Прграмма - Томский политехнический университет

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский Томский политехнический университет»
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора ИК по УР
___________ С.А. Гайворонский
«___» ____________2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
НАПРАВЛЕНИЕ ООП: 010400 «Прикладная математика и информатика»
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ:
Математическое моделирование распределенных динамических систем
Прикладной анализ данных
КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ): бакалавр
БАЗОВЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН ПРИЕМА 2011 г.
КУРС 1 и 2; СЕМЕСТР 1, 2 и 3;
КОЛИЧЕСТВО КРЕДИТОВ: 20 (8/6/6)
ПРЕРЕКВИЗИТЫ: нет
КОРЕКВИЗИТЫ: «Алгебра и геометрия»
ВИДЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ВРЕМЕННОЙ РЕСУРС:
ЛЕКЦИИ
135 часов (ауд.)
ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
часа (ауд.)
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
153
часов (ауд.)
АУДИТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
288
288
часов
Часов
ИТОГО
576
Часов
ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
очная
ВИД ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ:
ЭКЗАМЕНЫ В 1, 2 и 3 СЕМЕСТРАХ,
КУРСОВАЯ РАБОТА В 3 СЕМЕСТРЕ.
ОБЕСПЕЧИВАЮЩАЯ КАФЕДРА: «Прикладная математика»
ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ:
д.ф.-м.н., профессор В.П.Григорьев
РУКОВОДИТЕЛЬ ООП:
к.т.н., доцент Д.Ю.Степанов
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ:
д.ф.-м.н., профессор Т.В.Коваль
2011г.
1. Цели освоения дисциплины
В результате освоения данной дисциплины студент приобретает знания, умения и
навыки, обеспечивающие достижение целей P1, Р2 и Р9 основной образовательной
программы 010400 «Прикладная математика и информатика».
Основные цели преподавания курса математического анализа:
1. Изучение предусмотренных программой определений, теорем, их доказательств, связей
между ними, формирование умения применять полученные знания при решении
конкретных задач.
2. Создание отношения к математическому анализу как к инструменту исследования и
решения прикладных задач. Эта цель достигается выработкой у студентов понимания
сущности математической модели и умения моделировать некоторые наиболее доступные
объекты, процессы и явления.
3. Развитие у студентов логического и алгебраического мышления, математической
интуиции, точности и обстоятельности аргументации, т.е. воспитания математической
культуры, которая способствовала бы включению будущих специалистов в процесс
активного познания, в частности, обеспечивала бы им возможность самостоятельного
овладения новым математическим аппаратов.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина относится к базовым дисциплинам математического и
естественнонаучного цикла. Кореквизитом для дисциплины «Математический анализ»
является дисциплина «Алгебра и геометрия».
3. Результаты освоения дисциплины
При изучении дисциплины студенты должны получить представление: о значении
математического анализа в математике, естествознании, инженерных дисциплинах и
общественных науках; об индукции и дедукции, доказательных и правдоподобных
рассуждениях, их роли в процессе научного познания; об условном суждении и
эквивалентных ему утверждениях. Студенты должны будут уметь: грамотно применять
основные понятия и методы математического анализа, представляя реальные границы их
применения; проверять найденные решения; самостоятельно овладевать новыми
математическими знаниями, опираясь на опыт, приобретенный в процессе изучения курса
математического анализа.
После изучения данной дисциплины студенты приобретают знания, умения и опыт,
соответствующие результатам основной образовательной программы: Р1, Р2, Р9.
Соответствие результатов освоения дисциплины «Математический анализ» формируемым
компетенциям ООП представлено в таблице.
Формируемые
компетенции в
соответствии с
ООП*
З1.1
У1.1,
У2.1
Результаты освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен знать:
Общенаучные базовые знания по дифференциальному и
интегральному исчислению функции одной и многих переменных,
теории рядов и векторного анализа.
В результате освоения дисциплины студент должен уметь:
Грамотно пользоваться языком предметной области,
строго доказать утверждение, формулировать результат.
В9.1
В2.1
4.
4.1.
№
Применять методы математического анализа для решения задач
профессиональной деятельности.
В результате освоения дисциплины студент должен владеть:
Навыками письменной и устной коммуникации на математическом
языке.
Математическим аппаратом для формулирования задач и
математического моделирования различных объектов и явлений.
Структура и содержание дисциплины
Структура дисциплины по разделам, формам организации и контроля
обучения
Название
раздела/темы
 Введение в анализ
Аудиторная работа
(час)
Лекц Практ./ Лаб.
ии
семина зан.
р
18
24
СРС
(час)
Итого
40
82
 Дифференциальное
исчисление функций
одной переменной
 Неопределенный
интеграл
Аттестация за 1
семестр
итого
 Определенный
интеграл
 Дифференциальное
исчисление функций
многих переменных
Аттестация
1.
за
2
семестр
итого
2.
 Интегральное
исчисление функций
многих переменных
 Векторный анализ
19
24
40
83
8
15
20
43
45
22
63
22
100
50
208
94
23
23
50
96
8 Числовые и
функциональны
ряды
9 Курсовая работа
Аттестация за 3
семестр
итого
Формы текущего
контроля и
аттестации
ИДЗ. Коллоквиум.
Контрольная работа
ИДЗ. Коллоквиум.
Контрольная работа
ИДЗ. Коллоквиум.
Контрольная работа
Экзамен
ИДЗ.
Контрольная работа
ИДЗ.
Контрольная работа
Экзамен
90
16
108
16
200
10
398
42
12
12
10
34
17
17
10
44
58
58
288
576
135
153
ИДЗ.
Контрольная работа
ИДЗ.
Контрольная работа
ИДЗ.
Контрольная работа
Защита курсовой
Диф.зачет
Экзамен
При сдаче индивидуальных заданий (ИДЗ) и письменных работ проводится устное
собеседование.
4.2.
Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Введение в анализ
Лекции. Практика. Вводная лекция. Роль математики в изучении окружающей
действительности. Математика как средство решения прикладных задач, универсальный
язык науки и элемент общей культуры.
Понятие множества. Основные операции над множествами, их свойства.
Логическая символика, некоторые свойства логических операций. Виды теорем. Условия
необходимые, достаточные и существенные. Роль примеров и контрпримеров в анализе.
Понятие мощности множества. Множества конечные, счетные и мощности континуума.
Вещественные числа, их свойства. Границы числовых множеств. Теорема
Больцано.
Понятие функции. Взаимно-однозначное отображение, обратная функция.
Композиция функций. Классификация элементарных функций.
Числовая последовательность и ее предел. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Признак сходимости монотонной последовательности. Число е. Фундаментальная
последовательность, признак сходимости произвольной последовательности. Понятие
подпоследовательности, ее свойства.
Точные грани последовательности. Теорема
Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности для
ограниченной последовательности.
Предельная точка множества. Предел и непрерывность функции, определения по
Коши и по Гейне, односторонние пределы. Свойства функций, имеющих конечный предел
и непрерывных функций. Теорема о непрерывности элементарных функций. Первый и
второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
функций. Эквивалентные функции, их свойства. Таблица эквивалентных бесконечно
малых функций. Точки разрыва функции, их классификация.
Свойства функций, непрерывных на множестве. Теоремы Коши об обращении
функции в ноль и о промежуточном значении. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности
непрерывной функции и о достижении непрерывной функций своих точных границ.
Понятие равномерной непрерывности. Формулировка теоремы Кантора.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Лекции. Практика. Задачи, приводящие к понятию производной. Определения
производной и дифференциала функции, их геометрический и физический смысл.
Свойства дифференцируемых функций. Неявно и параметрически заданные функции, их
дифференцирование. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства,
формула Лейбница.
Теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши). Теорема Лопиталя, применение ее к раскрытию неопределенностей. Сравнение
роста показательной, степенной и логарифмической функций.
Теорема и формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и
форме Лагранжа. Представление некоторых элементарных функций по формуле
Маклорена.
Аналитические признаки монотонности функции. Экстремумы функции,
необходимые и достаточные условия существования экстремума. Выпуклость, вогнутость
кривой, точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции, вертикальные и
наклонные. Схема полного исследования функции для построения ее графика.
Определение векторной функции скалярного аргумента. Годограф. Предел и
непрерывность векторной функции скалярного аргумента. Производная векторной
функции скалярного аргумента, ее геометрический и физический смысл, некоторые
свойства.
Раздел 3. Неопределенный интеграл
Лекции. Практика. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул интегрирования.
Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной и метод интегрирования по
частям.
Интегрирование рациональных функций. Корни многочлена. Формулировка
основной теоремы алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами
на линейные и квадратичные множители. Простые рациональные дроби и их
интегрирование. Теорема о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы
конечного числа простых дробей.
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Раздел 4. Определенный интеграл
Лекции. Практика.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение
интегральной суммы Римана. Понятие определенного интеграла, его геометрический и
физический смысл.
Необходимый признак интегрируемости функции. Верхняя и нижняя суммы Дарбу,
их свойства.
Критерий интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций.
Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции, интегрируемость
ограниченной функции с конечным числом точек разрыва.
Свойства
определенного интеграла.
Линейность аддитивность
определенного интеграла. Теоремы об интегрировании неравенств и об оценке интеграла.
Теорема о среднем.
Основная теорема дифференциального и интегрального исчисления о связи
определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Методы
вычисления определенного интеграла.
Геометрические применения определенного интеграла. Вычисление площадей
плоских фигур в декартовых и полярных координатах.
Определение и вычисление длины дуги плоской кривой.
Вычисление объемов тел. Общая схема применения определенного интеграла к
решению прикладных задач.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Определение, свойства.
Признаки сходимости интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная
сходимость.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теорема сравнения.
Абсолютная и условная сходимость.
Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Лекции. Практика. Понятие метрического пространства. Координатное Евклидово
пространство. Некоторые топологические понятия. Определения, предел и непрерывность
функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на ограниченном
замкнутом множестве.
Частные приращения и частные производные функции двух переменных, их
геометрический и механический смысл.
Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких переменных.
Определение и свойства дифференцируемой функции. Непрерывность дифференцируемой
функции. Дифференцируемость функции с непрерывными частными производными.
Дифференцирование сложной функции. Теорема об инвариантности формы полного
дифференциала.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного
дифференциала функции двух переменных. Теоремы о существовании и гладкости неявно
заданных функций (без доказательства).
Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению,
определение, свойства и вычисление. Градиент скалярного поля, его свойства.
Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных
производных. Замена переменных в выражениях, содержащих производные.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух
переменных.
Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия.
Экстремум функции многих переменных. Понятие квадратичной формы. Критерий
Сильвестра. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой
области.
Векторная функция векторного аргумента. Отображения. Определение и свойства
матрицы Якоби и якобиана отображения. Геометрический смысл модуля якобиана
отображения.
Системы неявных функций. Независимые системы функций. Условия зависимости
и независимости систем функций. Условный экстремум. Метод неопределенных
множителей Лагранжа.
Раздел 6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Лекции. Практика. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от
параметра. Переход к пределу, интегрирование и дифференцирование по параметру под
знаком интеграла.
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного
интеграла, геометрический и физический смысл, теорема существования, свойства.
Сведение двойного интеграла от непрерывной функции к повторному интегралу. Теорема
о замене переменных под знаком двойного интеграла.
Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Тройной интеграл,
определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат. Формулировка
теоремы о замене переменных под знаком тройного интеграла. Цилиндрические и
сферические координаты, переход к ним в тройном интеграле. Приложения кратных
интегралов (вычисление объемов тел и площадей фигур, решение задач механики и
физики).
Задача о вычислении работы силового поля. Определение, свойства и вычисление
криволинейного интеграла по координатам. Теорема Грина. Условия независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования. Отыскание функции по ее полному
дифференциалу.
Криволинейные интегралы по длине дуги. Определение, свойства, физический
смысл, вычисление.
Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение, формула для
вычисления. Геометрический и физический смысл.
Раздел 7. Векторный анализ
Лекции. Практика. Векторное поле. Векторные линии. Ориентация поверхности.
Задача о вычислении потока векторного поля через поверхность. Определение, свойства и
вычисление поверхностного интеграла по координатам. Теорема и формула ГауссаОстроградского. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Теорема о
существовании и вычислении дивергенции. Свойства дивергенции, векторная запись
формулы Гаусса-Остроградского.
Соленоидальное поле. Векторная трубка. Основное свойство соленоидального
векторного поля. Ориентация поверхности и направление обхода замкнутого контура.
Теорема и формула Стокса. Циркуляция и ротор векторного поля. Механический смысл
ротора, его свойства. Векторная запись формулы Стокса.
Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого порядка в скалярном
и векторном полях.
Потенциальные и безвихревые поля. Теорема об утверждениях, эквивалентных
потенциальности векторного поля в пространственно-односвязной области.
Дифференциальные операции второго порядка.
Раздел 8. Числовые и функциональные ряды
Лекции. Практика. Определение числового ряда, его частичной суммы.
Сходимость ряда. Теоремы о сложении сходящихся рядов и умножении на скаляр. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Теоремы сравнения.
Эталонные ряды. Теорема Даламбера, следствие из нее. Радикальный и интегральный
признаки Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Теоремы о свойствах абсолютно
сходящихся рядов: перестановка и группировка членов, умножение рядов.
Последовательности функций и функциональные ряды. Область сходимости.
Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости ряда.
Мажорирующий ряд. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов. Теоремы о
непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании рядов,
об условиях предельного перехода под знаком интеграла и под знаком производной.
Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Структура области сходимости
степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение
элементарных функций в степенные ряды. Применение степенных рядов к вычислению
значений функций и к интегрированию функций. Тригонометрические ряды. Разложение
четных и нечетных функций в тригонометрический ряд. Теорема Дирихле. Разложение
функции, заданной на половине периода. Комплексная форма ряда Фурье Ряды
многочленов.
Раздел 9. Курсовые работы по индивидуальным темам по дисциплине
математический анализ.
Распределение компетенций по разделам дисциплины
Распределение по разделам дисциплины планируемых результатов обучения по
основной образовательной программе, формируемых в рамках данной дисциплины и
указанных в пункте 3.
№ Формируемые
компетенции
3. знать:
Общенаучные базовые
знания по
дифференциальному и
интегральному
исчислению функции
одной и многих
1
х
2
х
Разделы дисциплины
3
4
5
6
х
х
х
х
7
х
8
х
9
4.
5.
6.
7.
переменных, теории
рядов и векторного
анализа.
уметь:
Грамотно пользоваться
языком предметной
области,
строго доказать
утверждение,
формулировать
результат.
уметь:
Применять методы
математического
анализа для решения
задач
профессиональной
деятельности.
владеть:
Навыками письменной
и устной коммуникации
на математическом
языке.
владеть:
Математическим
аппаратом для
формулирования задач
и математического
моделирования
различных объектов и
явлений.
5.
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
Образовательные технологии
При освоении дисциплины используются следующие сочетания видов учебной
работы с методами и формами активизации познавательной деятельности студентов для
достижения запланированных результатов обучения и формирования компетенций.
Методы и формы
активизации
деятельности
Дискуссия
IT-методы
Командная работа
Разбор кейсов
Опережающая СРС
Индивидуальное
обучение
Проблемное обучение
Обучение на основе
ЛК
х
Виды учебной деятельности
Практика
х
х
х
х
СРС
х
х
х
опыта
Для достижения поставленных целей преподавания дисциплины реализуются
следующие средства, способы и организационные мероприятия:
 изучение теоретического материала дисциплины на лекциях и практике;
 самостоятельное изучение теоретического материала дисциплины с использованием
Internet-ресурсов, информационных баз, методических разработок, специальной учебной и
научной литературы;
6. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов (CРC)
6.1
Текущая и опережающая СРС, направленная на углубление и закрепление
знаний, а также развитие практических умений заключается в:
 работе студентов с лекционным материалом, поиск и анализ литературы и электронных
источников информации по заданной проблеме и выбранной теме курсовой работы,
 в выполнении домашних заданий,
 в изучении тем, вынесенных на самостоятельную проработку,
 в изучении теоретического материала к практическим занятиям,
 в изучении теоретического материала по теме курсовой работы, оформлении отчета и
презентации доклада,
 подготовке к экзамену.
6.1.1. Темы, выносимые на самостоятельную проработку:
– Полярная система координат.
– Доказательства теорем о сходящихся последовательностях.
– Остаточный член формулы в форме Пеано и форме Лагранжа.
– Теорема о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы конечного
числа простых дробей.
– Годограф.
– Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их свойства.
– Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
– Геометрический и физический смысл криволинейного и поверхностного
интегралов.
– Эталонные ряды.
– Доказательство теорем о свойствах абсолютно сходящихся рядов: перестановка и
группировка членов, умножение рядов.
– Ряды многочленов. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении
многочленами непрерывной на отрезке функции.
6.2
Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа
(ТСР) направлена на развитие интеллектуальных умений, комплекса универсальных
(общекультурных) и профессиональных компетенций, повышение творческого
потенциала студентов и заключается в:
 поиске, анализе, структурировании и презентации информации, анализе научных
публикаций по определенной теме исследований,
 исследовательской работе и участии в научных студенческих конференциях, семинарах
и олимпиадах,
6.2.1. Примерный перечень курсовых работ:
 Замена переменных в двойном интеграле. Геометрический вывод. Выбор
криволинейной системы координат.
 Метод последовательных приближений в теории неявных функций.
 Интерполирование. Интерполяционные формулы Лагранжа и Эрмита.
 Дельта функция Дирака и ее применение.
 Уравнение Бесселя. Разложение решения в обобщенный степенной ряд.
 Потенциальные и соленоидальные поля. Обратная задача векторного анализа. Теорема
Гельмгольца.
 Основная теорема алгебры. Гауссово доказательство.
 Оценка остатков в зависимости от дифференциальных свойств функции.
 Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного
интеграла.
 Приложение формулы Остроградского-Гаусса к исследованию поверхностных
интегралов. Интеграл Гаусса.
 Электромагнитное поле и уравнения Максвелла. Интегральная и дифференциальная
формы.
 Уравнения Максвелла. Волновые уравнения.
7. Средства текущей и итоговой оценки качества освоения дисциплины
оценочных средств)
(фонд
Оценка успеваемости студентов осуществляется по результатам:
- самостоятельных работ и по итогам контрольных работ,
- взаимного рецензирования студентами работ друг друга,
- устного опроса при сдаче выполненных индивидуальных заданий, защите отчетов по
курсовой работе и во время экзамена в каждом семестре (для выявления знания и
понимания теоретического материала дисциплины).
7.1. Требования к содержанию экзаменационных вопросов
Экзаменационные билеты включают три типа заданий по каждому разделу
семестра:
1. Теоретический вопрос на понятие или определение, привести пример.
2. Доказательство (или формулировка) теоремы.
3. Решить пример.
7.2. Примеры экзаменационных вопросов
1 семестр
Тема 1: “Последовательности. Пределы. Непрерывность”
n!
3
 Определите с какого номера последовательность {xn } строго возрастает, xn  n .
 Первый замечательный предел. Получите формулу и приведите примеры.
Тема 2: “Дифференцирование”
2 1/ x 2

Найдите предел lim[ x e

Сформулируйте теорему о дифференцируемости и непрерывности функции в
точке. Покажите, что обратное утверждение может не выполняться.
x0
Тема 3: “Исследование функции”
] , используя правило Лопиталя.
 Найдите точки экстремума и интервалы монотонности функции y 
x 1
.
x2
 Сформулируйте определение асимптоты. Докажите критерий существования
наклонной асимптоты.
Тема 4: “Неопределенный интеграл”
 Интегрирование методом замены переменной. При каких условиях справедлива
формула замены переменой?
x
 Вычислите интеграл:  e cos( x)dx .
2 семестр
Тема 1: “Определенный интеграл”
 Сформулируйте и докажите теорему о среднем значении функции.
 Сформулируйте определение и покажите геометрический смысл несобственного
интеграла 2 рода. Приведите пример.
x2 y 2 z 2
 Определите объем эллипсоида 2  2  2  1 .
a
b
c
Тема 2: “Функция многих переменных”
 Сформулируйте теоремы о непрерывности и равномерной непрерывности функции
многих переменных в точке.
 Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
 Доказать, что функция u  xy имеет условные экстремумы на окружности радиусом
1 в плоскости xoy , но не имеет локальных экстремумов.
Тема 3: “Замена переменных”
 Осуществите преобразование частной производной, принимая u
2 z
переменные:
, где
u  x, v  x  y .
xy
и v за новые
3 семестр
Тема 1: “Интеграл, зависящий
поверхностные интегралы”
от
параметра
кратные,
криволинейные
и
 Вычисление двойного интеграла. Связь двойного интеграла с повторным.
 Понятие дифференциала поверхности. Вычисление площади поверхности, заданной
в неявном виде. Приведите пример.
b
b
dx
1
b
dx
, вычислите 

arctg
2
2
a
a
0a  x
0 a2  x2
 Исходя из равенства I (a)  


2
.
Тема 2: “Векторный анализ”
 Скалярное поле. Градиент скалярного поля.
 Дайте определения скалярного и векторного потенциалов.
 Покажите, что работа силы тяжести по перемещению материальной точки массой m
не зависит от пути, а зависит от начальной и конечной точек перемещения.
Тема 3: “Числовые и функциональные ряды”
 Знакочередующиеся числовые ряды. Сходимости. Признак Вейрштрасса. Свойства.
 Сформулируйте свойство почленного дифференцирования функционального ряда.
Приведите пример.
 Разложите в ряд Фурье функцию f ( x)  x с периодом 2 на интервале [0, ] .
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля (дисциплины)
Основная литература
1. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1,2 М.: Высшая школа,
1988г., т. 3, 1989.
2. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. М.:Наука,
1988.
3. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика. Дифференциальное
интегральное исчисления. Ростов н/Д, изд-во «Феникс», 1997.
4. Я.С Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Ростов н/Д,
изд-во «Феникс», 1998.
5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, ч. I, II Москва, издво «Наука», 1973.
6. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.:
Высшая школа, 1994.
7. Л.И.Терехина, И.И.Фикс Высшая математика. Учебное пособие. Томск, 2001,
Ч. 2-3.
Вспомогательная литература
8. Л. Д. Кузнецов. Краткий курс математического анализ, 1982.
9. Н.С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление
10. П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч. 1 ,2.
11. В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин. Математический
анализ в вопросах и задачах, 1993.
12. Сборник задач по математике для студентов под редакцией А. В. Ефимова, Б.
П. Демидовича.
13. Л. И. Магазинников Высшая математика. Специальные разделы. Томск.: изд. Томского ун-та, 1992. Ч. 1,2.
14. Н.Ф. Пестова, Э.Н. Подскребко. Математический анализ. Методические
указания к лекционному курсу и послелекционной самостоятельной работе по
математическому анализу, Томск, 1988г. – с.130.
15. Кан Ен Хи, Н.Ф. Пестова, Э.Н. Подскребко. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной, ТПУ, 1999г. – с.86.
16. Н.Ф. Пестова. Неопределенный интеграл. Томск, 1999г. – с.100.
17. Э.Н. Подскребко, Н.Ф. Пестова. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных. Томск, 1997г. – с.160.
18. Л.И.Кабанова. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. –
Томск: Изд. ТПУ, 1997.
Интернет-ресурсы:
9. Материально-техническое обеспечение модуля (дисциплины)
Учебная аудитория 112, оснащенная современным оборудованием.
Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с требованиями
ФГОС 3-его поколения по направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и
информатика».
Авторы:
Коваль Т.В.
Программа одобрена на заседании кафедры ПМ
(протокол № ____ от «___» _______ 2011 г.).