Вопросы для подготовки к экзамену по алгебре и геометрии

Вопросы для подготовки к экзамену
по алгебре и геометрии
(I семестр, АС, ПИ)
1. Геометрические векторы, линейные операции над векторами.
Линейное пространство.
2. Линейные комбинации и линейная независимость векторов. Базис и
размерность пространства.
3. Проекция вектора на ось и ее свойства.
4. Скалярное произведение векторов.
5. Определители 2-го и 3-го порядков и их связь с системами уравнений.
Формулы Крамера.
6. Все свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Определители n-го порядка. Практическое вычисление определителей.
7. Векторное произведение векторов. Двойное векторное произведение.
8. Смешанное произведение векторов.
9. Вычисление длин, площадей и объемов.
10. Деление отрезка в данном отношении.
11. Полярная система координат. Параллельный перенос и поворот осей
координат. Формулы перехода.
12. Прямая на плоскости. Свойства, виды уравнений, расстояние от точки
до прямой.
13. Прямая в пространстве. Свойства, виды уравнений.
14. Плоскость. Свойства, виды уравнений, расстояние от точки до
плоскости.
15. Вычисление углов, условия параллельности и ортогональности на
плоскости и в пространстве.
16. Пучки прямых и плоскостей. Связка плоскостей.
17. Задачи на прямую и плоскость (приведение общих уравнений к
нормальному виду, проведение плоскости через точку и прямую, через
3 точки, расстояние между скрещивающимися прямыми, проведение
биссектрисы и биссектральной плоскости и т.д.)
18. Кривые второго порядка. Классификация.
19. Эллипс.
20. Гипербола.
21. Парабола.
22. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.
23. Метод Гаусса решения квадратных систем линейных алгебраических
уравнений.
24. Матрицы. Линейные операции над матрицами, ранг матрицы.
25. Умножение матриц, обратная матрица. Решение систем уравнений и
матричных уравнений с помощью обратной матрицы.
26. Решение общих систем линейных алгебраических уравнений AX=B.
27. Решение однородных систем AX=0.
28. Произвольный, ортогональный и ортонормированный базисы. .
Изменение координат вектора при переходе к
другому базису. Ортогонализация произвольного базиса.
29. Линейные, билинейные и квадратичные формы.
30. Знакоопределенность квадратичных форм, закон инерции.
31. Критерий Сильвестра. Метод Лагранжа приведения квадратичной
формы к диагональному виду.
32. Задание квадратичной формы с помощью симметрической матрицы.
33. Приведение квадратичной формы к каноническому виду линейным
34. ортогональным преобразованием переменных.
35. Комплексные числа. Различные формы записи, геометрическая
интерпретация. Основные операции над комплексными числами.
36. Извлечение корней из комплексных чисел, логарифмическая
и степенная функции.
37. Понятие линейного оператора.
38. Матрица линейного оператора. Невырожденное линейное
преобразование. Запись матрицы линейного оператора
в другом базисе.
39. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
40. Определение ортонормированного собственного базиса.
41. Графики основных элементарных функций.
42. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение
правильных рациональных дробей на простейшие.
Вопросы для подготовки к экзамену
по математическому анализу
1. Множество действительных чисел и его свойства. Точные грани
числовых множеств.
2. Числовая последовательность (ЧП), предел ЧП и функции. БМФ и
ББФ.
3. Сравнение БМФ и ББФ, 3 теоремы об эквивалентных функциях.
4. 5 замечательных пределов.
5. Непрерывность функции в точке и на множестве. Алгебраические
свойства непрерывных функций.
6. Решение уравнения f(x)=0 методами деления отрезка, хорд,
касательных, комбинированным методом.
7. Задачи, приводящие к производной, определение производной.
8. Таблица производных.
9. Правила дифференцирования.
10. Основные теоремы дифференциального исчисления (лемма, Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши).
11. Правило Лопиталя.
12. Дифференциал и дифференцируемость функции. Применение
дифференциала в приближенных вычислениях.
13. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Лейбница.
14. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных
функций по формуле Маклорена, область справедливости формул.
Погрешность формул Тейлора и Макорена.
15. Уравнения касательной и нормали.
16. Исследование функций на монотонность.
17. Исследование функций на локальный ext.
18. Исследование функций на выпуклость.
19. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика
функции.
20. Общая схема исследования функции, пример.
21. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
22. Конечные разности. Запись и вычисление.
23. Интерполяционные многочлены Ньютона.
24. Принципы построения интерполяционных многочленов. Кубические
сплайны.
25. Трех (четырех, пяти) точечные формулы численного
дифференцирования.
26. Погрешность формул численного дифференцирования.
27. Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Непрерывность и
дифференцирование ВФСА.
28. Кривизна. Радиус и центр кривизны. Эволюта и эвольвента.
Вычисление радиуса и координат центра кривизны в R3 и R2.
Трехгранник Френе.
Если по самостоятельным работам балл не менее 80% от max, то
соответствующие примеры можно не решать.
Время на экзамен 2 часа.