Программа вступительного испытания, проводимого Академией самостоятельно по математике

Утверждено
на заседании экзаменационной комиссии
по математике
«11» ноября 2015 г.
Программа вступительного испытания,
проводимого Академией самостоятельно
по математике
На вступительном экзамене по математике поступающий должен
показать:
а) четкое знание математических определений и теорем,
предусмотренных программой;
б) умение точно и сжато выражать математическую мысль в
письменном изложении, использовать соответствующую символику;
в) уверенное владение математическими знаниями и навыками,
предусмотренными программой, умение применять их при решении задач.
На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин).
Для оформления экзаменационной работы абитуриент должен иметь
при себе ручку (синяя или черная), карандаш, линейку.
При выполнении экзаменационной работы разрешается пользоваться
непрограммируемым калькулятором.
Пользоваться сотовыми телефонами и другими средствами связи
категорически запрещается.
ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
Поступающий должен уметь:
Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять
данные числа и результаты вычислений.
Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей,
содержащих переменные, выражений, содержащих степенные,
показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций.
Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и
неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств
первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности,
относятся уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции.
Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
Использовать геометрические представления при решении алгебраических
задач, а методы алгебры и тригонометрии применять при решении
геометрических задач.
Пользоваться соотношениями и формулами, содержащими величины
углов, длины, площади, объемы.
Излагать и оформлять решение логически правильно, полно и
последовательно, с необходимыми пояснениями.
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Арифметика, алгебра и начала анализа.
Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Наибольший
общий делитель, наименьшее общее кратное. Целые числа (Z). Рациональные
числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение
рациональных чисел. Действительные числа (R), их представление в виде
десятичных дробей. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного
числа, его геометрический смысл. Степень с натуральным и рациональным
показателем. Корень степени n>1 и его свойства.
Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы
сокращенного умножения. Одночлен и многочлен. Многочлен с одной
переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
Преобразования выражений, включающих арифметические операции,
операцию возведения в степень, корни натуральной степени,
тригонометрические выражения, операцию логарифмирования.
Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс
произвольного угла. Основные тригонометрические тождества. Формулы
приведения. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
Синус и косинус двойного угла.
Логарифмы, их свойства. Десятичный и натуральный логарифмы.
Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные
уравнения. Тригонометрические уравнения. Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения. Равносильность уравнений, систем уравнений.
Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными. Основные приемы
решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение
новых переменных.
Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных
неравенствах. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства.
Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. Системы
линейных неравенств. Системы неравенств с одной переменной.
Понятие функции. Способы задания функции. Область определения.
Множество значений функции. График функции. Примеры функциональных
зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция.
Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.
Основные элементарные функции. Определение и основные свойства
функций:
линейной,
квадратичной,
степенной,
показательной,
логарифмической, тригонометрических функций.
Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности,
произведения, частного. Производные основных элементарных функций.
Вторая производная и её физический смысл.
Применение производной к исследованию функций и построению
графиков. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на
промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие
экстремума функции. Достаточное условие экстремума. Наибольшее и
наименьшее значение функции на промежутке.
Геометрия.
Планиметрия. Треугольник. Параллелограмм, прямоугольник, ромб,
квадрат.
Трапеция.
Многоугольник.
Сумма
углов
выпуклого
многоугольника. Правильные
многоугольники.
Окружность и круг.
Окружность, вписанная в треугольник (многоугольник), и окружность,
описанная около треугольника (многоугольника).
Прямые и плоскости в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и
скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых. Параллельность
прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность
прямой и плоскости; теорема о трёх перпендикулярах. Перпендикулярность
плоскостей.
Многогранники. Призма, её основания, боковые рёбра, высота,
боковая поверхность; прямая призма; правильная призма. Параллелепипед,
куб. Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая
поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида. Представление о
правильных многогранниках.
Тела и поверхности вращения. Цилиндр. Основание, высота, боковая
поверхность, образующая, развертка. Конус. Основание, высота, боковая
поверхность, образующая. Шар и сфера, их сечения.
Измерение геометрических величин. Величина угла, градусная мера
угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Длина
отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника. Расстояние от
точки до прямой, от точки до плоскости. Площадь треугольника,
параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Площадь поверхности конуса,
цилиндра, сферы. Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды,
призмы, цилиндра, конуса, шара.
Координаты и векторы. Координаты на прямой, декартовы координаты
на плоскости и в пространстве. Вектор, модуль вектора, равенство векторов;
сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные векторы.
Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между
векторами.