Основы профанации теоретической механики

черновик
Курс «Основы теоретической механики»
для факультетов ФМХФ и ФМБФ
Продолжительность курса: 1 семестр, 15 лекций + 15 практических занятий (семинаров)
3 задания, самостоятельная работа 15 часов
экзамен
Программа курса:
Аксиоматика классической механики.
1. Кинематика точки
1.1. Задачи кинематики. Декартова система координат. Разложение вектора по
ортонормированному базису. Радиус-вектор и координаты точки. Скорость и ускорение точки.
Траектория движения.
1.2. Естественный трёхгранник. Разложение скорости и ускорения в осях естественного
трехгранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволинейные координаты точки, примеры: полярная, цилиндрическая и сферическая
системы координат. Составляющие скорости и проекции ускорения на оси криволинейной
системы координат.
2. Способы задания ориентации твердого тела
2.1. Твердое тело. Неподвижная и связанная с телом системы координат.
2.2. Ортогональные матрицы поворота и их свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте.
2.3. Активная и пассивная точки зрения на ортогональное преобразование. Сложение поворотов.
2.4. Углы конечного вращения: углы Эйлера и “самолетные” углы. Выражение ортогональной
матрицы через углы конечного вращения.
3. Пространственное движение твердого тела
3.1. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Угловая скорость и угловое
ускорение.
3.2. Распределение скоростей (формула Эйлера) и ускорений (формула Ривальса) точек твердого
тела.
3.3. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.
3.4. Понятие плоскопараллельного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение в случае
плоскопараллельного движения. Мгновенный центр скоростей.
4. Сложное движение точки и твердого тела
4.1. Неподвижная и движущаяся системы координат. Абсолютное, относительное и переносное
движения точки.
4.2. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки, относительная и переносная
скорости точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки,
относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
4.3. Абсолютные, относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела.
5. Основные определения и динамические характеристики механических систем.
5.1 Динамика материальной точки. Задачи динамики. Главный вектор и
момент системы сил. Работа и мощность силы. Силовые поля. Потенциальная энергия.
главный
5.2 Количество движения, кинетический момент, кинетическая энергия. Способы вычисления
основных динамических характеристик системы. Теорема Кёнига.
5.3 Тензор инерции. Свойства тензора инерции. Теорема о переносе тензора инерции. Эллипсоид
инерции.
5.4 Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точкой
6. Общие теоремы динамики
6.1
Общие
теоремы
динамики
(изменение
количества движения, кинетической энергии)
количества
движения,
момента
6.2 Общие теоремы динамики в неинерциальных системах отсчёта
6.3 Эквивалентные системы сил. Понятие равнодействующей. Динамический винт
6.4 Общее уравнение динамики. Принцип Даламбера-Лагранжа.
7.
Движение твердого тела с неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера
7.1 Динамические уравнения Эйлера
7.2 Случай Эйлера. Общее решение. Перманентные вращения
7.3 Регулярная прецессия в случае Эйлера
7.4 Геометрические интерпретации Пуансо и Мак-Куллага
8.
Движение динамически симметричного тела с неподвижной точкой в поле тяжести
8.1 Уравнение динамически симметричного твёрдого тела в наблюдаемых переменных
8.2 Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела. Основное
уравнение гироскопии
8.3 Случай Лагранжа. Первые интегралы. Качественный анализ движения волчка Лагранжа
8.4 Качественная теория гироскопа.
9. Задача о движении точки в центральном поле. Элементы небесной механики
9.1 Центральное поле. Решение задачи о движении точки в центральном поле. Формулы Бине.
Вектор Лапласа.
9.2 Решение уравнения Бине. Уравнение плоской розетки.
9.3 Движение точки в ньютоновском поле всемирного тяготения. Уравнение орбиты. Параметры
орбиты. Законы Кеплера.
9.4 Задача двух тел. Кеплеровские элементы орбиты. Ограниченная задача трёх тел. Точки
либрации.
9.5 Движение твёрдого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле. Гравитационный
момент.
10. Лагранжева механика
Понятие конфигурационного многообразия механической системы. Параметризация
конфигурационного
многообразия.
Обобщенные
координаты.
Уравнения
Лагранжа.
Классификация обобщенных сил. Свойства уравнений Лагранжа.
Первые интегралы уравнений
Циклические интегралы.
Лагранжа.
Интеграл
Пенлеве-Якоби.
Интеграл
энергии.
Преобразования Лежандра. Уравнения Гамильтона. Теорема Лиувилля.
11. Теория устойчивости
Определение устойчивости по Ляпунову.
Общие теоремы об устойчивости линейных систем. Критерий Рауса-Гурвица.
Устойчивость положений равновесия нелинейных систем. Теоремы Ляпунова. Теорема Лагранжа.
12. Теория колебаний
Линейный одномерный осциллятор. Резонанс. Формула Грина.
Линейные колебательные системы. Собственные векторы и собственные частоты. Экстремальные
свойства собственных частот. Теоремы Рэлея. Явления резонанса и антирезонанса. Особые
направления в пространстве конфигураций.
Нелинейные колебательные системы. Метод нормальной формы Пуанкаре. Автоколебания.
Параметрические колебания. Явление резонанса в нелинейных системах.
Литература:
Амелькин Н.И. Динамика твердого тела: учеб. пособие. – М.: МФТИ, 2010.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики
Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2001.
Голдстейн Г, Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. – М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», 2012.
5. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд.
– М.: Физматлит, 2008.
6. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2007.
1.
2.
3.
4.