Михеенко МН курсовая раб по МА

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНОГО ВИДА НА НАХОЖДЕНИЕ
НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ
КУРСОВАЯ РАБОТА
БАКАЛАВРА
по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование
(с двумя профилями подготовки)
профили «Математика», «Информатика»
Дисциплина «Математический анализ»
Выполнила: студентка
заочной формы обучения
2 курса, 1 группы
физико-математического факультета
Михеенко Марина Николаевна
Научный руководитель:
старший преподаватель
кафедры высшей математики
Овсянникова Алла Николаевна
Воронеж – 2020
Содержание
Введение........................................................................................................................... 3
Глава 1. Обучение школьников решению математических задач ............................. 6
1.1. Общие вопросы обучения решению математических задач ......................... 6
1.2. Элементарные функции в школьном курсе математики. [22],[23],[24] .......... 8
1.3. Основные методы нахождение наибольшего и наименьшего значения
функции [1],[4],[7],[13] .............................................................................................. 24
Глава 2. Методика изучения темы «Методы нахождения наибольшего и
наименьшего значения» в школьном курсе математики .......................................... 27
2.1. Анализ темы «Методы нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции» в школьных учебниках ............................................................................ 27
2.2. Методика изучения темы «Методы нахождение наименьшего и
наибольшего значения функции» в школьном курсе математики ....................... 35
Заключение .................................................................................................................... 38
Список литературы: ...................................................................................................... 40
Приложение ................................................................................................................... 44
2
Введение
Обучение решению математических задач является одной из основных
задач школьного курса математики. Этому вопросу посвящены исследования
ученых, педагогов, психологов, методистов (Г.В. Дорофеев, М. Л. Галицкий,
В.А.Гусев, А.Г. Мордкович, Д. Пойя, Г.И.Саранцев, А.А. Темербекова, Е.Н.
Турецкий, Л.М. Фридман, А.Я. Цукарь и др.) [3], [7], [10], [21], [29], [31], [34],
[35], [36], [37].
В них рассматриваются различные аспекты методики обучения учащихся
решению математических задач: психолого-педагогические основы обучения
решению математических задач; функции задач в обучении; типология
математических задач; формирование приемов решения математических задач;
обучение решению геометрических задач и т.д.
Тема «Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего
значения» является одной из центральных в школьном курсе математики, так
как функциональная линия пронизывает красной нитью школьный курс
алгебры и начал анализа.
В повседневной жизни не все задачи поддаются точному математическом
у описанию, однако существуют методы, с помощью которых можно свести к
нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.
Все вышесказанное обусловило выбор темы «Решение задач на
нахождение наибольшего и наименьшего значения» и подтверждает её
актуальность.
Цель курсовой работы – разработка методических материалов по данной
теме «Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения» в
курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах.
Объект исследования – процесс обучения школьников алгебре и началам
анализа в 10-11 классах средней школы.
Предмет
исследования
–
методы
нахождения
наибольшего
и
наименьшего значения.
Гипотеза
исследований
курсовой
работы
–
использование
разработанных методических материалов по данной теме способствует
систематизации, обобщению знаний школьников и повышению их качества.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные
методические материалы по данной теме могут быть использованы учителями
математики, студентами во время педагогической практики.
Изложенные выше цель, гипотеза исследования являются основанием для
определения задач исследования:
1. Изучение и анализ учебно-методической, научной литературы по теме
курсовой работы.
2. Отбор методов нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции для школьников 10-11 классов средней школы на основе анализа
учебной, методической и математической литературы.
3. Разработать уроки по теме исследования.
4. Провести апробацию методических материалов в школе.
Для
достижения
поставленных
задач
использовались методы
анкетирования, наблюдения, беседы с учителями математики, теоретический
анализ научно-методической литературы.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе рассматриваются общие вопросы обучения школьников
решению математических задач, изложены теоретические вопросы, связанные с
нахождением наибольшего и наименьшего значения в школьном курсе
математики. На основе анализа учебной и математической литературы
выделены методы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
4
Во
второй
главе
выполнен
анализ
темы
«Методы
нахождения
наибольшего и наименьшего значения» в школьных учебниках алгебры и начал
анализа в 10-11 классах.
Работа завершается заключением и списком литературы.
5
Глава 1.
Обучение школьников решению математических задач
1.1. Общие вопросы обучения решению математических задач
При обучении математике задачи имеют важное значение в различных
аспектах
обучения:
образовательное,
практическое,
воспитательное. Они
развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают
практические навыки применения математики, формируют мировоззрение;
служат
основным
средством
развития
пространственного
воображения
школьников.
Как отмечают ученые методисты «при обучении творческим знаниям
задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных
свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают
взаимосвязи одного понятия с другими». [10], [36], [37].
Велика роль теорем при решении математических задач. В процессе
изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют
мотивации её введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме;
помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи
доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению
теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.
С изменением
роли
и
места
задач
в
обучении
обновляются
и
видоизменяются сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов
«найти», «построить», «вычислить», «доказать», в современной школе чаще
используется слово «обосновать», «выбрать из различных способов решения
наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы
решения» и т.д. Например, в КИМ-ах ОГЭ по математике встречаются задания,
имеющие цель проверки усвоения теорем и утверждений «Укажите номера
верных утверждений: 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно
6
провести прямую, параллельную этой прямой; 2) Если в ромбе 1 из углов прямой,
то такой ромб – квадрат; 3) Центром описанной около треугольника окружности
является точка пересечения биссектрис; 4) Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов других сторон». [39]
Решение
задач
является
наиболее
эффективной
формой
развития
математической деятельности, как правило, они решаются фронтальным образом
на уроке, письменно, комментированием, в тестовой форме и т.д. [38]
Фронтальное решение задач - решение одной и той же задачи всеми
учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения
задач может быть различной.
Устное решение задач наиболее распространено в среднем звене
общеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это, прежде
всего, выполняемые устно упражнения в вычислениях и тождественных
преобразованиях
и
задачи-вопросы,
истинность
ответов
на
которые
подтверждается устными доказательствами.
Письменное решение задач с записью на классной доске самим учителем
или учащимися на уроках применяют:
- при решении первых после показа учителем задач по
ознакомлению с
новыми понятиями и методами;
- при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться
не все ученики класса;
- при рассмотрении различных вариантов решения одной и той задачи;
- для сравнения и выбора лучшего решения;
- при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при
самостоятельном решении задачи и т.д.
Письменное самостоятельное решение задач – наиболее эффективная
форма организации решения математических задач, при которой ученики
обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах
теории приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач
7
значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к
решению задач, стимулирует творческую инициативу. Формы организации
самостоятельного решения задач могут быть различными.
Комментирование
решения
математических
задач:
все
ученики
самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно
поясняет (комментирует) решение. Ученик-комментатор объясняет, на каком
основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное
рассуждение, построение. При этом каждый шаг должен быть оправдан ссылкой
на известные математические предложения.
В настоящее время используются тестирование, интернет-экзамены и др.
1.2. Элементарные функции в школьном курсе математики. [22],[23],[24]
1.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел
формулой у = С, где C – некоторое действительное число. Постоянная функция
ставит в соответствие каждому действительному значению независимой
переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С.
Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс
и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики
постоянных функций y=5, y=-2 и y=√3 , которым на рисунке, приведенном ниже,
отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Рис. 1
Свойства постоянной функции:
 область определения: все множество действительных чисел.
 постоянная функция является четной.
8
 область значений: множество, состоящее из единственного числа С.
 постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и
постоянная).
 говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
 асимптот нет.
 функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
2.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается
𝑛
формулой y= √𝑥 , где n – натуральное число, большее единицы.
Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя
корня n.
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций y= √𝑥 ,
4
3
y= √𝑥 и y= √𝑥, им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Рис. 2
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при
других значениях показателя.
Свойства функции корень n-ой степени при четных n:
 область определения: множество всех неотрицательных действительных
чисел [0;+∞).
 при x=0 функция y= √𝑥 принимает значение, равное нулю.
𝑛
 эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
 область значений функции: [0;+∞).
 функция y= √𝑥 при четных показателях корня возрастает на всей области
𝑛
определения.
 эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области
определения, точек перегиба нет.
9
 асимптот нет.
3.
График функции корень n-ой степени при четных n проходит через
точки (0,0) и (1,1). Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n
определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем
2
5
9
графики функций y= √𝑥, y= √𝑥 и y= √𝑥, им соответствуют черная, красная и синяя
кривые.
Рис. 3
𝑛
При других нечетных значениях показателя корня графики функции y= √𝑥
будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n:
 область определения: множество всех действительных чисел.
 эта функция нечетная.
 область значений функции: множество всех действительных чисел.
 функция y= √𝑥 при нечетных показателях корня возрастает на всей
𝑛
области определения.
 эта функция вогнутая на промежутке (-∞;0] и выпуклая на промежутке
[0;+∞), точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
 асимптот нет.
 график функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через
точки (-1,-1), (0,0) и (1,1).
4.
Степенная функция задается формулой вида y=xa.
Рассмотрим степенную функцию y=xa , при нечетном положительном
показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….
На рисунке ниже приведены графики степенных функций y=x – черная
линия, y=x3 – синяя линия, y=x5 – красная линия, y=x7 – зеленая линия. При а=1
имеем линейную функцию y=x.
10
Рис. 4
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем:
 область определения: x Є (-∞;+∞).
 область значений: y Є (-∞;+∞).
 функция нечетная, так как y(-x)=-y(x). .
 функция возрастает при x Є (-∞;+∞).
 функция выпуклая при x Є (-∞;0] и вогнутая при x Є [0;+∞) (кроме
линейной функции).
 точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
 асимптот нет.
 функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).
5. Рассмотрим степенную функцию y=xa с четным положительным
показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….
В
качестве примера приведем графики степенных функций y=x2 – черная
линия, y=x4 – синяя линия, y=x8 – красная линия. При а=2 имеем квадратичную
функцию, графиком которой является квадратичная парабола.
Рис. 5
Свойства степенной функции с четным положительным показателем:

область определения: x Є (-∞;+∞).
11

область значений: y Є (-∞;+∞)..

функция четная, так как y(-x)=-y(x).

функция возрастает при x Є [0;+∞), убывает при x Є (-∞;0].

функция вогнутая при x Є (-∞;+∞).

точек перегиба нет.

асимптот нет.

функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).
6. Посмотрите на графики степенной функции y=xa при нечетных
отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….
Рис. 6
На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций
y=x-9 – черная линия, y=x-5 – синяя линия, y=x-3 – красная линия, y=x-1 – зеленая
линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой
является гипербола.
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем:
 область
имеем
определения:
разрыв
второго
x
Є
рода,
(-∞;0)
так
Ụ
(0;+∞). При
x=0
как lim 𝑥 𝑎 = -∞, lim 𝑥 𝑎 =+∞,
𝑛→∞
𝑛→∞
при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной
асимптотой.
 О бласть значений: y Є (-∞;0) Ụ (0;+∞).
 функция нечетная, так как y(-x)=-y(x).
 функция убывает при x Є (-∞;0) Ụ (0;+∞).
 функция выпуклая при x Є (-∞;0) и вогнутая при x Є (0;+∞).
 точек перегиба нет.
12
 горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как
x𝑎 0
k=lim ( ) = 0, b= lim (𝑥 𝑎 − 𝑘𝑥) = 00 => y=kx+b=0, при а=-1,-3,-5,….
𝑥
𝑛→∞
𝑛→∞
 функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).
7.
Перейдем к степенной функции 𝑦 = 𝑥 𝑎 , при а=-2,-4,-6,….
Рис. 7
На рисунке изображены графики степенных функций y=x-8 – чернаялиния,
y=x-4 – синяя линия, y=x-2 – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем:
 область определения:
При
x=0
имеем
x
разрыв
Є
(-∞;0) Ụ (0;+∞).
второго
рода,
так
как
lim 𝑥 𝑎 = +∞, lim 𝑥 𝑎 = +∞, при a=-2,-4,-6,… Следовательно, прямая x=0
𝑛→∞
𝑛→∞
является вертикальной асимптомой.
 область значений: y Є (0;+∞)..
 функция четная, так как y(-x)=-y(x).
 функция возрастает при x Є (-∞;0) убывает при x Є (0;+∞).
 функция вогнутая при x Є (-∞;0) Ụ (0;+∞).
 точек перегиба нет.
8.
Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то
некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал (∞;+∞). При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь.
Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа не определяют
степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при
отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого
13
взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с
дробными
положительными
показателями
степени
множество
[0;+∞).
Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий
момент, чтобы избежать разногласий.
Рассмотрим
степенную
функцию
y=xa
с
рациональным
или
иррациональным показателем a, причем 0<a<1.
Приведем графики степенных функций y=xa при а=11/12 (черная линия),
а=5/7 (красная линия), a=
1
√3
(синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).
Рис. 8
При других значениях показателя степени a, 0<a<1 графики функции y=xa
будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при 0<a<1:
 область определения: x Є [0;+∞).
 область значений: y Є [0;+∞).
 функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
 функция возрастает при x Є [0;+∞).
 функция выпуклая при x Є (0;+∞).
 точек перегиба нет.
 асимптот нет.
 функция проходит через точки (0;0), (1;1).
9. Рассмотрим степенную функцию y=xa с нецелым рациональным или
иррациональным показателем a, причем a>1.
3
4
𝑥
𝑥
Приведем графики степенных функций, заданных формулами y= 4, y= 3,
7
y= 3, y=𝑥 3𝜋 (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).
𝑥
14
Рис. 9
При других значениях показателя степени a, a>1 графики функции y=xa
будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при a>1:
 область определения: x Є [0;+∞).
 область значений: y Є [0;+∞).
 функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
 функция возрастает при x Є [0;+∞).
 функция вогнутая при x Є (0;+∞), если 1<a<2; при x Є [0;+∞)., если a<2.
 точек перегиба нет.
 асимптот нет.
 функция проходит через точки (0;0), (1;1).
10.
Если a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые
авторы считают областью определения степенной функции интервал (-∞;0) Ụ
(0;+∞). При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь.
Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ
ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным
знаменателем
при
отрицательных
значениях
аргумента.
Мы
будем
придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями
определения степенных функций с дробными отрицательными показателями
степени множество (0;+∞) соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд
Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Переходим к степенной функции y=xa, когда -1<a<0. Чтобы хорошо
представлять вид графиков степенных функций при -1<a<0, приведем примеры
15
3
2
𝑥
4
3
2√2
графиков функций y=x- , y=x- , y=x-
2
, y=x- (черная, красная, синяя и зеленая
7
кривые соответственно).
Рис. 10
Свойства степенной функции с показателем a, -1<a<0:
 область
определения:
Є
x
(0;+∞).
lim 𝑥 𝑎 = +∞, при -1<a<0, следовательно, х=0 является вертикальной
𝑛→∞
асимптотой.
 область значений: y Є (0;+∞).
 функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
 функция убывает при x Є (0;+∞).
 функция вогнутая при x Є (0;+∞).
 точек перегиба нет.
 горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
 функция проходит через точку (1;1).
5
5
4
3
Приведем примеры графиков степенных функций y=xa при y=x- , y=x- ,
y=x-
𝑥
2 √2
24
, y=x- , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями
7
соответственно.
Рис. 11
Свойства степенной функции с нецелым меньшим минус единицы:

область определения x Є (0;+∞), при
является вертикальной асимптотой.
16
a<-1, следовательно,
х=0

область значений: y Є (0;+∞).

функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

функция убывает при x Є (0;+∞).

функция вогнутая при x Є (0;+∞).

точек перегиба нет.

горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

функция проходит через точку (1;1).
При а=0 и x≠0 имеем функцию y=x0=1 - это прямая из которой исключена
точка (0;1) (выражению 00 условились не придавать никакого значения).
11. Одной из основных элементарных функций является показательная
функция.
График показательной функции y=xa, где a>0 и a≠1 принимает различный
вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции
принимает значение от нуля до единицы, то есть, 0<a<1.
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя
линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной
функции при других значениях основания из интервала 0<a<1.
Рис. 12
Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы:
 областью определения показательной функции является все множество
действительных чисел: x Є (0;+∞).
 область значений: y Є (0;+∞).
 функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
17
 показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на
всей области определения.
 функция, вогнутая при x Є (-∞;+∞).
 точек перегиба нет.
 горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к
плюс бесконечности.
 функция проходит через точку (0;1).
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше
единицы, то есть, a>1.
В
качестве иллюстрации приведем графики показательных функций
3
y=( )𝑥 – синяя линия и y=xe – красная линия. При других значениях основания,
2
больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.
Рис. 13
Свойства показательной функции с основанием большим единицы:

область определения показательной функции: x Є (-∞;+∞).

область значений: y Є (0;+∞).

функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

показательная
функция,
основание
которой
больше
единицы,
возрастает при x Є (-∞;+∞).

функция вогнутая при x Є (-∞;+∞).

точек перегиба нет.

горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся
к минус бесконечности.

функция проходит через точку (0;1).
18
Следующей
12.
основной
элементарной
функцией
является
логарифмическая функция y=loga(x), где a>0, a≠1. Логарифмическая функция
определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при x Є (0;+∞).
График
логарифмической
функции
принимает
различный
вид
в
зависимости от значения основания a.
Начнем со случая, когда 0<a<1.
Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 –
синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не
превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь
схожий вид.
Рис. 14
Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы:
 область определения логарифмической функции: x Є (0;+∞). При х
стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс
бесконечности.
 область значений: y Є (-∞;+∞).
 функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
 логарифмическая функция убывает на всей области определения.
 функция вогнутая при x Є (0;+∞).
 точек перегиба нет.
 горизонтальных асимптот нет.
 функция проходит через точку (1;0).
 перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции
больше единицы (a>1).
19
3
Покажем графики логарифмических функций y=log 𝑥 – синяя линия,
2
y=ln x – красная линия. При других значениях основания, больших единицы,
графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.
Рис. 15
Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы:
 область определения: x Є (0;+∞). При х стремящемся к нулю справа,
значения функции стремятся к минус бесконечности.
 областью значений логарифмической функции является все множество
действительных чисел, то есть, интервал y Є (-∞;+∞).
 функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

функция возрастает при x Є (0;+∞).

функция выпуклая при x Є (0;+∞).

точек перегиба нет.

горизонтальных асимптот нет.

функция проходит через точку (1;0).
13.
Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и
котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы
рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Тригонометрическим
функциям
присуще
понятие
периодичности
(повторяемости значений функции при различных значениях аргумента,
отличных друг от друга на величину периода f(x+T)=f(x), где Т - период),
поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт
«наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической
функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция
обращается в ноль.
20
Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.
14. Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".
Рис. 16
Свойства функции синус y = sinx:
 областью
определения
функции
синус
является
все
множество
действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при x Є
(-
∞;+∞).
 наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:
T=2π.Функция обращается в ноль при x=π•k, где k Є Z, Z – множество
целых чисел.
 функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до
единицы включительно, то есть, ее область значений есть y Є [-1;1].
 функция синус - нечетная, так как y(-x)=-y(x).
 функция
убывает
при
Є
x
𝜋
𝜋
2
2
возрастает при x Є [- + 2𝜋 ∗ 𝑘;
𝜋
3𝜋
2
2
[ + 2𝜋 ∗ 𝑘;
+ 2𝜋 ∗ 𝑘],
k Є Z,
+ 2𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z.
𝜋
 функция синус имеет локальные максимумы в точках ( + 2𝜋 ∗ 𝑘;1),
2
𝜋
локальные минимумы в точках (− + 2𝜋 ∗ 𝑘;-1), k Є Z.
2
 функция y = sinx вогнутая при x Є [- π+2π*k; 2π*k] k Є Z, выпуклая
при x Є [2π*k$ π+2π*k], k Є Z.
 координаты точек перегиба (π•k;0), k Є Z.
 асимптот нет.
15.
График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:
Рис. 17
21
Свойства функции косинус y = cos:.

область определения функции косинус: x Є (-∞;+∞).

наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи:
T=2π.

функция обращается в ноль при x=π/2+π•k, где k Є Z, Z – множество
целых чисел.

область значений функции косинус представляет интервал от минус
единицы до единицы включительно: y Є [-1;1].

функция косинус - четная, так как y(-x)=-y(x).

функция убывает при x Є [2𝜋 ∗ 𝑘; 𝜋 + 2𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z, возрастает при x
Є [−𝜋 + 2𝜋 ∗ 𝑘; 2𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z.

функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках (2π•k;1), k Є
Z, локальные минимумы в точках (π+2π*k;-1), k Є Z.

функция
вогнутая
при x
Є
𝜋
3𝜋
2
2
[ + 2𝜋 ∗ 𝑘;
+ 2𝜋 ∗ 𝑘],
k Є Z,
𝜋
𝜋
2
2
выпуклая при x Є [− + 2𝜋 ∗ 𝑘;
+ 2𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z.
 координаты точек перегиба (π/2+π•k;0), k Є Z.
 асимптот нет.
16.
График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:
Рис. 18
Свойства функции тангенс y = tgx:
𝜋
𝜋
2
2
 область определения функции тангенс: x Є [− + 2𝜋 ∗ 𝑘;
Z, Z – множество целых чисел.
22
+ 2𝜋 ∗ 𝑘], k Є
Поведение
lim
𝜋
𝑛→ →𝑛→∞
2
функции
𝑡𝑔(𝑥) = −∞,
y
=
lim
𝜋
𝑛→ →𝑛→∞
2
tgx
на
границе
области
определения
𝜋
𝑡𝑔(𝑥) = +∞, Следовательно, прямые x= +
2
2𝜋 ∗ 𝑘 , где k Є Z, являются вертикальными асимптотами.
 наименьший положительный период функции тангенс T=π.
 функция обращается в ноль при x=π*k, где k Є Z, Z – множество целых
чисел.
 область значений функции y = tgx: y Є (-∞;+∞).
 функция тангенс - нечетная, так как y(-x)=-y(x).
𝜋
𝜋
2
2
 функция возрастает при x Є [− + 2𝜋 ∗ 𝑘;
 функция вогнутая при x Є 𝜋 ∗ 𝑘;
𝜋
2
+ 2𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z.
+ 2𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z, выпуклая при
𝜋
x Є [− + 𝜋 ∗ 𝑘; 𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z .
2
 координаты точек перегиба (π*k;0), k Є Z.
 наклонных и горизонтальных асимптот нет.
17.
Изобразим
график
функции
котангенс
(его
называют
"котангенсоида"):
Рис. 19
Свойства функции котангенс y = ctgx:
 область определения функции котангенс: x Є [𝜋 ∗ 𝑘; 𝜋 + 𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z,
 Z – множество целых чисел. Поведение на границе области определения
lim 𝑡𝑔(𝑥) = +∞, lim 𝑡𝑔(𝑥) = −∞
𝑛→𝜋𝑘+0

𝑛→𝜋𝑘−0
Следовательно, прямые x=π*k, где k Є Z являются вертикальными
асимптотами.

наименьший положительный период функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥равен пи: T=π.
23

функция обращается в ноль при
𝑥
2
+ 𝜋𝑘, где k Є Z, Z – множество
целых чисел.

область значений функции котангенс: y Є (-∞;+∞).

функция нечетная, так как y(-x)=-y(x).

функция 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥убывает при x Є [𝜋 ∗ 𝑘; 𝜋 + 𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z.

функция котангенс вогнутая при x Є (𝜋 ∗ 𝑘;
𝜋
2
+ 𝜋 ∗ 𝑘], k Є Z,
𝜋
выпуклая при x Є [− + 2𝜋 ∗ 𝑘; 𝜋 ∗ 𝑘), k Є Z.
2
𝜋

координаты точек перегиба ( + 𝜋 ∗ 𝑘; 0), k Є Z.

наклонных и горизонтальных асимптот нет.
2
1.3. Основные методы нахождение наибольшего и наименьшего значения
функции [1],[4],[7],[13]
Метод 1. Метод оценки.
Нам часто приходится сталкиваться с такими задачами, которые решаются с
помощью применения свойств ограниченности функции.
Получив допустимые значения аргумента, оценить с помощью свойств
неравенств соответствующие функции.
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 1 (Пример 1).
Метод 2. Метод применения свойств квадратичной функции .
Нам известно, что функция 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 изменяется в пределах [𝑦0 ; +∞),
если a>0, и если a<0, то – (−∞; 𝑦0 ]. Это помогает при решении задач, сводящихся
к квадратичной функции.
Рис. 20
24
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 1 (Пример 2).
Метод 3. Метод применения свойств непрерывной функции.
Говорят, что функция y=f(x) возрастает на промежутке I, если для любых
х1 и х2, принадлежащих I, из неравенства х1<х2 следует неравенство f(x1)<f(x2). И
функция y=f(x) убывает на промежутке I, если для любых х1 и х2,
принадлежащих I, из неравенства х1<х2 следует неравенство f(x1)>f(x2). Функции,
возрастающие (убывающие) на промежутке I, называют монотонными на этом
промежутке.
Функция f(x) убывает на промежутке I там, где f(x)’>0 и возрастает, если
f(x)’<0.
Если знак производной меняется с + на -, то эта точка перехода является
точкой максимума. И наоборот, если знак производной меняется с – на +, то эта
точка перехода является точкой минимума.
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 1-2 (Пример 3).
4. Метод непосредственных вычислений.
В случае, когда область определения содержит лишь несколько значений
аргумента или может быть записана с помощью конечного числа формул
(например, для тригонометрических функций), множество значений функции
находят путем непосредственного вычисления всех возможных значений. Затем
делают вывод.
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 2 (Пример 4).
Метод 5. Приведения к уравнению относительно x с параметром y.
Возможна следующая схема применения этого метода:
1.
Рассматриваем формулу y=f(x), задающую функцию, как уравнение
относительно x с параметром y.
25
2.
Устанавливаем, при каких значениях y это уравнение имеет хотя бы
один корень. Полученное множество значений y приведет к нахождению
экстремумов.
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 2-3 (Пример 5).
Метод 6. Графический метод.
Если функция у=f(x) не является непрерывной на промежутке (а;b), то для
отыскания ее наибольшего и наименьшего значений на этом промежутке часто
поступают так: строят график функции и делают все необходимые выводы по
графику. Впрочем, этот метод вполне реализуем и для непрерывных функций, но
поскольку, как правило, построить график сложнее, чем использовать алгоритмы,
о которых мы говорили выше, для непрерывных функций обычно предпочитают
работу по указанным алгоритмам.
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 3-4 (Пример 6).
Метод 7. Метод производной.

На промежутке.
Наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) на I называется
такое число M (m), что существует x0 є I такое, что f(x0)=M (f(x0)=m), M ≥f(x)
(m ≤f(x)) для всех х на I.
Рис. 21
Наибольшее и наименьшее значение на I функция может принимать либо на
концах промежутка, либо в критических точках.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего на [a;b] значений
функции, непрерывной на [a;b].
1. Найдите f(a) и f(b) – значение функции на концах промежутка.
2. Найдите критические точки функции внутри промежутка (a;b).
3. Найдите значение функции в критических точках.
26
4. Из всех найденных значений выберите наибольшее и наименьшее
числа; они и будут наибольшим и наименьшим значением функции на [a;b].
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 4-5 (Пример 7).

На интервале.
Нужно выяснить, как ведет себя функция y=f(x) при приближении
аргумента x к концам промежутка. Иными словами нужно вычислить
lim 𝑓(𝑥) 𝑒̀ lim 𝑓(𝑥) эти значения заменят нам значения функции на концах
𝑥→𝑎
𝑥→𝑏
промежутка и, в сравнении со значениями функции в критических точках,
лежащих внутри рассматриваемого промежутка, позволят сделать правильные
выводы о наличии у функции наибольшего или наименьшего значений на
рассматриваемом промежутке.
Рис. 22
Пример решения вы можете увидеть в Приложении 5 (Пример 8).
Глава 2.
Методика изучения темы «Методы нахождения наибольшего и наименьшего
значения» в школьном курсе математики
2.1. Анализ темы «Методы нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции» в школьных учебниках
Согласно Госстандарта образования к умениям и навыкам учащихся
предъявляются следующие требования: [41]
-
вычислять производные и первообразные элементарных функций,
используя справочные материалы;
27
исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить
-
наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и
простейших рациональных функций с использованием аппарата математического
анализа;
вычислять
-
в
простейших
случаях
площади
с
использованием
первообразной;
использовать
-
приобретенные
знания
и
умения
в
практической
деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач, в том числе
социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения,
на нахождение скорости и ускорения;
применять аппарат математического анализа к решению задач.
-
Исходя из требований стандарта можно сделать вывод, что учащиеся
должны владеть элементарными навыками математического моделирования и в
частности, уметь применять математический аппарат при решении задач на
отыскание наибольших и наименьших значений различных величин при заданных
условиях. Таким образом, реализуется прикладная направленность обучения
математике, и осуществляются межпредметные связи с другими дисциплинами. В
первую очередь учащиеся должны владеть универсальным методом решения
задач на оптимизацию, методом, включающим в себя построение некоторой
функции и отыскание ее экстремумов с помощью производной.
Рассмотрим, как данную тему вводят такие авторы учебников по
«Алгебре и началам анализа» для 10-11 классов как Мордкович А.Г., Колмогоров
А.Н., Башмаков М.И., и другие. [2],[15],[23],[24]
1)
Сначала
рассмотрим
серию
учебников
под
редакцией
А.Г.
Мордковича. [21],[22],[23],[24],[25],[26],[27],[28].
В
7 классе учащиеся первый раз сталкиваются с задачами на экстремум
при изучении координатной прямой. Здесь им приходится решать задачи на
нахождение наибольшего и наименьшего числа на взятом промежутке,
28
нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке. Вот
пример одной из таких задач:
Укажите наибольшее число, принадлежащее промежутку: а) [-15; -11]; б)
[5; 7); в) [5; 7].
Так же в 7 классе в теме «Линейная функция» Мордкович А.Г. вводит
само понятие наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он
рассматривает линейную функцию y = на отрезке [0;6]. [21].
Соответствующий отрезок графика выделяется на чертеже. Замечается,
что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 это и есть наибольшее значение заданной линейной функции на отрезке.
Записывается это следующим образом . Далее отмечается, что самая маленькая
ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке части прямой, равна 4 это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке [0; 6]. Записывают
так.
8 и 9 классах учащиеся продолжают сталкиваться с задачами на
нахождение наибольшего и наименьшего значения при изучении квадратичной
функции, функции y =, у = (8 класс) и при изучении темы «Неравенства» (9
класс). Здесь ученикам приходится решать задачи, как на нахождение
наименьшего
числа
удовлетворяющего
системе
уравнений,
нахождение
наименьшего и наибольшего значения функций вида у= на отрезке. [22],[23]
Примеры задач вы можете увидеть в Приложении 6.
В 10 же классе Мордкович А.Г. [24] посвящает теме целый параграф под
названием «Применение производной для отыскания наибольших и наименьших
значений величин», который состоит из 2 пунктов:
*Отыскание
наибольшего
и
наименьшего
значений
непрерывной
функции на промежутке;
*Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин.
29
В первом пункте параграфа рассматривается нахождение наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке. Автор отмечает, что производная
используется в тех случаях, когда графически или с помощью рассуждений
отыскать наибольшее и наименьшее значения функции невозможно. Потом автор
говорит о ряде теорем из курса математического анализа, которые приводятся без
доказательства:
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего
наибольшего, и своего наименьшего значений.
Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может
достигать как и на концах отрезка, так и внутри него.
Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка,
то только в стационарной или критической точке.
Далее в данном пункте приведен алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке:
1.
Найти производную.
2.
Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри
отрезка.
3.
Вычислить значения функции в точках, отобранных на втором шаге, и
на концах отрезка; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет
наименьшее значение) и наибольшее (это будет наибольшее значение).
Так же в этом пункте автор говорит о нахождении наибольшего и
наименьшего значений функции на интервале. Он приводит следующую теорему:
Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него
единственную стационарную или критическую точку x = x0. Тогда:
а) если x = x0 – точка максимума, то yнаиб.=f(x0);
б) если x = x0 – точка минимума, то yнаим.=f(x0).
После которой разобран пример.
30
Во втором пункте параграфа автор рассматривает уже текстовые задачи, в
которых требуется найти наименьшее или наибольшее значение какой-либо
величины. Такие задачи он называет задачами на оптимизацию (от латинского
слова optimum - «наилучший»). В самых простых задачах на оптимизацию мы
имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо
найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое
наибольшее или наименьшее (наилучшее в данных условиях) значение. Для
решения задач на оптимизацию Мордкович А. Г. Предлагает схему из трех этапов
математического моделирования: [25].
Составление математической модели;
1.
Работа с моделью;
2.
Ответ на вопрос задачи.
Примеры задач: [26]
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
y =-3 на [0;2].
Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м.
Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была
наибольшей?
Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так,
чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была
наименьшей.
Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой
длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?
Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек.
Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на a м, а верхняя
точка постамента – на b м. На каком расстоянии от памятника должен стоять
человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?
31
В данных примерах при решении требуется использование производной.
Но у Мордковича А.Г. также есть ряд задач, в которых нужно найти наибольшее
и наименьшее значения заданной функции без использования производной.
[27],[28]
Так же имеются задачи на нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на промежутке: 1) y = на (0;4]; 2) y = на (-?;0].
«Алгебра и начала анализа 10-11 класс», под ред. Колмогорова А.Н. [15]
Данная тема в учебнике под ред. Колмогорова А.Н. называется
«Наименьшее или наибольшее значение функции». Колмогоров А.Н., в отличие
от Мордковича А.Г., не разбивает рассматриваемую тему на подпункты. Он так
же как и Мордкович А.Г. отмечает, что в курсе математического анализа
доказывается следующая теорема, называемая теоремой Вейерштрассе:
непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и
наименьшее значения. Т.е. существуют точки отрезка, в которых функция
принимает наибольшее и наименьшее значения.
Далее автор учебника проводит рассуждения о том как найти наибольшее
или наименьшее значения функции. Но чёткого алгоритма нахождения
наибольшего или наименьшего значений функции, как у Мордковича А.Г. у
него нет. Излагая метод поиска наибольших и наименьших значений функции
на отрезке в начале пункта, он отмечает, что данный метод применим и к
решению разнообразных прикладных задач. После этого он, как и Мордкович
А. Г., предлагает схему решения таких задач, называемую методом
математического моделирования:
Задача «переводится» на язык функции. Для этого выбирают удобный
параметр x, через который интересующую нас величину выражают как функцию
f(x);
Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой
функции на некотором промежутке;
32
Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной
задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
Примеры из задач данного учебника вы можете увидеть в Приложении 7.
Вообще подводя итог по данному учебнику, надо отметить, что автор
предлагает учащимся знакомство с рядом теорем, в основе которых лежит
дифференциальное исчисление. Когда в общеобразовательных классах такие
теоремы учащимся не предлагаются для изучения.
Можно
заметить,
что
учебник
Колмогорова
более
насыщен
разнообразными задачами на нахождение наибольшего и наименьшего значения
функций чем учебник Мордковича А.Г.
3)
«Алгебра и начала анализа 10-11 класс», Башмаков М.И. [2]
В учебнике Башмакова М.И. данная тема рассматривается в отдельном
параграфе «Приложения производной» в пункте называемом «Задачи на
максимум и минимум». Хочется заметить, что в учебнике Башмакова М.И. теории
нет как таковой. В начале пункта автор показывает, что данная тема имеет
практическое приложение в обыденной жизни. Что большую часть своих усилий
человек тратит на поиск наилучшего решения задачи, которая перед ним
возникает. Далее Башмаков М.И. выделяет алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значений, когда функция задана на отрезке и имеет производную во
всех точках этого отрезка:
1. Найти критические точки;
2. Вычислить значения функции во всех критических точках и на концах
отрезка;
3. Из найденных значений найти наибольшее и наименьшее.
Потом
рассматривается
ряд
графиков,
изучив
которые,
учащимся
предлагается самостоятельно подумать над тем, что происходит с наибольшим и
наименьшим значениями этих функций. Далее автор рассматривает ряд задач на
нахождение наибольшего и наименьшего значений. В отличие от Мордковича
33
А.Г. и Колмогорова А.Н., Башмаков М.И. не дает конкретной схемы решения
прикладных задач. И это усложняет процесс усвоения данной темы. Следует
отметить, что предлагаемые Башмаковом М.И. задачи на данную тему весьма
сложные, и решить их сможет не каждый ученик. Проверить правильность
решения так же не удастся, так как и ответы к данному пункту не приведены.
Примеры из задач вы можете увидеть в Приложении 8.
4)
Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа 10-11 классов». [1]
Изучение производной вводится во II полугодии 11 класса в главе:
«Применение производной к исследованию функций. Наибольшее и наименьше
значение функции». Сначала автор знакомит учащихся с тем, что задачи, в
которых требуется найти наибольшее и наименьшее значение из всех тех
значений, которые функция принимает на отрезке
a,b . Дает правило для
нахождения наибольшего и наименьшего значения. Приводит несколько
примеров задач. В итоге поясняет, что на отрезке нужно сравнить значение
функции в точках экстремума и на концах отрезка.
Далее знакомит с нахождением наибольшего или наименьшего значений
на интервале. Поясняя, что функция f (x) имеет на заданном интервале только
одну стационарную точку; либо точку максимума или точку минимума. В этих
случаях в точке максимума функция f (x) принимает наибольшее значение на
заданном интервале, а в точке минимума – наименьшее значение на данном
интервале.
Подходя к решению задач нахождением наибольшего или наименьшего
значений функций на промежутке, вводит следующее утверждение: «Если
значение функции f (x) неотрицательны на некотором промежутке, то эта
функция и функция ( f (x))n , где n – натуральное число, принимает наибольшее
(наименьше) значение в одной и той же точке. Приводит задачу с
геометрической конфигурацией. Таким задачам с геометрическим содержанием
отводится небольшое внимание. А лишь приводятся в качестве дополнительной
задачи, более повышенного уровня [13].
34
5) Н.Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ 10 класса». [4],[5],[6]
Учебник предназначен для более глубокого изучения курса «Алгебры и
математического анализа» В 10-х классах с углубленным изучением
математики и ее приложений.
Тема производная и ее приложения изучаются во II полугодии. С
приложениями производной автор уделяет внимание по изучению задач
отыскания наибольшее и наименьшее значения функции f (x) на отрезке
Остановившись
на
дифференциального
общем
методе
исчисления.
нахождения
Вводит
a,b .
таких
значений
–
формулировку
теоремы
с
доказательством, а именно о существовании наибольшего и наименьшего
значений. Объясняет правило отыскания таких значений функции на отрезке.
Приводит план, по которому решаются задачи. Ссылается на замечания, по
которым можно облегчить вычисления. Предлагает задачи с решением для
наглядного просмотра и задачи для повторения.
2.2. Методика изучения темы «Методы нахождение наименьшего и
наибольшего значения функции» в школьном курсе математики
При составлении данной методики я опиралась на комплекс учебников по
«Алгебре и началам анализа» А.Г. Мордковича. [21],[22],[23],[24],[25],[26],[27],
[28].
К моменту введения данной темы учащиеся уже накопили некоторый опыт
отыскания наибольшего и наименьшего значения функции. Чаще всего они
использовали для этого график функции. Поэтому в начале изучения темы
учащимся предлагается построить несколько графиков функции и по ним
определить наибольшее и наименьшее значения функции.
Например, функции могут быть такими:
35
Рис.23
Рис.24
Рис.25
Довольно легко можно определить, что наименьшее значение на рис.23
будет равняться унаим=−3, наибольшее значение не существует. На рис.24
наибольшее значение равняется 1, а наименьшее значение не существует. На
рис.25 наименьшее значение равняется -3,5; а наибольшее значение не
существует.
Далее можно несколько усложнить задачу и попросить найти наибольшее и
наименьшее значения функции, не прибегая к построению графика. Так как
обучение строится конкретно-индуктивным методом, мы должны подвести
учащихся к следующему правилу:
Если известно, что на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна, то наибольшее
и наименьшее значение этой функции принимается в концах отрезка, а именно,
если f(x) – возрастающая функция, то f(a) – наименьшее значение и f(b) –
наибольшее значение функции f(x); если же если f(x) – убывающая функция, то
f(a) – наибольшее значение и f(b) – наименьшее значение функции f(x).
Для этого вначале целесообразно рассмотреть конкретные примеры, с
помощью которых учащиеся выйдут на это правило и смогут самостоятельно
сформулировать его. Например, можно рассмотреть такую функцию как y=2x2
для x[0,1]. Выясняем, как ведет себя функция на отрезке: она непрерывная и
возрастающая. Далее делаются выводы о том, что – наименьшее значения
функции y=0 , у=2 – наибольшее значение функции. Целесообразно рассмотреть
ещё ряд аналогичных примеров для лучшего понимания.
36
Рис.26
Приведя, таким образом, ряд примеров, мы подвели учащихся к тому, что
наибольшее и наименьшее значение функция непрерывная на указанном отрезке
может достичь в стационарных, критических точках, входящих в отрезок, а так же
на концах отрезка. Далее вместе с учащимися составляется алгоритм нахождения
наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, и этот алгоритм
закрепляется на примерах подобных следующим.
Примеры задач вы можете увидеть в Приложении 9-10.
37
Заключение
В школьном
курсе
алгебры
и
начал
анализа
в
учебниках
для
общеобразовательных классах по теме «Решение задач на нахождение
наибольшего и наименьшего значения» недостаточно задач для формирования у
школьников методов нахождения наибольшего и наименьшего значения.
Исключение составляют учебники и задачники по алгебре и началам анализа для
классов с углубленным изучением математики. (Н.Я. Виленкин, М.Л. Галицкий,
Ю.Н. Макарычев С.М. Саакян и др.) [4],[7],[19],[30] С другой стороны, материал
рассматриваемой темы часто используется не только в математике, но и в физике,
химии и т.д., усиливая прикладной характер этой темы.
Нами
выделены
следующие
методы
нахождения
наибольшего
и
наименьшего значения функции:
3.
Метод оценки
2.
Метод применения свойств квадратичной функции
3.
Метод применения свойств непрерывной функции
4.
Метод непосредственных вычислений
5.
Метод приведения к уравнению относительно х с параметром у
6.
Графический метод
7.
Метод производной
Содержание материала «Решение задач на нахождение наибольшего и
наименьшего значения» позволяет проводить систематизацию знаний и умений
учащихся по данной теме, основываясь на выделенных выше методах, в том
числе – на применении производной функции в нахождении наибольшего и
наименьшего значения функции. Это является одним из аспектов подготовки
школьников к успешной сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Такую
работу
целесообразно
проводить
используя:
повторение
теоретического материала, связанного с темой «Методы нахождения наибольшего
и наименьшего значения функции»; дидактические материалы, связанные с
выполнением задания В14 на ЕГЭ; различные формы контроля знаний учащихся;
38
различные формы уроков; консультации; самостоятельное изучение материала
учащимися дома; проведение пробного экзамена.
Использование
разработанных
методических
материалов
по
теме
«Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения в
школьном курсе математики» способствует систематизации, обобщению знаний
школьников и повышению их качества, что подтверждает гипотезу исследований
дипломной работы.
В перспективе исследование данной темы можно продолжить на
материале для классов с углубленным изучением математики. Поскольку тема
имеет прикладной характер, то возможно направление исследования – разработка
программы для профильных классов с техническим уклоном.
Работа над
курсовой
работой научила меня
выработке навыков
исследования и способствовало развитию таких качеств, как целеустремленность,
собранность, трудолюбие.
39
Список литературы:
1. Алимов Ш.А и др. Алгебра и начала анализа: Учебн. Пос. для 10-11 кл. ср.
шк.- М.: Просвещение, 2018.
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. – Москва, 2016.
3. Блох А.Я., Гусев В.А., Дорофеев Г.В. и др. Сост. В.И. Мишин. Методика
преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.
Пособие для студентов пед. Институтов по физ.- мат. Спец.- М.:
Просвещение, 2017.
4. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 10 кл.- М.: Просвещение,
2017.
5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и
математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и
классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 2019.
6. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г. С. И др; Алгебра: Учеб. Пособие для
учащихся 9 кл. с углубл. Изучением математики/ Под ред. Н. Я. Виленкина.М.:Просвещение, 2018.
7. Галицкий М. Л, Гольдман А.М, Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре:
Учеб. Пособие для 8-9 кл. с углубл. Изучением математики/ М.:
Просвещение, 2018.
8. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение
алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 2019.
9. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для
учителей).-М.: Просвещение, 2018.
10. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. «Практикум по
элементарной математике (геометрия)», 2020.
11. Гусев В.А., Мордкович А.Г. «Математика (справочные материалы)»,
2020.
40
12. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11
кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики
(дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2017.
13.
Кара-Сал
Н.М.
Использование
свойств
функции
при
решении
математических задач. Уч. Пособие.- Кызыл, ТГИПиПКК, 2018.
14. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. Пособие
для 10-11 кл. с углубл. Изуч. Математики.-М.: Просвещение, 2020.
15. Колмогоров А. Н и др. Алгебра и начала математического анализа:
Учебн. Пос. для 10-11 кл. ср. шк.- М.: Просвещение, 2016.
16. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. Методика преподавания математики
в средней школе – Москва, 2016.
17. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканин Г.Л, Методика
преподавания матемаитике в средней школе. Учеб. Пособие для студентов
физ.- мат. Фак. Пед. Институтов.- М.: Просвещение,2018.
18. Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней
школы.-Минск, Нар. Асвета, 2016.
19. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: Учеб. Для 9 кл.
общеобразоват. Учреждений – Под ред. С.А.Теляковского; М.:Просвещение,
2020.
20. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.:
А.С.К., 2018.
21. Мордкович
А. Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. Для
общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2018.
22. Мордкович
А. Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. Для
41
общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2017.
23. Мордкович
А. Г. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. Для
общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2017.
24. Мордкович А. Г., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1:
Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2018.
25. Мордкович А. Г., Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для
общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2019.
26. Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для
общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2019.
27. Мордкович А. Г., Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для
общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2017.
28. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 2:
Задачник для общеобразоват. Учреждений.- М.:Мнемозина, 2018.
29. Пойя Д., Как решить задачу.- М: Либроком, 2018.
30. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам
анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. Учреждений).М.: Просвещение, 2016.
31. Саранцев Г.И. Методика преподавания математике в школе.- М:
Просвещение,2018.
32. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред.
М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 2019.
42
33. Сборник научных работ студентов Тувинского государственного
университета.
Выпуск
XII.
Кызыл:
РИО
ТувГУ,
2018.
34. Темербекова А.А. Методика преподавания математике. ВЛАДОС, 2018.
35. Турецкий
Е.Н., Фридман Д.М. Как научиться решать задачи.- М:
Просвещение,2018.
36. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в
школе.- М.: Просвещение, 2017.
37. Цукарь А.Я. Схематизация и моделирование при решении текстовых
задач// Математика в школе, 2016.
38. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по
математике для средней школы – Наука, 2017.
39. Ященко И.В. О преподавании математики в 2010-2011 учебном году.М.:МИОО, 2018.
40. www.edu.ru.
41. www.fgosvo.ru.
43
Приложение
Приложение 1
Пример 1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
𝑦 = −3 cos 𝑥 + 1
Решение:
Функция t = cos x изменяется от –1 до 1. Значит, 𝑦 = −3 cos 𝑥 – от –3 до 3, из
этого следует, что функция 𝑦 = −3 cos 𝑥 + 1 изменяется от –2 до 4.
Получаем, что наименьшее значение функции равно –2, а наибольшее 4.
Ответ: max y = 4, min y =-2 .
Пример 2. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = −5𝑥 2 + 𝑥 + 4
Решение:
Так как –5<0, то наименьшее значение достигается в вершине
параболы, то есть у=
81
20
Ответ: у=
81
.
20
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
1
𝑦 = log 1 (3𝑥 + 6) + arccos 𝑥 на [−1; 1].
3
𝜋
Решение:
Функция 𝑡 = 3𝑥 + 6 на отрезе [-1;1] возрастает, принимая значения
от 3 (в точке x=-1) до 9 (в точке x=1). Функция же log 1 𝑡 убывает, причем,
3
если t меняется от 3 до 9 (как у нас), то log 1 t принимает значения от –1 до
–2.
44
Приложение 2
1
Что касается функции arccos x , то она тоже убывает на отрезке [-1;1],
𝜋
принимая на концах отрезка значения 1 и 0. Значит,
1
1
3
𝜋
на отрезке [-1;1]
функция log (3𝑥 + 6) + arccos 𝑥 убывает, поэтому свое наибольшее
значение принимает в левом конце отрезка при x=-1, а наименьшее – в
правом конце отреза при x=1.
Ответ: max y = 0, min y = -2
Пример 4. Найдите набольшее и наименьшее значение функции
𝑦 = 7 − √6𝑥 − 𝑥 2 − 9.
Решение:
Запишем
данную
функцию
в
виде
𝑦 = −√−(𝑥 − 3)2
найдем 𝐷(𝑦) : − (𝑥 − 3)2 ≥ 0 <=> (𝑥 − 3)2 = 0, 𝑥 = 3. Значит,
и
функция
определена при одном значении x и y(3)=7. Таким образом, наименьшее и
наибольшее значения равны 7.
Ответ: max y = min y = 7 .
Пример 5. Найдите экстремумы функции 𝑦 =
𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥 2 +3
.
Решение.
D(y)=R.
Рассмотрим
равенство
𝑦=
𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥 2 +3
как
уравнение
относительно x с параметром y. Так как 𝑥 2 + 3 ≠ 0, то данное уравнение
равносильно уравнению 𝑦(𝑥 2 + 3) = 𝑥 2 = 2𝑥 + 1, или 𝑥 2 (𝑦 − 1) + 2𝑥 + 3𝑦 −
1 = 0.
4.
Если y=1, то уравнение 2𝑥 + 2 = 0 имеет корень.
45
Приложение 3
2. Если y≠1, то квадратное уравнение имеет корни тогда и только
тогда, когда его дискриминант D не меньше нуля, то есть когда
4𝑦 ≥ 0.
Итак,
следует
рассмотреть
такие
значения
𝐷
4
y,
= −3𝑦 3 +
которые
𝑦(3𝑦 − 4) ≤ 0
4
удовлетворяют системе: {
=> 𝑦𝜖[0; 1) ∪ (1; ].
3
𝑦≠1
В ответе получаем, что наименьшее значение равно 0, а наибольшее
4
– .
3
4
Ответ: 0; .
3
Пример 6. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = |𝑥 − 𝑎| +
|𝑥 − 𝑏| + |𝑥 − 𝑐|, где 𝑎 < 𝑏 < 𝑐.
Решение:
Чтобы построить график, есть смысл задать функцию так, чтобы не
было знаков модулей. Для этого необходимо рассмотреть аналитическое
выражение функции в каждом из следующих четырех возможных случаев:
1. Если 𝑥 < 𝑎, то 𝑥 − 𝑎 < 0, 𝑥 − 𝑏 < 0, 𝑥 − 𝑐 < 0 значит
|𝑥 − 𝑎| = 𝑎 − 𝑥, |𝑥 − 𝑏| = 𝑏 − 𝑥, |𝑥 − 𝑐| = 𝑐 − 𝑥, и получаем 𝑦 = −3𝑥
=𝑎+𝑏+𝑐
2. Если a ≤ x <b, то 𝑥 − 𝑎 ≥ 0, 𝑥 − 𝑏 < 0 𝑥 − 𝑐 < 0, значит 𝑦 = −𝑥 + 𝑏 +
𝑐−𝑎
3. Если b ≤ x < c, то 𝑥 = 𝑎 > 0, 𝑥 − 𝑏 ≥ 0, 𝑥 − 𝑐 < 0, значит 𝑦 = 𝑥 − 𝑎 −
𝑏+𝑐
4. Если x ≥ c, то 𝑥 − 𝑎 > 0, 𝑥 − 𝑏 > 0, 𝑥 − 𝑐 ≥ 0, значит 𝑦 = 3𝑥 − 𝑎 −
𝑏−𝑐
Заданную функцию можно переписать в следующем виде:
46
Приложение 4
−3𝑥 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐), 𝑥 ≤ 𝑎
−𝑥(𝑏 + 𝑐 − 𝑎), 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
𝑥 + (𝑐 − 𝑎 − 𝑏), 𝑏 ≤ 𝑥 < 𝑐
{ 3𝑥 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐), 𝑥 ≥ 𝑐
Изобразив график этой функции,
делаем вполне очевидный вывод:
у
наименьшее достигается при х=b и
равняется с-а.
Пример 7. 𝑓(𝑥) = 8𝑥 2 − 𝑥 4 , при х [-1;3]
Решение:
Найдём значение функции на концах промежутка
. 𝑓(−1) = 7
𝑓(3) = −9
Найдём критические точки функции внутри промежутка (-1;3).
𝑓ˊ(𝑥) = 16𝑥 − 4𝑥 3
𝑓ˊ(𝑥) = 0
𝑥=0
𝑥=2
𝑥 = −2, íî − 2 ∉ [−1; 3]
Найдём значение функции в критических точках.
𝑓(0) = 0
47
Приложение 5
𝑓(2) = 16
Выберем наибольшее и наименьшее.
max {7; −9; 0; 16} = 16 => 𝑚𝑎𝑥𝑓(𝑥) = 16
min {7; −9; 0; 16} = −9 => min 𝑓(𝑥) = −9
Если непрерывная функция имеет на промежутке I единственную
точку экстремума и этот экстремум максимум (минимум), то в этой точке
достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее (если они есть) значения
функции 𝑦 = 9𝑥 2 + 15𝑥 на интервале (0;8).
Решение:
1.
Имеем 𝑓ˊ(𝑥) = 3𝑥 2 − 18𝑥 + 15
2.
𝑓ˊ(𝑥) существует при любых x, найдем точки, в которых𝑓(𝑥) = 0.
Имеем
3𝑥 2 − 18𝑥 + 15 = 0,
откуда
𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5.
Обе
точки
принадлежат заданному интервалу.
3.
4.
𝑓(1) = 7, 𝑓(5) = −25
lim𝑓(𝑥) = lim (𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥) = 0, lim (𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥) = 56
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→8
Рекомендуем использовать следующую запись:
x
͢ 0
͢ 8
1
5
y
͢ 0
͢ 56
7
- 25
Сравнивая значения в критических точках (7 и –25) с пределами
функции на концах промежутка (0 и 56), делаем вывод: min 𝑦 = −25.
Приложение 6
48
Приведём несколько примеров: [22]
(8 класс). Постройте график функции у = x2-5x+6 . С помощью графика
найдите:
а) значения у при х = 4; 7; 16;
б) значения х, если у = 0; 1; 3;
в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 4];
г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой
у = 1; ниже прямой у = 1.
(8 класс) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=x2+2
а) на отрезке [0; 4];
б) на луче [3; +);
в) на отрезке [1; 9];
г) на полуинтервале (2; 9].
(8 класс) Постройте график функции у = (x-4)2. С помощью графика найдите:
а) значения у при х = -3; 1; 6;
б) значения х если у = 3; -1; -6;
в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3; -1];
(9 класс) [23] Решите двойное неравенство 0<1+4x<17 и укажите наименьшее
и наибольшее целые числа, которые являются его решениями.
(9 класс) [23] Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее системе
неравенств
Приложение 7
49
Приведём примеры задач из данного учебника:
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = на
промежутках [-3;-2] и [1;5]
Сравните наибольшее значения функции на промежутке P1 и
наименьшее её значение на промежутке P2: y=, P1=[-4;0], P2=[3;4]
Материальная точка движется по прямой согласно закону s(t)=, где s(t)
– путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из
промежутка [4;10] скорость движения точки будет наибольшей и какова
величина этой скорости?
Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых
так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением
наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения
бревна равен 20 см.
Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А
берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу
на расстоянии 5 км от А (участок АВ берега считаем прямолинейным). Лодка
движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час
пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы
пассажир достиг села в кратчайшее время?
Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной
гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
Приложение 8
50
Примеры задач: [2]
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном
отрезке.
Найдите наименьший член последовательности Аn
Какую наименьшую площадь полной поверхности может иметь
цилиндр. Если его объём равен V?
Найдите число, которое, если сложить со своим квадратом, даст
наименьшую сумму.
Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ч,
составляет (90+) рублей в час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы
стоимость 1 км путь была наименьшей?
На странице книги печатный текст должен занимать 150 см2. Верхнее
и нижнее поля страницы по 3 см, правое и левое – по 2 см. если принимать во
внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее
выгодные размеры страницы?
51
Приложение 9
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2х2
на отрезках: а) [0;2] б) [-2;-1]
Решение:
а) Построим график функции у=2х2 и выделим его часть на отрезке
[0;2].
Замечаем, что унаим=0 (достигается при х=0), а унаиб=8 (достигается при
х=2).
б) Построим график функции у=2х2 и выделим его часть на отрезке [2;-1].
Замечаем, что унаим=2 (достигается при х=-1), а унаиб=8 (достигается при
х=-2).
Рис. 27
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
(𝑥 + 2)2 , если − 4 ≤ 𝑥 ≤ 0;
у=f(x), где 𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥 2 , если 𝑥 > 0.
Решение: Сначала построим параболу у=(х+2)2 и выделим её часть на
отрезке [-4,0]. Затем построим параболу у=4-х2 и выделим её часть на
открытом луче (0,+∞). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе
координат – получим график функции у=f(x)
52
Приложение 10
Рис. 28
Из рисунков видим, что унаим не существует; унаиб=4 (достигается при
х=-4 и при х=0).
53