Международный конкурс научно-технических работ школьников Об одном обобщение теоремы Вильсона.

Международный конкурс научно-технических работ школьников
«Старт в науку»
Об одном обобщение теоремы Вильсона.
Автор:
Плетнёв Борис Михайлович
ГОУ СОШ №1252
Класс 11 «А»
04.03.2012
1
Содержание
1. Введение. Формулировка результата……………………………………………3
2. Теорема Вильсона: очерк элементарного доказательства и доказательство,
использующее понятие группы……………………………………………………..4
3. Обобщение теоремы Вильсона……………………………………………………5
4. Дополнение: доказательство теоремы Эйлера с помощью теоремы
Лагранжа о порядке подгруппы…………………………………………………….7
Литература…………………………………………………………………………….8
2
1. Введение. Формулировка результата
Важную роль в теории сравнений играют малая теорема Ферма:
n p 1  1 (mod p) ,
где p - простое число, n - натуральное число, не кратное p , и теорема Эйлера,
которая является её обобщением:
a  ( n )  1 (mod n) ,
(1)
где n и a - взаимно простые числа;  (n ) - функция Эйлера (количество чисел
меньших n и взаимно простых с n ). Известна также теорема Вильсона: если p простое число, то:
1  2  ...  ( p  1)  1  0(mod p) .
Мне неизвестны обобщения теоремы Вильсона, относящиеся к теории делимости.
В этом смысле теорема Вильсона – сирота, а данная работа является попыткой
«восстановить справедливость». Используя элементарную теорию групп,
знакомую автору благодаря книге [1], я докажу следующее утверждение. Пусть
n - натуральное число, и пусть n1 ,..., nk - полный набор чисел меньших n и
взаимно простых с n . Тогда n1  ...  nk  1 или n1  ...  nk  1 делится на n . Это
утверждение обобщает теорему Вильсона подобно тому, как теорема Эйлера
обобщает малую теорему Ферма.
Кроме того, я покажу, что теорема Эйлера (а, значит, и малая теорема
Ферма), является следствием теоремы Лагранжа о порядке подгруппы.
Элементарные доказательства теорем Ферма и Эйлера (эти доказательства
содержатся в [2] и [3]), по мнению автора, неудовлетворительны, т.к. носят
искусственный характер – доказывают, но ничего не объясняют.
3
2. Теорема Вильсона: очерк элементарного доказательства и доказательство,
использующее понятие группы
Элементарное доказательство теоремы Вильсона содержится в книге [2].
Рассматривается множество замкнутых ориентированных ломаных, вершины,
которых совпадают с вершинами правильного p - угольника; очевидно, что
число таких ломаных равно ( p  1)! . Это множество разбивается на классы,
переходящие в себя при повороте окружности, в которую вписан этот
многоугольник, на угол
360 
n , где n  0,..., p  1 . Оказывается, что в каждом
p
классе содержится или p таких ломаных, или ровно одна; последний случай
соответствует правильным (выпуклым или звёздчатым) многоугольникам, число
которых равно p  1 . Значит, число ( p  1)!( p  1) делится, на p , что и
требовалось.
Это доказательство не устраивает автора тем, что оно похоже на фокус суть явления остаётся «за кадром». Ниже приведено доказательство теоремы
Вильсона, которое автор, не претендуя на то, что оно абсолютно оригинально,
считает «хорошим»: так же, как и «правильные» доказательства теорем Ферма и
Эйлера, это доказательство использует теорию групп.
Обозначим множество натуральных чисел от 1 до p  1 через E p и
определим на этом множестве операцию «*»: под a * b мы будем понимать
остаток от деления «обычного» произведения a  b на p . Относительно этой
операции множество E p образует группу: роль единичного элемента играет 1,
ассоциативность следует из ассоциативности обычного умножения. Остаётся
доказать, что у каждого a  E p есть обратный элемента a 1 такой, что a * a 1  1 .
Зафиксируем a  E p и рассмотрим строку таблицы умножения множество элементов вида a * b , где b пробегает всё множество E p . Покажем,
что никакое число не встретится в этой строке дважды. Действительно, пусть
a * b1  a * b2 , т.е. произведение a(b2  b1 ) делится на p . Число a на p не
4
делится, следовательно, на p делится разность (b2  b1 ) . Но это невозможно,
поскольку и b2 , и b1 - числа меньшие, чем p . Итак, в каждой строке таблицы
умножения по одному разу таблицы умножения встретятся все элементы
множества E p , в том числе и 1. Следовательно, у каждого элемента a  E p есть
обратный, и E p - группа.
Рассмотрим два элемента этой группы – a  1 и a  ( p  1) . Они являются
обратными по отношению сами к себе, т.е. обладают свойством:
a * a  1. (2)
Покажем, что других таких элементов в группе E p нет. Из (2) следует, что число
a 2  1  (a  1)( a  1) делится на p . Но это возможно только если a  1  0 или
a 1  p .
Теперь рассмотрим групповое произведение  :
  1 * 2 * ... * ( p  1) .
У каждого сомножителя a в этом произведении есть обратный, и если a  1 и
a  p  1 , этот обратный элемент не совпадает с a . Следовательно,
2 * ... * ( p  2)  1 , и поэтому
  p 1,
т.е. 1  2  ...  ( p  1)  p  1 (mod p) , а это я и хотел доказать.
3. Обобщение теоремы Вильсона
Используя в качестве образца теорему Эйлера, попытаемся обобщить
теорему Вильсона на случай p  n , где n - произвольное натуральное число.
Простая замена ( p  1)! на произведение n1 ,..., nk всех чисел, меньших n и
взаимно простых с n , не проходит: в случае n=8 это произведение равно
1 3  5  7  105 , а 106 на 8 не делится. Но оказывается, что или n1 ,..., nk  1 , или
n1 ,..., nk  1 обязательно делится на n .
5
Доказательство немногим сложнее доказательства теоремы Вильсона.
Рассмотрим множество En чисел, меньших n и взаимно простых с n , и
определим операцию «*»: под a * b будем понимать остаток от деления
«обычного» произведения a  b на n . Ясно, что если a, b  En , то a * b  En .
Множество En относительно операции «*» является группой: доказательство
этого факта повторяет доказательство для случая, когда n  p , где p - простое
число; см. предыдущий параграф.
Однако в общем случае группа En может содержать элементы, не равные 1
и (n  1) такие, что их квадрат (в групповом смысле) равен 1: например, если
n  8 , то и 3 * 3  1 , и 5 * 5  1 , и 7 * 7  1 . Именно по этой причине произведение
(групповое) всех элементов En , вообще говоря, не равно n  1 . Покажем, что это
произведение равно или n  1 , или 1.
Назовём элемент a группы En особым, если a * a  1. В этом случае
элемент n  a - тоже особый. Следовательно, группа En содержит чётное число
особых элементов: множество таких элементов распадается на пары вида
( a, n  a ) ,
(3)
и никакой элемент не может быть парой сам для себя. Пусть n1 ,..., nk - все
элементы группы En , т.е. полный набор чисел, меньших n и взаимно простых с
n. Обозначим через  произведение:
  n1 * ... * nk .
(4)
Множество элементов, не являющихся особыми, разбивается на пары взаимно
обратных, поэтому произведение таких элементов равно 1. С другой стороны,
произведение особых элементов, составляющих пару (3), равно n  1 . Поскольку
(n  1) * (n  1)  1 , произведение всех особых элементов равно 1 или n  1 в
зависимости от того, чётным или нечётным является число пар вида (3). Итак,
групповое произведение (4) равно 1 или n  1 , т.е.
n1  ...  nk  1 (mod n) или n1  ...  nk  n  1 (mod n) ,
что и требовалось доказать.
6
4. Дополнение: доказательство теоремы Эйлера с помощью теоремы
Лагранжа о порядке подгруппы.
Порядок группы En , о которой шла речь в п.3, равен количеству чисел,
меньших n и взаимно простых с n , т.е. функции Эйлера  (n ) . Пусть a  En и l
- наименьшее натуральное число такое, что
al  1.
Элементы 1, a,...., a l 1 образуют циклическую подгруппу, порядок которой равен
l . По теореме Лагранжа, l является делителем порядка группы En , который
равен  (n ) :
 ( n)  s  l ,
где s - натуральное число. Но если a l  1 , то и (a l ) s  a sl  1 , т.е.
a  ( n )  1(mod n) . Итак, для элементов En , а, значит, и для всех a , взаимно
простых с n , сравнение (1) доказано.
7
Литература
1. В. Б. Алексеев Теорема Абеля в задачах и решениях – М,: МЦНМО, 2001г.
2. Й. Кюршак, Д. Нейкомм, Д. Хайош, Я. Шурани. Под ред. В.М. Алексеева
Венгерские математические олимпиады – М.: Мир, 1976г.
3. А. Спивак, В. Цветков Новая школьная энциклопедия. Небесные тела. Числа и
фигуры – М.: Росмэн, 2005г.
8