НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ y f x НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ a ; b Теорема 1. Функция y f x , непрерывная на отрезке a ; b , достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Теорема 2. Областью значений функции y f x , непрерывной на a ; b , является отрезок min f x ; max f x a ;b a ;b Алгоритм 1. Найти критические точки функции y f x (внутренние точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует). 2. Выбрать из них те, которые лежат внутри a ; b . 3. Вычислить значение функции y f x в точках a и b , а также в критических точках функции , лежащих внутри a ; b . min f x max f x 4. Выбрать из полученных чисел наименьшее (это будет a ;b ) и наибольшее (это будет a ;b ). НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ y f x НЕПРЕРЫВНОЙ НА ИНТЕРВАЛЕ a ; b 1. Чтобы исследовать функцию на наибольшее (наименьшее) значение на интервале a ; b , надо исследовать ее, если это возможно, на отрезке a ; b . Если наибольшее (наименьшее) значение достигается функцией во внутренней точке отрезка a ; b , то оно будет наибольшем (наименьшим) значением и на интервале a ; b , а если на конце отрезка a ; b , то на интервале a ; b наибольшего (наименьшего) значения функция не имеет. 2. На практике часто встречается такой случай, когда внутри интервала a ; b заданная непрерывная функция имеет только одну точку экстремума. Тогда помогает следующая теорема. Теорема Пусть функция y f x , непрерывная на интервале a ; b , имеет на этом интервале только одну точку экстремума – точку x1 . Тогда если x1 - точка максимума, то f x1 - наибольшее значение функции f x на интервале a ; b ; если же x1 - точка минимума, то f x1 - наименьшее значение функции f x на интервале a ; b .