1
k
( z )'y (1)'z i ( x 2 y 3 )'z ( z )'x j (1)'x ( x 2 y 3 )'y k
z
z
0 i 0 j 3x 2 y 2 k rot F (0;0;3x 2 y 2 ).
Итак:
x
y dx dy zdz 3x 2 y 2 dxdy
2 3
S
C
3x
y dxdy
2 2
SOXY
x ρ cos ; y ρ sin ; dxdy ρdρd
S OXY - проекция поверхност и S , имеющей своей границей окружность
x2 y 2 r 2 ρ2 r 2 ρ r
2π
2π
r
r
3 d ρ cos ρ sin ρdρ 3 cos sin d ρ 5 dρ
2
0
2
2
2
2
0
0
6 r
1 2π 2
ρ
3 sin 2 d
4 0
6
0
3 r6
6 8
0
2π
2π
r6
1
(1 - cos4 )d 16 4 sin 4
0
0
r6
π r6
(2 π 0)
.
16
8
Ответ:
2
π r6
.
8
90
