КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Для работы над теоретическим материалом рекомендуется ответить
письменно на вопросы, размещенные перед каждой контрольной работой, и
внимательно рассмотреть образцы решений типовых задач.
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
КОНСПЕКТИРОВАНИЯ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1. Неопределенный интеграл.
Основная задача интегрирования. Понятие первообразной функции.
Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Основные методы интегрирования: а) непосредственное (табличное)
интегрирование; б) внесение под знак дифференциала; в) интегрирование по
частям; г) интегрирование заменой переменной.
Понятие о рациональных функциях. Разложение правильной рациональной
дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей 1, 2, 3 типа.
Интегрирование тригонометрических функций:
а)  R(sin x, cos x)dx ;
б)  R(sin 2 x, cos2 x, sin x cos x)dx
в)  sin 2 n x cos2 m xdx
г)  sin m x cos2 n1 xdx
д)  R(sin x) cos xdx ;  R(cos x) sin xdx
е)  sin x sin xdx ,  cosx cos xdx ,  sin x cos xdx .
7. Интегрирование иррациональных функций:
r1
s1
r1
ax  b s1
) ,...)dx ;
а)  R ( x, x ,...)dx ,  R( x, (
cx  d
б)  R( x, a 2  x 2 )dx ,  R( x, a 2  x 2 )dx ,  R( x, x 2  a 2 )dx
8. «Неберущиеся» интегралы.
2. Определенный интеграл.
9. Геометрический смысл определенного интеграла.
10.Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.
11.Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
12.Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном
интеграле.
13.Несобственные интегралы I и II рода. Определение, понятие сходимости и
расходимости.
1
14.Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление
площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения, если
кривая задана: явно, параметрически, в полярных координатах.
3 Таблица основных неопределенных интегралов.
Таблицу основных неопределенных интегралов следует выучить
наизусть. Отыскание неопределенного интеграла с помощью приведенной
таблицы и тождественных преобразований подынтегрального выражения
называется непосредственным интегрированием. Следует иметь в виду, что в
таблице u – функция от x, т. е. u = u (x), тогда du  u dx .
Таблица основных неопределенных интегралов.
u 1

8.  ctgudu  ln sin u  C
1.  u du 
 C ,  1
 1
2.

du
 ln u  C
u
9.
au
C
ln a
du
 sin 2 u  ctgu  C
du
10.
 cos2 u  tgu  C
4.  eu du  eu  C
11.
 a 2  u 2  a arctg a  C
5.  sin udu   cosu  C
12. 
6.  cosudu  sin u  C
13.
 a 2  u 2  2a ln a  u
7.  tgudu   ln cosu  C
14.

3.  au du 
du
1
du
u

arcsin
C
a
a2  u 2
du
du
u 2  a2
1
2
au
C
 ln u  u 2  a 2  C
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
xdx
Пример 1. Найти интеграл 
.
x2  1
1
 Удобно представить xdx  d ( x 2  1) . Тогда
2
xdx
1
J 
  ( x 2  1) 1/ 2 d ( x 2  1) .
x2  1 2
Здесь u  x 2  1 . По формуле 1 таблицы имеем:
u
2
1
 1
 1) 2
1 (x

 C  ( x 2  1)1/ 2  C  x 2  1  C . #
1
2
 1
2
Пример 2. Найти интеграл  sin e x  e x dx .
J
  sin e x  e x dx   sine x de x   cose x  C . Здесь u  e x , du  e x dx ,
использовалась формула 5. #
dx
Пример 3. Найти интеграл 
.
x ln x
dx
dx
1


d ln x  ln ln x  C . Здесь u  ln x, du  , использовалась
x ln x
ln x
x
формула 2. #
Пример 4. Найти интеграл  x 2 e 3 x dx .
 Чтобы найти этот интеграл, применим формулу интегрирования по
частям:
 udv  uv   vdu
Обозначим: u  x 2 ; dv  e3 x dx . Удобно использовать следующую запись:
du  2 xdx
u  x2
1 3x
3x
3x
v

e
dx

e

dv  e dx
3
1
2
Тогда  x 2 e 3 x dx  x 2 e 3 x   xe 3 x dx . Еще раз применим формулу (I):
3
3
u  x du  dx
1 3x
dv  e 3 x dx v  e
3
Следовательно, имеем:
1 2 3x 2 1 3x 1 3x
1
2
2
x e  ( xe   e dx)  x 2 e 3 x  xe 3 x  e 3 x  C . #
3
3 3
3
3
9
27
arcsin x
dx .
Пример 5. Найти интеграл 
x 1
 Для нахождения интеграла применим формулу (I):
arcsin x
x  1dx
dx

2
x

1
arcsin
x

2
 x 1
 (1  x)(1  x) 
u  arcsin x du  dx
 dv  dx
1  x2 
x 1 v  2 x 1
dx
 2 x  1 arcsin x  2
 2 x  1 arcsin x  2 (1  x) 1/ 2 d (1  x) 
(1  x)
3
(I)
(1  x)1/ 2
 2 x  1 arcsin x  2
 C  2 x  1 arcsin x  4 1  x  C . #
1/ 2
dx
Пример 6. Найти интеграл 
.
( x  1)( x  2)( x  3)
 Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Чтобы найти
этот интеграл, подынтегральную дробь нужно представить в виде суммы
элементарных дробей. Это представление зависит от разложения знаменателя
на множители. Корни знаменателя действительные простые, а именно x1 = –1, x2
= –2, x3 = –3. Тогда
1
A
B
C



;
( x  1)( x  2)( x  3) x  1 x  2 x  3
1
A( x  2)( x  3)  B( x  1)( x  3)  C ( x  1)( x  2)
.

( x  1)( x  2)( x  3)
( x  1)( x  2)( x  3)
Отсюда 1  A( x  2)( x  3)  B( x  1)( x  3)  C ( x  1)( x  2) . Полагая
последовательно x = -1, x = -2, x = -3, получим:
x  1 1  A(1  2)(1  3) 1  2 A  A  1/ 2



x  2 1  B(2  1)(2  3)  1   B   B  1
x  3 1  C (3  1)(3  2) 1  2C C  1/ 2
dx
1 dx
dx
1 dx



 ( x  1)( x  2)( x  3) 2  x  1  x  2 2  x  3 
1
1
 ln x  1  ln x  2  ln x  3  C . #
2
2
dx
Пример 7. Найти интеграл 
.
x(x  1) 2
 Подынтегральная функция представляет собой правильную
рациональную дробь. Корни знаменателя: x1 = 0 – простой действительный, x2 =
–1 – действительный кратности 2. Следовательно, разложение этой дроби на
элементарные выглядит так:
1
A
B
C
 

2
x x  1 ( x  1) 2
x( x  1)
1  A( x  1) 2  Bx ( x  1)  Cx
(II)
Положим x = 0 и x = –1, получим два уравнения:
x  0 1  A(0  1) 2
x  1 1  C (1)
Приравнивая коэффициенты при x2 слева и справа в уравнении (II),
получим и третье уравнение:
x2 0  A  B
Итак, имеем систему уравнений относительно A, B, C:
4
 1 A
 A 1


 1  C   B  1
0  A  B C  1


dx
dx
dx
dx
1
 x( x  1)   x   x  1   ( x  1) 2  ln x  ln x  1  x  1  C . #
(2 x 2  3x  3)dx
Пример 8. Найти интеграл 
.
( x  1)( x 2  2 x  5)
 Под интегралом – правильная рациональная дробь. Знаменатель имеет
следующие корни: x1 = 1 – простой действительный, x2,3  1  2i – пара простых
комплексных сопряженных. Подынтегральная дробь разлагается на
элементарные следующим образом:
2 x 2  3x  3
A
Bx  C


( x  1)( x 2  2 x  5) x  1 x 2  2 x  5
2 x 2  3x  3  A( x 2  2 x  5)  ( Bx  C )( x  1)
(III)
2
0
Полагая x = 1 и приравнивая коэффициенты при x и x слева и справа в
равенстве (III), будем иметь систему уравнений:
x  1 2  12  3  1  3  A(12  2  1  5)
x2
2 A B
x0
 3  5A  C
  4  4A
 A  1


 2 A B  B3
 3  5 A  C  C  2


4
(2 x  3x  3)dx
dx
3x  2
3
3
 ( x  1)( x 2  2 x  5)   x   x 2  2 x  5dx   ln x  1  2  x 2  2 x  5 dx 
4
2
3
2x  2
3
3 dx   ln x  1 
  ln x  1   2
dx   2
2 x  2x  5
2 x  2x  5
2
3 d ( x  2 x  5)
dx
3
dx
  2
 5 2
  ln x  1  ln x 2  2 x  5  5

2 x  2x  5
2
x  2x  5
( x  1) 2  4
3
5
x 1
 ln x  1  ln x 2  2 x  5  arctg
 C. #
2
2
2
dx
Пример 9. Найти интеграл 
.
2x  1  4 2x  1
 Под интегралом стоит иррациональная функция вида:
2x 
2
5
r1
rn


s
s
  ax  b  1  ax  b  n 
R  x, 
 ,...,
 .
 cx  d  
  cx  d 


r 1
r2 1
Здесь a = 2; b = –1; c = 0; d = 1; 1  ;
 . Сделаем подстановку
s1 2
s2 4
1
1
2 x  1  z 4 , т. к. 4 – наибольший знаменатель дробей
и
, следовательно,
2
4
z4 1
4 z 3 dz
2 4
 2 z 3 dz . Тогда
, dx 
2 x  1  z , 2 x  1  z . Отсюда x 
2
2
3
3
dx
2 z dz
z dz
z 2 dz
( z 2  1)  1
 2 x  1  4 2 x  1   z 2  z  2 z ( z  1)  2 z  1  2 z  1 dz 
z2 1
dz
z2
 2
dz  2
 2 ( z  1)dz  2 ln z  1  2(  z )  2 ln z  1  C
z 1
z 1
2
2
4
z  2 z  2 ln z  1  C  2 x  1  2 2 x  1  2 ln 4 2 x  1  1  C . #
Пример 10. Найти интеграл
dx
 1  sin x  cos x .
x
2t
1 t2
 Сделаем подстановку tg  t , тогда sin x 
, cos x 
,
2
1 t2
1 t2
2dt
.
dx 
2
1 t
2dt
dx
2dt
dt
1 t2


 2

 1  sin x  cos x 
2
2
2
2t  2
2t
1 t
2 1  t  2t  1  t
1

(1  t )(
)
1 t2 1 t2
1 t2
dt
x
 t  1  ln t  1  C  ln tg 2  1  C . #
Замечание: Если интеграл находится с помощью какой-либо
подстановки (заменой переменной), то в конце нужно обязательно вернуться к
старой переменной.
Пример 11. Вычислить несобственный интеграл или доказать его

dx
расходимость: 
.
2
01 x
 Дан несобственный интеграл I рода. Он определяется как предел
соответствующего определенного интеграла:

a
a
dx
dx


lim

lim
arctgx

lim
(
arctgxa

arctgx
0
)

.
 1  x 2 a  1  x 2 a
a
2
0
0
0
Так как предел получился конечный, то интеграл сходится. #
6
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его
0
e
расходимость:
2 x
dx .

 Дан несобственный интеграл I рода. Определим его как предел
соответствующего определенного интеграла:
0
0
1 2 x 0
1
2 x
2 x
e
dx

lim
e
dx

lim
(

e )   lim (1  e 2 a ) 


a 
a 
2
2 a
a

a
1
1
   lim e 2a       .
2 a
2
Следовательно, интеграл расходится.
Пример 13. Вычислить несобственный интеграл или доказать его

dx
расходимость: 
.
2
1

x

 Данный несобственный интеграл определяется как сумма двух
интегралов:

0

dx
dx
dx
 1  x2   1  x2   1  x2 .


0
Если сходятся оба интеграла, то сходится и данный интеграл. Если же
хотя бы один из интегралов, стоящих справа расходится, то расходится и
данный интеграл. Сходимость или расходимость данных интегралов
рассмотрена в примерах 11 и 12. #
Пример 14. Вычислить несобственный интеграл или установить его
1/ 2
dx
расходимость: 
.
x
ln
x
0
 Данный интеграл является несобственным интегралом II рода, так как
подынтегральная функция при x  0 является неограниченной, и определяется
как предел соответствующего определенного интеграла:
1/ 2

0
1/ 2
1/ 2
dx
dx
1
 lim 
 lim ln ln x  lim (ln ln  ln ln  )  ln  ln 2 
 0
x ln x  0  x ln x  0
2

 lim ln ln   ln ln 2  ln    ln ln 2  ln    .
 0
Интеграл расходится. #
Пример 15. Вычислить несобственный интеграл или установить его
1
dx
расходимость: 
.
2
0 1 x
 Данный интеграл является несобственным интегралом II рода, так как
подынтегральная функция является неограниченной в верхнем пределе, т. е. в
точке x  1 . По определению
7
1

dx
 lim
 0
1
dx

 lim arcsin x
 0
1
 lim (arcsin(1   )  arcsin 0) 
 0

.
0
1 x
1 x
0
Интеграл сходится. #
Пример 16. Вычислить несобственный интеграл или установить его
3
dx
расходимость: 
.
2
(x

1
)
0
 Подынтегральная функция является неограниченной в точке x  1 ,
которая является внутренней для промежутка интегрирования, поэтому данный
интеграл определяется как сумма двух несобственных интегралов II рода, а
именно:
3
1
3
dx
dx
dx


 ( x  1) 2  ( x  1) 2  ( x  1) 2 .
0
0
1
Если сходятся оба интеграла, стоящие справа, то сходится и интеграл
слева. Если же хотя бы один из интегралов, стоящих справа расходится, то
расходится и данный интеграл. Сходимость или расходимость интегралов,
аналогичных данным интегралам, рассмотрена в примерах 14 и 15. #
Пример 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
x2
1
и y .
y
2
1  x2
1
 Кривая y 
(локон Аньези) расположена выше оси Ox , т.к. y  0
1  x2
для всех х. Кривая симметрична относительно оси Oy : х входит в уравнение в
четной степени. Наибольшее значение у будет иметь при x  0 : y  1; y  0 при
x   .
x2
y
– парабола с вершиной в точке (0, 0) и осью симметрии – осью
2
Oy . Найдем точки пересечения этих кривых, для чего решим систему
уравнений:
1

 y  1  x 2
x2
1

 x2  x4  2 .

2 
2
2 1 x
 y x

2
Сделаем замену переменной x 2  t , получим уравнение:
t 2  t  2  0  t1  2, t 2  1 
0
2
2
x 2  1  x  1
, ( x 2  2)
Делаем чертеж фигуры
(рис.1):
Фигура
симметрична
относительно Oy , поэтому
y
1 A
B
-1
0
Рис. 1
C
1
2
8
x
можно найти площадь S1, а затем ее удвоить. Площадь AOB найдем как
разность площадей двух криволинейных трапеций OABC и OBC. Площадь
криволинейной трапеции, заключенной между осью Ox , кривой y  f (x) и
прямыми x = a и y = b находится по формуле:
b
S   f ( x)dx .
a
В нашем случае
1 2
1

1
x
x 3 1 
1

S  2( 
dx   dx)  2 arctgx 
 2(arctg1  arctg 0  ) 
2

2  3 0
6
0
01 x
0 2


1
1  1
 )  .#
4 6
2 3
Пример 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
  2  cos .
 Строим кривую   2  cos . Заметим, что  может меняться от - до
. Так как cos – функция четная ( cos( )  cos ), то кривая будет
симметрична относительно полярной оси. Составим таблицу значений  в
зависимости от , где 0    :


2
5
3






0

3
6
6
3
4
4
2
1
3
2
3
3
3

3
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 2(

По этой таблице строим кривую (рис.2).

3
Рис. 2
S  2

Площадь
криволинейного
сектора,
ограниченного кривой    ( ) и лучами
  1 и    2 , находится по формуле:
1 2 2
  d .
2 1
Так
как
фигура
симметрична
относительно полярной оси, то площадь ее
будем искать следующим образом:
S



1
2
2
(
2

cos

)
d


(
4

4
cos


cos

)
d


4
d


4



 cosd 
20
0
0
0




1  cos 2
1  1
d  4  4 sin     sin 2  4  4(sin   sin 0) 
2
2 0 4
0
0
0
0

1
1
1
9
   (sin 2  sin 0)  4     . #
2
4
2
2
Пример 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
9
x  2 cos 3 t , y  sin 3 t .
 Кривая является астроидой и имеет вид (рис.3):
Из чертежа видно, что фигура
y
симметрична относительно осей Ox и Oy ,
A 1
поэтому можно найти сначала 1/4 площади, а
именно SAOB, а потом найденную площадь
B
D
0
умножить на 3. Заметим, что кривая задана
-2
2
x
параметрически в декартовой системе
C -1
координат. Площадь фигуры в этом случае
Рис. 3
вычисляется по формуле:
b
S   ydx .
a
Перейдем к переменной t:

S   y (t ) x(t )dt ,

где a  x( ); b  x(  ) .
В данной задаче a = 0; b = 2; x  2 cos 3 t , y  sin 3 t ; x(t )  2  3 cos 2 t ( sin t ) .
Найдем  и .
Если x  0  2 cos3 t  0  t 

 

.
2
Если x  2  2 cos 3 t  2  cos 3 t  1  cos t  1  t  0    0 .
2
0
SOAB
0
6 0 2
  sin t  2  3 cos t ( sin t )dt  6  sin t cos tdt    sin t sin 2 2tdt 
4 /2
 /2
 /2
3
3
4
2
Âîñïîëüçîâ àëèñü
3 0
3  /2 2
2
 ôîðìóëîé

 (1  cos2t ) sin 2tdt  4  sin 2tdt 
2  2  /2
0
1 2
sin 2t  sin 2 t cos2 t
4
3 /2 2
3 /2
3 /2 2
  sin 2t cos2t  2dt   (1  cos4t )dt   sin 2td (sin 2t ) 
8 0
8 0
8 0
3 /2
3  /2
3 sin 3 2t
  dt 
 cos4t  4dt  8  3
8 0
32 0
 /2
0
 /2
3  /2 3
3
 t
 sin 4t

.
8 0 32
16
0
3
3
  .#
16
4
2
Пример 20. Вычислить длину дуги кривой y  x 3 от точки (0; 0) до
точки (4; 8).
 Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат,
вычисляется по формуле:
Тогда площадь фигуры ABCD равна S  4 
10
b
y
l   1  ( y ) 2 dx .
a
8
Разрешим уравнение кривой относительно y:
3
9
y  x 3 / 2  y  x1/ 2  ( y) 2  x 
2
4
x
0
4
9
4  9x
2
.
1  ( y)  1  x 
Рис.4
4
4
4
4  9x
14
1 4
1 (4  9 x) 3 / 2 4
1/ 2
l
dx   4  9 xdx 

 (4  9 x)  9dx  18 
3
4
2
2

9
0
0
0
0
2
1
1
 ((4  9  4) 3 / 2  (4  9  0) 3 / 2 )  (40 40  ( 4 ) 3 ) 
27
27
1
8
 (80 10  8)  (10 10  1) . #
27
27
Пример 21. Вычислить длину дуги развертки окружности
 x  a(cost  t sin t )
от t1  0 до t 2   .

 y  a(sin t  t cost )
 Строим кривую по точкам, для чего составим таблицу значений t, x, y.

4
t 0

6
x a
3 
a

2 12
y 0
a
 
 
1  3

2 12
 
   
 
2 
a
1
2
4
a

3
2 
1
2
4
1  3
a 
2 6
a

2
a
3 

2 6
2

3


1  3
a  
2 3
2
a
a
3

4

 
3 

2 3

a
2
3
1
2
4
a
2 3
1
2
4
 
a 
3 5

2 12
  
a

5

6
1 5 3

2 12


-a
a

Длина дуги кривой, заданной параметрически в декартовой системе
 x  x(t )
координат уравнениями 
, вычисляется по формуле:
 y  y(t )

l   ( xt ) 2  ( yt ) 2 dt .

xt  a( sin t  sin t  t cos t )  at cos t ,
yt  a(cos t  cos t  t sin t )  at sin t ,
( xt ) 2  ( yt ) 2  a 2t 2 cos 2 t  a 2t 2 sin 2 t  a 2t 2 .

l
0
Рис.5
11

t2
a t dt   atdt  a
2
0
2 2
a 2

.#
2
0


Пример 22. Вычислить длину кривой   a(1  sin  ) от 1   до
2
2 



.
2
 Строим кривую по точкам, для чего составим таблицу значений:
–

2
0
–

3

3

a1 

2


–

4
–

2

a1 

2



6
0

6

4

3

2
a
2
а
3
a
2

2

a1 

2



3

a1 

2


2а
Длина дуги кривой, заданной в полярной системе
координат
уравнением
   ( ), 1     2 ,
вычисляется по формуле:
l
2
2
2
   (   ) d .
1
В данной задаче   a(1  sin  )     a cos  .
 2  (  ) 2  a 2 (1  sin  ) 2  a 2 cos 2  
Рис.6
 a 2 (1  2 sin   sin 2   cos 2  ) 
 a 2 (2  2 sin  )  2a 2 (1  sin  )  2a 2 (sin 2
 2a 2 (sin
l
 /2

 2a (sin
2
 / 2





2
 cos2
 cos ) 2 .
2
2
 /2



 2 sin cos ) 
2
2
2


 cos ) d  a 2  2 sin(  ) d .
2
2
2 4
 / 2
2
Так как пределы интегрирования 
 
,
, то 

 



 

2 2
2
2
2
2
  
  
 
 
 
    0     0  sin(  )  1  sin(  )  sin(  ) .
4 2 4
2 4 2
2 4
2 4
2 4
Тогда
 /2
 /2
 
  d
   /2
a 2  2 sin(  ) d  2  2a  sin(  )
 4a cos(  )

2
4
2
4
2
2
4


/
2
 / 2
 / 2





 4a(cos(  )  cos(  ))  4a(0  cos0)  4a .
4 4
4 4
Пример 23. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды y  sin x и отрезком 0  x   оси
Oх, вокруг а) оси Oх и б) оси Oy.
12
 а) Объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox ,
вычисляется по формуле:
b
VOx    y 2 dx .
a
Следовательно,

VOx    sin xdx 
2
0
 (1  cos2 x)dx 
20
1
 (  dx   cos2 x  2dx) 
2 0
20





Рис.7
1

 ( x  sin 2 x ) 
2 0 2
2
0
б) Объем тела, образованного вращением фигуры, вокруг оси Oy,
вычисляется по формуле:

b
VOy  2  xydx
a
Следовательно,

VOy  2  x sin xdx 
Рис.8
0
Èíòåãðàë âîçüìåì

ïî ÷àñòÿì :

 2 ( x cos x 
ux
du  dx
dv  sin xdx v   cos x
0


0
0
  cos xdx)  2 ( cos  sin x )  2 ( (1))  2 2 . #
13