Задача определения критической нагрузки балки. Балка AB длины l , имеющая цилиндрическую форму, расположена вертикально. Ее нижний конец A жестко закреплен, а верхний под действием нагрузки P может перемещаться по вертикальной прямой таким образом, что касательная, проведенная к осевой линии балки в точке B , все время проходит через отрезок AB . Требуется определить критическую нагрузку P , при которой вертикальное положение балки является положением устойчивого равновесия. Обозначим через s длину дуги осевой линии балки, отсчитываемую от точки A , а через (s) меньший из углов, образованных отрезком AB и касательной к осевой линии, проведенной в точке, которая расположена на расстоянии s от A . Потенциальная энергия изогнутой балки равна l 1 d 2 WП ( ) P cos ds (9.40) 2 ds 0 где 0 константа, зависящая от коэффициента упругости и момента инерции поперечного сечения. Состояние устойчивого равновесия характеризуется минимумом потенциальной энергии, поэтому задача сводится к определению таких значений P , при которых функция ( s) 0 реализует наименьшее возможное значение функционала (9.40) на множестве функций вида C1[0, l ], (0) (l ) 0 . Для решения этой задачи воспользуемся теоремой 9.3 (если функция удовлетворяет сильному условию Якоби, то она реализует слабый локальный минимум функционала на множестве) Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа: P sin d d 0 ds ds Очевидно, функция ( s) 0 удовлетворяет этому уравнению, а значит, является экстремалью. Кроме того, выполняется сильное условие Лежандра f 0 0 Находим (относительно функции ( s) 0 ) p( s) P, q( s) 0, r ( s) и записываем уравнение Якоби: h Ph 0 Общее решение этого уравнения имеет вид (s) C1 sin P / s C2 cos P / s а его решением при начальных условиях (0) 0, (0) 1 является функция (s) / P sin P / s Согласно теореме 9.3, решение ( s) 0 является оптимальным, если ( s ) 0 для всех s (0, l ) ; это равносильно условию sin P / l 0 . Наименьшее положительное P , при котором последнее неравенство нарушается, определяет критическую нагрузку. Следовательно, P / l , откуда находим P 2 / l .