ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ.
ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ
На практике часто приходится иметь дело с переменными величинами,
значения которых зависят от значений других переменных, т.е., необходимо
рассматривать функции двух или нескольких переменных. Например, в экономических задачах используются производственная функция Кобба-Дугласа
K ( x, y)  Ax y , где х, у – затраты труда и капитала соответственно, функция полезности U ( x1, x2 ,..., xn ) , которая задаёт полезность для потребителя
от приобретения х1 единиц 1-го блага, х2 единиц 2-го блага и т.д.
Определение. Переменная величина z называется функцией двух независимых переменных x и y: z = f (x, y) (или функцией точки M  x, y  : z = f
(M)), заданной на множестве D, если по некоторому закону каждой паре
 x, y   D (каждой точке M  D ) соответствует определенное значение z.
Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде z = f (x, y)
или z = f (M), или z = z (x, y). Множество D называется областью определения
функции f  x, y  и обозначается D ( f ). Онa находится из двух условий:
1)
В множество D включаются все точки плоскости OXY, где вы-
ражение f  x, y  определено, т. е. имеет смысл.
2)
Если функция f  x, y  получена для некоторой физической или
иной задачи, то учитывается смысл переменных x и y .
Пример. Найти область определения функции
z

x y

ln x 2  y 2  1
.
Изобразить область графически.
Решение. Выражение, определяющее функцию, имеет смысл при
двух условиях:
а) аргумент логарифма должен быть положительным;
б) знаменатель дроби не равен нулю.
Таким образом, область определения функции представляет собой решение системы неравенств:
 x 2  y 2  1  0,
 x 2  y 2  1,
 x 2  y 2  1,



2
2
2
2
2
2
ln( x  y  1)  0.  x  y  1  1.  x  y  2 .
Уравнение x 2  y 2  1 определяет окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Решением неравенства x 2  y 2  1 является множество точек  x, y  , расположенных вне круга радиуса 1. Из этого множества
нужно исключить точки окружности с
центром в начале координат и радиуса
2, так как x 2  y 2  2.
Область определения функции изображена на рис. 1.
Распространим определение функции на случай произвольного количества
n переменных.
Определение. Пусть Е – множества
Рис. 1
точек n-мерного пространства Еn. Говорят, что переменная W является функцией n переменных ( x1, x2 ,..., xn ) , заданной на множестве Е, если её значения в силу некоторого правила соответствуют точкам множества Е. Обозначают W  f ( x1, x2 ,..., xn ) .
Функцию f ( x1, x2 ,..., xn ) называют также функцией точки n-мерного
пространства и обозначают f ( P ) , подразумевая под Р точку с координатами
( x1, x2 ,..., xn ) .
Рассмотрим функцию двух переменных f  x, y  определённую в области
D. Каждой точке P( x, y )  D соответствует определённое значение функции
z  f ( P) . Принимает это значение z за аппликату некоторой точки М в системе
координат OXYZ. Абсциссу и ординату для этой точки возьмём такими же, как и
для точки Р (Р – проекция точки М на плоскость OXY). Таким образом, каждой
точке P( x, y )  D соответствует вполне определённая точка М в пространстве, а
всей области D некоторое множество точек М, образующее вообще говоря, поверхность.
Эта поверхность называется графиком функции z  f ( P) , а сама функция
уравнением этой поверхности.
При изучении поверхностей второго порядка пользуются методом сечений, который заключается в том, что определение вида поверхности по её уравнению производится путём исследования кривых, образованных при пересечении этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Этот же метод применим при изучении любой функции 2-х переменных
z  f  x, y  , y  y0  z  f ( x, y0 ) - функция одной переменной х.
Но можно изучать функцию z  f  x, y  посредством того же приёма
сведения функции 2-х переменных к функции, придавая постоянное значение не одной из независимых переменных, а самой функции. Положим
z  z0 , тогда уравнение f  x, y   z0 даёт зависимость между переменными х
и у, т.е. определяет функцию одной переменной, при которой заданная функция z сохраняет постоянное значение z0. Геометрически придание постоянного значения z0 означает пересечение поверхности z  f  x, y  плоскостью z=z0,
параллельной плоскости OXY. На плоскости OXY уравнение f  x, y   z0 - это
уравнение проекции l линии пересечения L поверхности f  x, y  плоскостью
z  z0 . При перемещении точки с координатами (х,у) вдоль линии l функция
сохраняет постоянное значение равное z0.
Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y)
называется множество точек плоскости из области определения функции таких, что во всех точках этого множества значение функции одно и то же:
f  x, y   C , C  const. Число C называется уровнем функции.
Уравнение совокупности линий уровня функции f  x, y  имеет вид:
f  x, y   C , где C — постоянная.
Если нужно выделить определенную линию уровня, проходящую через
данную точку М0 (х0, y0), то значение постоянной С определяем из условия:
точка М0 лежит на линии и, следовательно, её координаты удовлетворяют
уравнению линии: f  x, y   C. Таким образом, уравнение такой линии уровня имеет вид: f  x, y   f  x0 , y0 .
В экономических приложениях линии уровня называют кривыми безразличия.
Определение. Совокупность линий уровня, соответствующих различным значениям z, называется сетью линий уровня.
Эта сеть, при условии, что она проведена для мало отличающихся друг
от друга значений z, довольно наглядно характеризует поведение функции.
Пример. Записать уравнение семейства линий уровня функции
z  x 2 4  y 2 . Выделить линию уровня, проходящую через точку М0 (2, –1) и
изобразить ее графически.
Решение. Данная функция определена на всей плоскости, т. е.
D z 
2
. Уравнение семейства линий уровня имеет вид:
x2
(2)
 y2  C .
4
При С < 0 множество решений уравнений пусто, при С = 0 уравнение
определяет точку (0, 0) и при С > 0 уравнение определяет эллипс. Выделим
линию уровня, проходящую через точку М0 (2, –1). Для этого в уравнение (2)
подставим координаты точки М0:
22
2
  1  C  C  2.
4
Следовательно, при С = 2 линия уровня проходит через данную точку и
её уравнение
x2 y 2

 2.
4
1
Запишем уравнение эллипса в каноническом виде и построим его:
x2 y 2

 1.
8
2
Центр эллипса в начале координат,
полуось по оси Ox a  8  2 2,
полуось по оси Oy b  2 (рис. 2).
Для функции трёх переменных аналогично вводится понятие
Рис. 2
поверхности уровня.
Определение. Поверхность
z  ( x, y ) такая, что функция U  f ( x, y, ( x, y )) равна постоянной величине С,
называется поверхностью уровня функции U.
Определение. Число А называют пределом функции f ( P ) при P  P0 ,
если для любого   0 найдётся   0 такое, что F ( P)  A   , как только расстояние между Р и Р0 будет меньше  , т.е. PP0   . Обозначают lim f ( P)  A .
P  P0
Определение. Функция f ( P ) , определённая в некоторой точке Р0, называется непрерывной в этой точке, если lim f ( P)  f ( P0 ) .
P P0
Определение. Функцию, непрерывную в каждой точке некоторой области, называют непрерывной в этой области.
Определение. Если f ( P ) не является непрерывной в точке Р0, принадлежащей области определения функции, то говорят, что она имеет разрыв в
этой точке, а сама точка Р0 называется точкой разрыва функции.
К числу точек разрыва условимся относить также все точки, не принадлежащие области её задания, но являющиеся граничными точками этой
области.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ,
ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Пусть функция z = f (x, y) определена в области D 
2
и М0 (х0, y0)  D.
Дадим аргументу x произвольное приращение ∆x и аргументу y — приращение ∆y так, чтобы точка M ( x0  x, y0  y )  D .
Определение. Полным приращением функции z = f (x, y) в точке М0 (х0,
y0) называется разность z  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) .
Определение. Частными приращениями функции f (x, y) по переменным x и y называют соответственно:
 x z  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ),
y  y0  const ,
 y z  f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 ), x  x0  const .
Определение. Частными производными функции z (x, y) в точке (х0, y0)
по x и по y называются пределы вида:
yz
z
 lim
,
y y0 y
z
 z
 lim x ,
x x0 x
если они существуют и конечны.
Другие обозначения частных производных функции z  f  x, y  :
zx , zy или f x, f y , или
f f
, .
x y
Если необходимо, в скобках указывается точка (х0, y0), в которой вычислены частные производные:
z
или zx ( x0 , y0 ) и т. д.
x ( x0 , y0 )
Из определения частных производных следует правило их нахождения:
частная производная по x есть обыкновенная производная по x функции f (x,
y), вычисленная при условии, что y = const. При этом используются обычные
правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.
Аналогично, если u = u ( x, y, z), то ux вычисляют при y, z = const, uy —
при x, z = const, uz при x, y = const.
Пример. Найти частные производные первого порядка от функции по
каждому ее аргументу:
a) z  x 4  xy 
x
;
y2
á ) z  sin 2 x  e x y ;
â) u 
y2  2x
.
cos3z
Решение.
x
, zx  ? zy  ?
y2
а) z  x 4  xy 
Функцию z запишем в виде, удобном для дифференцирования:
zx
4
1
x2
1
y2
 xy
2

9 1
x2 y2
 xy 2 .
Дифференцируем по х, считая y = const:
9 1
 (x 2 y 2
zx

1
y2
 xy
2
9 1
)x  ( x 2 y 2 )x
2
1
9
y 2 ( x 2 )x
2
9
1
2
x ( y 2 )y
 ( xy )x 
 y 2 ( x)x 
7
9 2
9 7
1
x  y 2 
x y  2.
2
2
y
Дифференцируем по y (x = const):
zy
=
9 1
 (x 2 y 2
9
x2
 xy
2
9 1
)y  ( x 2 y 2 )y
 ( xy )y 
 x( y 2 )y 
1
1 2
1 x9 2 x
3
y  x(2) y 
 3 .
2
2 y
y
б) z  sin 2 x  e x  y .
Считая y  const . получим:
zx  (sin 2 x  e x y )x  (sin 2 x)x e x y  sin 2 x(e x y )x  2sin x cos xe x  y 
 sin 2 xe x y ( x  y )x  2sin x cos x  e x y  sin 2 xe x  y  1  sin 2 xe x  y 
 sin 2 x  e x y .
При вычислении zy можно использовать правило (c  u )  c  u , так как
множитель sin 2 x — постоянная величина при x= const:
zy  (sin 2 x  e x y )y  sin 2 x(e x y )y  sin 2 x  e x y ( x  y)y  sin 2 x  e x y (1) 
  sin 2 x  e x y .
в) u 
y2  2x
, ux  ?
cos3z
uy  ?
uz  ?
При дифференцировании по x считаем y, z = const, следовательно, у
 u  u 
дроби знаменатель постоянный и используем правило    :
c c
1
 2
 ( y  2 x) 2
ux  
 cos3 z





x
1 
 2
1

 ( y  2 x) 2 
1 2


( y  2 x) 2 ( y 2  2 x)x

x 2



cos3 z
cos3 z
1

1 2
( y  2 x) 2 ( 2)
1
2

.
2
cos3 z
cos3 z y  2 x
Аналогично при дифференцировании по y считаем x, z = const:
 2
 y  2x
uy  
 cos3z




1
2
1 
 2
1


 y  2x 2 

1
2
2 y2  2x 


y

2
x


y 2
y


 
cos3
z
cos3
z


y



 

1

 2
y  2x 2 2 y
y
2

.
2
cos3 z
cos3 z y  2 x


Дифференцируя функцию по z, считаем x, y = const, следовательно,
числитель дроби постоянный и можно использовать правило :
cv
 c 


. Имеем:
 
v2
v
 2
 y  2x
uz  
 cos3 z





1
2
1
1

2
2

2
y  2 x  cos3z  z
y  2 x 2   sin 3z   3



 
2
2

 cos3z 
 cos3z 

z
3 y 2  2 x sin 3 z
 cos3z 2




.
С физической точки зрения частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных
осей.
Геометрический смысл частной производной z x состоит в том, что она
равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении
поверхности z  f  x, y  плоскостью у=const, а производная z y - плоскостью
х=const.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Теорема (о полном приращении функции 2-х переменных). Если
функция z = f (x, y) в окрестности некоторой точки (х,у) имеет частные производные zx ( x, y) и z y ( x, y ) , которые непрерывны в этой точке (х,у), то полное приращение функции z можно представить в виде:
z  zx ( x, y)x  zy ( x, y) y  x  y,
(1)
где  и   0, когда x и y  0.
Определение. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в некоторой точке Р(х,у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде:
z  Аx  Вy  x  y,
где  и   0, когда x и y  0. А и В некоторые постоянные.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции 2-х
переменных). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в некоторой точке,
то она имеет в этой точке частные производные по х и по у, причём
А  zx ( x, y), B  zy ( x, y ) .
Доказательство: Функция z = f (x, y) дифференцируема, тогда по определению z  Аx  Вy  x  y, положим y  0 и получим частное приращение по переменной х: z  Аx  x, по определению частной производной
z
z
 z
 lim x  A  lim   A. Аналогично
 В.
x0
x x0 x
y
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции 2-х
переменных). Если функция z = f (x, y) в окрестности некоторой точки (х,у)
имеет частные производные zx ( x, y) и z y ( x, y ) , которые непрерывны в этой
точке (х,у), то функция z = f (x, y) дифференцируема в этой точке.
Доказательство: Поскольку выполнены условия теоремы о полном приращении функции, то z  zx ( x, y)x  zy ( x, y)y  x  y, а по определению
это означает, что функция z = f (x, y) дифференцируема в этой точке.
Определение. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в некоторой области, если она дифференцируема в каждой её точке.
Определение. Главная часть приращения функции z = f (x, y) линейная
относительно приращений независимых переменных называется полным
дифференциалом функции:
dz  zx ( x, y)x  zy ( x, y)y,
а так как x  dx, y  dy, то
dz  zx ( x, y)dx  zy ( x, y )dy,
при этом выражения d x z  zx ( x, y)dx и d y z  zy ( x, y )dy называются частными дифференциалами.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Пусть z = f (x, y), где x  x(t ), y  y (t ), причём x(t ), y (t ) дифференцируемы по переменной t, а z = f (x, y)также дифференцируемая функция. Тогда
z  f ( x, y )  f ( x(t ), y (t ))  F (t ) - есть сложная функция переменной t, полная
производная которой по переменной t находится по формуле:
dz
dx
dy
 z x
 z y
dt
dt
dt
(2)
Рассмотрим функцию z = f (x, y), где y  y ( x). Тогда z  f ( x, y ) 
 f ( x, y ( x))  F ( x) - есть сложная функция переменной х. Этот случай сводится
к предыдущему, где роль переменной t играет х, и по формуле (2) получим:
dz
dy
 z x  z y
dx
dx
(3)
Эта производная называется полной производной функции z , как сложной
функции одной переменной х, в отличие от z x , которая является частной
производной по переменной х функции двух переменных z = f (x, y).
Пусть z = f (x, y), где x  x(u, v), y  y (u, v), тогда z есть сложная функция переменных u и v. Частные производные этой функции по переменным u
и v определяются формулами:
zu  zx xu  zy yu , zv  zx xv  zy yv .
(4)
Теорема (инвариантность формы полного дифференциала). Формула для полного дифференциала функции 2-х переменных z = f (x, y)
dz  zx ( x, y)dx  zy ( x, y )dy сохраняет свой вид независимо от того являются ли х и у независимыми переменными или промежуточными аргументами, т.е. функциями.
Доказательство: Пусть z = f (x, y), где x  x(u, v), y  y (u, v), и все функции дифференцируемы по своим аргументам.
z  f ( x, y )  f ( x(u, v), y (u, v))  F (u, v) . Тогда по определению полного дифферен-
циала, и используя формулу (4), получим:
dz  zu du  zv dv  ( z x xu  z y yu )du  ( z x xv  z y yv )dv 
zx ( xu du  xv dv)  zy ( yu du  yv dv)  z x dx  z y dy.
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Определение. Часть пространства (всё пространство), каждой точке Р
которого соответствует значение некоторой скалярной величины u, называется скалярным полем.
Примерами скалярных полей являются поля распределения температуры, плотности, электрического потенциала.
Будем предполагать, что скалярная величина U не зависит от времени,
а зависит только от положения точки Р, т.е., u=u(P). Эта функция называется
функцией скалярного поля. Если в пространстве ввести систему координат
OXYZ, то точка Р в этой системе будет иметь координаты x, y, z, и скалярная
величина u будет функцией координат, т.е., u=F(P)=F(x,y,z). И обратно, каждая функция 3-х переменных u=F(x,y,z) задаёт скалярное поле.
Геометрически скалярное поле часто изображается с помощью поверхностей уровня.
Определение. Поверхностью уровня (эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется множество точек пространства, в которых
функция поля u=F(x,y,z) имеет одно и то же значение С.
Уравнение поверхности уровня имеет вид: F(x,y,z)=С. Придавая С различные значения, получим семейство линий уровня.
Наряду со скалярными полями в пространстве различают скалярные
поля на плоскости.
Определение. Плоское скалярное поле определяется как часть плоскости (или вся плоскость), каждой точке которой соответствует численное значение скалярной величины z. Функция плоского скалярного поля зависит от
двух переменных z=f(x,y).
Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня. Линии уровня определяются как множество точек плоскости, в
которых функция скалярного поля сохраняет постоянное значение С. Уравнения линий уровня имеют вид: f(x,y)=С.
ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Пусть D некоторая область в пространстве
3
. Если в ней задана функ-
ция u = u (x, y, z), то говорят, что в области D задано скалярное поле, а функция u = u (x, y, z) называется функцией скалярного поля. Например, u — температура в точках M  D (поле температур), или u — давление жидкости или
газа в точках сосуда D (поле давлений). При изучении скалярного поля важно
иметь информацию о скорости изменения величины поля в том или ином
направлении. Такую информацию дает производная по направлению. Наряду
с ней рассматривают в каждой точке M 0  D вектор с координатами
ux  M 0  , uy  M 0  , uz  M 0  , называемый градиентом функции u  u  M  в
точке M 0 . Вектор градиента обозначается grad u  M 0  :
grad u  M 0   ux  M 0  i  uy  M 0  j  uz  M 0  k ,
(10)
где i , j , k — единичные векторы декартова прямоугольного базиса.
Вектор grad u (M0) указывает направление, в котором функция u(M) в
точке M0 возрастает с максимальной скоростью. Максимальная величина
скорости равна:
grad u  M 0  
ux  M 0   uy  M 0 
2
2


 uz  M 0  .
2
(11)
Пример. Найти градиент скалярного поля u  y 2 z  3z 2  4 xyz в точке
M 0  3, 1, 1 , модуль градиента и объяснить результат с физической точки зре-
ния.
Решение. Найдем частные производные от функции u  x, y, z  и вычислим их в точке M 0 :






ux  y 2 z  3z 2  4 xyz
uy  y 2 z  3z 2  4 xyz
uz  y 2 z  3z 2  4 xyz
x
y
z
 4 yz,
ux  M 0    4 yz 
 2 yz  4 xz ,
 3,1,1
 4,
uy  M 0    2 yz  4 xz 
 y 2  6 z  4 xy,

 3,1,1
uz  M 0   y 2  6 z  4 xy
 10,

3,1,1
 5.
Применяя формулы (10), (11), получаем:
grad u  M 0   4 i  10 j  5k ,
grad u  M 0  
 42   102   52 
141 .
Вывод. Заданная функция u  M  в точке M 0 возрастает с максимальной скоростью, равной 141 , в направлении вектора grad u  M 0  
  4,  10,  5.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Теорема (о плоскости всех касательных). Все касательные, проведённые в точке М0 к линиям, лежащим на поверхности уровня, расположены в
одной плоскости, перпендикулярной к вектору grad u  M 0  , при условии, что
grad u  M 0   0.
Пусть поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0, левая часть которого
является функцией, дифференцируемой в некоторой области. Эта функция
U=F(x,y,z) определяет скалярное поле, для которого данная поверхность является одной их поверхностей уровня.
Пусть в точке М0(х0,у0,z0) grad u  M 0   0. Тогда согласно предыдущей
теореме все касательные, проведённые через точку М0 к линиям, лежащим на
поверхности и проходящим через точку М0, расположены в одной плоскости,
перпендикулярной к grad u  M 0 . Эта плоскость называется касательной
плоскостью к поверхности F(x,y,z)=0 в точке М0.
Найдём уравнение этой плоскости. Так как она проходит через точку
М0, то её уравнение имеет вид:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0.
Вектор нормали N   A, B, C  перпендикулярен плоскости, а значит в качестве
вектора нормали можно использовать вектор grad u  M 0  :
N  gradu(M 0 )  ( Fx(M 0 ), Fy (M 0 ), Fz(M 0 )).
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности
F(x,y,z)=0 в точке M0 (x0, y0, z0) имеет вид:
Fx  M 0  x  x0   Fy  M 0  y  y0   Fz  M 0  z  z0   0 .
(12)
Определение. Прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно к
касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в этой точке.
Вектор gradu  M 0  можно рассматривать как направляющий вектор
нормали, и канонические уравнения нормали будут иметь вид:
x  x0
y  y0
z  z0


.
Fx  M 0  Fy  M 0  Fz  M 0 
(13)
Если поверхность задана явно уравнением z = f (x, y), то уравнения касательной плоскости и нормали будут иметь вид:
f x  M 0  x  x0   f y  M 0  y  y0    z  z0   0,
x  x0
y  y0
z  z0


.
f x  M 0  f y  M 0 
1
(14)
(15)
Из формулы (14) получим z  z0  f x  M 0  x  x0   f y  M 0  y  y0 .
Сравнивая с формулой для полного дифференциала функции 2-х переменных
dz  zx ( x, y)dx  zy ( x, y )dy, делаем вывод, что dz  z  z0 . Таким обра-
зом, геометрический смысл полного дифференциала функции 2-х переменных состоит в том что он равен приращению аппликаты касательной плоскости.
Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к по-
 1 1 1 
верхности 3x 2  2 y 2  z 2  1 в точке M 0 
,
,
.
 6 6 6
Решение. Поверхность задана неявно уравнением вида F  x, y, z   0 с
функцией F  x, y, z   3x 2  2 y 2  z 2  1.
Найдем частные производные функции F(x, y, z) и вычислим их значения в точке M0:






Fx  3x 2  2 y 2  z 2  1
Fy  3 x 2  2 y 2  z 2  1
Fz  3x 2  2 y 2  z 2  1
x
y
z
 6x ,
Fx  M 0   6
1
 6;
6
 4y,
Fy  M 0   4
1
2 6

;
3
6
 2z ,
Fz  M 0   2
1
6

.
3
6
Используя (12), получаем уравнение касательной плоскости в виде:
1  2 6
1 
6
1 

6x 

y


z



 3 
  0,
3
6
6
6






что после упрощения дает:
3 x  2 y  z  6  0.
Уравнение нормали к поверхности, согласно (13), имеет вид:
x
1
1
1
y
z
6 
6 
6.
6
2 6
6
3
3
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Определение. Частными производными второго порядка функции нескольких переменных называются частные производные от частных произ-
водных первого порядка. Обозначается, например, для функции двух переменных:
2 z
  z 
 2 z   z 
zxx  ( zx )x или 2    ; zxy  ( zx )y или
  ;
xy y  x 
x  x 
x
2 z
  z 
 2 z   z 
   ; zyy  ( zy )y или 2    .
zyx  ( zy )x или
yx x  y 
y  y 
y
Определение. Частной производной n-го порядка функции нескольких
переменных называется частная производная первого порядка от частной
производной (n-1)-го порядка.
Определение. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной
частной производной.
Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии, что они являются непрерывными.
Пример. Найти частные производные

zxx , zxy , zyx , zyy

z  x 2  y 2 ln 2 x .
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
zx  (( x 2  y 2 )ln 2 x)x  ( x 2  y 2 )x ln 2 x  ( x 2  y 2 )(ln 2 x)x 
 2 x ln 2 x  ( x 2  y 2 )
2
y2
 2 x ln 2 x  x 
 2 x ln 2 x  x  y 2 x 1;
2x
x
zy  (( x2  y 2 )ln 2 x)x  ln 2 x ( x2  y 2 )y  ln 2 x 2 y  2 y ln 2 x.
Частные производные второго порядка:
zxx  ( zx )x  (2 x ln 2 x  x  y 2 x 1 )x  (2 x)x ln 2 x  2 x(ln 2 x)x   x  x 
( y 2 x 1 )x  2ln 2 x  2 x
2
y2
 1  y 2 (1 x 2 )  2ln 2 x  3  2 ;
2x
x
функции
zxy  ( zx )y  (2 x ln 2 x  x  y 2 x 1)y  (2 x ln 2 x)y  ( x)y  ( y 2 x 1)y  2 yx 1 
zyx  ( zy )x  (2 y ln 2 x)x  2 y (ln 2 x)x  2 y
2y
;
x
2 2y

;
2x x
zyy  ( zy )y  (2 y ln 2 x)y  2ln 2 x( y)y  2ln 2 x.
Действительно, смешанные частные производные zxy и zyx оказались
равными друг другу при x  0 .
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим точку X 0 ( x10 , x20 ,..., xn0 ), где X 0  Rn .
Определение.   окрестностью точки X 0 называется множество точек X , для которых расстояние от точки X 0 меньше , т.е. X 0 X  . Обозначается U   X 0  .
Определение.   окрестностью точки X 0 называется   окрестность

0
точки X 0 , из которой удалена точка X 0 . Обозначается U   X  .
Определение. Точка X 0 называется точкой максимума (минимума)
функции u  X  , если существует такая   окрестностью точки X 0 , что для

всех X  U   X 0  выполняется u  X   u  X 0 
u  X   u  X  .
0
Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция u(X) имеет
экстремум в точке Х0, и в этой точке существуют все частные производные
u
X 0  (i  1, 2,..., n) , то они равны нулю.

xi
Доказательство:
Пусть Х0 – точка максимума, тогда по определению для всех точек

X  U   X 0  u  X   u  X 0  . Рассмотрим точку X  ( x10  x, x20 ,..., xn0 ) U  , тогда
u  X    u  X 0  - определение экстремума функции одной переменной х1, а его
необходимое условие
u
X 0   0. Аналогично доказывается, что все

x1
остальные частные производные равны нулю.
Определение. Точки, в которых все частные производные 1-го порядка
функции u(X) обращаются в нуль, называются стационарными точками.
Обращение в нуль частных производных не достаточное условие, оно
позволяет только выявить точки, подозрительные на экстремум, для этого
нужно найти решение системы уравнений:
u
u
u
 0,
 0, ...,
 0.
x1
x2
xn
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Сформулируем необходимое и достаточное условия экстремума для
функции двух переменных. Пусть функция z  Z  x, y  определена в некоторой области D и M 0  x0 , y0  — внутренняя точка области.
Необходимое условие экстремума дает следующая теорема.
Теорема. Пусть
 x0 , y0 
— точка экстремума дифференцируемой
функции z  Z  x, y  . Тогда частные производные
Z x  x0 , y0   0 и Z y  x0 , y0   0.
(16)
Другими словами, grad Z  M 0   0 .
Экстремум функции возможен не только в её стационарных точках, но
и в таких точках, в которых grad Z не существует, т. е. не существует хотя
бы одна из частных производных Z x или Z y . Такие точки вместе со стационарными называются критическими точками функции.
Не любая критическая точка функции является точкой экстремума.
Следующая теорема устанавливает достаточные условия экстремума функции в стационарной точке.
Теорема. Пусть M 0  x0 , y0  — стационарная точка функции Z  x, y  ,
т. е. Z x  M 0   0 и Z y  M 0   0 , и в некоторой окрестности этой точки все
частные производные второго порядка функции Z  x, y  непрерывны.
Обозначим:
  M 0  , B  Z xy
  M 0  , C  Z yy  M 0  ,   M 0  
A  Z xx
A B
 AC  B 2 .
B C
(17)
Тогда:
1) если   M 0   0, то в точке M 0 функция имеет экстремум: минимум,
если A  0 , и максимум, если A  0 ;
2) если   M 0   0, то в точке M 0 функция не имеет экстремума;
3) если   M 0   0, то вопрос о наличии экстремума требует дополнительного исследования (назовем случай   0 неопределенным).
Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум:
1) найти область определения функции;
2) определить критические точки функции в ее области определения, т.
е. точки, в которых частные производные Z x и Z y равны нулю или не
существуют;
3) определить частные производные второго порядка;
4) проверить выполнение достаточных условий экстремума (17) для
каждой стационарной точки;
5) вычислить значения функции в точках экстремума.
Пример. Исследовать на экстремум функцию z  2 xy  x 2 y  xy 2 .
Решение. Исследование функции Z  x, y  на экстремум проводим согласно вышеуказанному алгоритму.
1. Область определения функции z  2 xy  x 2 y  xy 2 — вся плоскость
OXY.



z   2 xy  x y  xy 
2. zx  2 xy  x 2 y  xy 2
y
2
x
2
y
 2 y  2 xy  y 2 ;
 2 x  x 2  2 xy .
Обе частные производные определены для любых  x, y  . Следовательно, точками, подозрительными на экстремум, могут быть только стационар zx  0,
ные точки. Определим их из условий 
 zy  0.
 zx  2 y  2 xy  y 2  0,

2
 zy  2 x  x  2 xy  0.
 y (2  2 x  y )  0,

 x(2  x  2 y )  0.
Решив систему уравнений, получим координаты стационарных точек:
2 2
M0 (0, 0); М1 (0, 2); М2 (2, 0); М3 ( , ).
3 3
3. zxx  (2 y  2 xy  y 2 )x  2 y,
zxy  (2 y  2 xy  y 2 )y  2  2 x  2 y,
zyx  (2 x  x2  2 xy)x  2  2 x  2 y,
zyy  (2 x  x 2  2 xy)y  2 x .
4. Точка M0 (0, 0):
A  zxx  (2 y)M0  0, B  zxy  (2  2 x  2 y)M0  2, C  zyy  (2 x) M0  0,
( M 0 )  AC  B 2  0  22  4  0.
Следовательно, в точке M0(0, 0) данная функция экстремума не имеет.
Точка M1 (0, 2):
A  zxx  (2 y ) M1  4, B  zxy  (2  2 x  2 y ) M1  2, C  zyy  ( 2 x) M1  0,
( M1 )  AC  B 2  4  0  (2) 2  4  0.
В точке M1 (0, 2) функция экстремума не имеет.
Точка M2 (2, 0):
A  zxx  (2 y ) M 2  0, B  zxy  (2  2 x  2 y ) M 2  2, C  zyy  (2 x) M 2  4,
( M 2 )  AC  B 2  0  (4)  (2) 2  4  0.
В точке M2 (2, 0) экстремума нет.
2 2
Точка M 3  ,  :
3 3
4
2
4
A  zxx  (2 y ) M 3   , B  zxy  (2  2 x  2 y ) M 3   , C  zyy  (2 x) M 3   ,
3
3
3
2
4
 4  4   2 
( M 3 )  AC  B             0.
3
 3  3   3 
2
4
2 2
В точке M3 функция имеет экстремум, так как A    0 , то M 3  ,  —
3
3 3
точка максимума функции.
2
5. zmax
2
2 2 2 2 2 2
8
2 2
 z ,   2          .
3 3 3 3 3 3
27
3 3