 

1
ЛЕКЦИЯ 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7.1 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
Функция F  x  называется п е р в о о б р а з н о й для функции f x
на промежутке Х, если F x  f x x  X .
Например,
для
функции
f x   x 2
первообразной
является

 x3 
x3
функция F x  
, т.к. F  x      x 2  f  x  .
3
 3 
Теорема. Если F  x  – первообразная для функции f x на
промежутке Х, то любая другая первообразная для f x на этом
промежутке имеет вид F x   С , где С – произвольная постоянная.
Множество всех первообразных функций F x   С на промежутке
Х, где С – произвольная постоянная, называется н е о п р е д е л е н н ы м
интегралом от функции
на этом промежутке и
f x 
обозначается символом
 f x dx  F x  C .
Здесь f x называется п о д ы н т е г р а л ь н о й ф у н к ц и е й ,
f  x  dx – п о д ы н т е г р а л ь н ы м в ы р а ж е н и е м ,
х – переменной интегрирования,
 – знаком неопределенного интеграла
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции
называется и н т е г р и р о в а н и е м этой функции.
Теорема. Если функция f x непрерывна на отрезке a, b , то она
интегрируема на нем.
7.2 Основные свойства неопределенного интеграла
1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции
 f x dx  f x  .
2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению
d  f  x dx   f  x dx .
3) Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме
этой функции и произвольной постоянной
 f  x dx  f  x   c .
4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
2
равен сумме этой функции и произвольной постоянной
 dF  x   F  x   c .
5) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
 k  f  x dx  k   f  x dx, k  0 - постоянная.
6) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен алгебраической сумме
интегралов от слагаемых функций
  f  x   g  x dx   f  x dx   g  x dx .
7.3 Таблица основных неопределенных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов.
1)
 dx  x  c
x  1
2)  x dx 
 c ,   1
 1

3)
dx
 x  ln x  c , x  0
ax
4)  a dx 
 c , a  0, а  1
ln a
5)  e x dx  e x  c
x
6)
7)
8)
9)
10)
 sin xdx   cos x  c
 cos xdx  sin x  c
 tgxdx   ln cos x  c
 ctgxdx  ln sin x  c
dx
 cos2 x  tgx  c ,



 x   n, n  Z 
2


dx
11)
 sin 2 x  ctgx  c , x  n, n  Z 
12)
 sin x  ln tg 2
13)
 cos x  ln tg  2  4   c
14)
 1 x2
15)
 a2  x2
dx
x
dx
x
dx
dx
c

 arctgx  c

1
x
arctg  c, a  0 
a
a
3
dx
1
xa
ln
 c,
2a x  a
16)
 x2  a2
17)

18)

19)

21)
 chx dx  shx  c
22)
 сh 2 x  thx  c
23)
dx
 sh 2 x  cthx  c
dx
1 x
dx
2
a x
dx
2

 arcsin x  c,
2
 arcsin
a  0
 x 1 
x
 c,
a
xa
 ln x  x 2  a 2  c
x2  a2
20)  shx dx  chx  c
dx
Вычисление интегралов с помощью основных их свойств и таблицы
основных интегралов называется н е п о с р е д с т в е н н ы м и н т е г р и рованием.
Пример 7.1. Найти интеграл  8 х 3  5 х 2  3х  4 dx .
Решение.
3
2
3
2
 8х  5х  3х  4 dx  8 х dx  5 x dx  3 xdx  4 dx 


8


x4
x3
x2
5
3
 5
 3
 4x  c  2x 4  x 3  x 2  4x  c .
4
3
2
3
2
2  33 х2  5 х
dx .
Пример 7.2. Найти интеграл 
x3
Решение.
2  33 х2  5 х
 2

x3
x


1
2
1
2
 3
1
x6
1
6
dx  2 x

3
2 dx
 3 x
 5  ln x  c  
4
x

5
6 dx
 5
dx

x
 18 6 x  5 ln x  c .
7.4 Метод интегрирования заменой переменной (подстановкой)
Часто удается с помощью замены переменной интегрирования
упростить данный интеграл.
Пусть требуется найти интеграл  f x  dx .
4
Выполним подстановку x  t  , где t  - функция, имеющая
непрерывную производную.
Учитывая, что dx  t dt , получим формулу и н т е г р и р о в а н и я
заменой переменной (подстановкой)
 f x dx   f t   t  dt .
Иногда используют подстановку вида t  x  , тогда
 f x  xdx   f t dt .
Замечание. После нахождения интеграла надо перейти от новой
переменной t к переменной x .
Пример 7.3. Найти интеграл  cos 5x dx .
Решение.
5x  t,
t
1
1
1
 cos 5 x dx  x  5 ,  5  cos t dt  5 sin t  c  5 sin 5 x  c
1
dx  dt
5
x dx
Пример 7.4. Найти интеграл 
.
х5
Решение.


x dx
x5
2
3

x  5  t,
x  5  t2,
x  t2  5

dx  t 2  5 dt  2t dt
x  53



t
2

t3

 5 2t dt
2
 2 t  5 dt  2    5t   c 
t
3



 10 x  5  c .
7.5 Метод интегрирования по частям
Пусть U  U x  и V  V x  – функции, имеющие непрерывные
производные, тогда справедлива следующая формула интегрирования по
частям
 U dV  UV   VdU .
Доказательство.
Интегрируя равенство
d UV   U dV  V dU ,
получим
 d UV    U dV   V dU
или
 U dV  UV   V dU .
5
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые можно найти с
помощью метода интегрирования по частям.
1) Интегралы вида
kx
 Pn x  sin kx dx,  Pn x e dx,  Pn x  cos kx dx ,
где Pn  x  – многочлен n -ой степени, k – число.
В интегралах этих типов полагают U  Pn (x) , а dV - все остальные
сомножители.
2) Интегралы вида
 Pn ( x) ln kx dx ,  Pn ( x) arcsin kx dx ,  Pn ( x) arccoskx dx ,
 Pn ( x)arctgkx dx ,  Pn ( x)arcctgkx dx ,
где Pn (x ) - многочлен n -ой степени, k - число.
В этом случае за U принимают функцию, являющуюся множителем
при многочлене Pn (x ) .
3) Интегралы вида
e
ax
sin bx dx ,
e
ax
cosbx dx .
Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.
Пример 7.5. Найти  (3x  2)e5 x dx .
Решение.
U  3x  2
dU  (3 x  2) dх  3dx
1
1
5x
 (3 x  2)  e 5 x   e 5 x  3dx 
 (3x  2)e dx  dV  e 5 x dx
5
5
1
V   e 5 x dx  e 5 x
5
5x
1
3
e 
7
 3x  2 e 5 x  e 5 x  c 
 3x    с .
5
25
5 
5
Пример 7.6. Найти  x 2 cos3x dx .
Решение.
U  x2
dU  2 xdx
1
1
2
 x 2  sin 3 x   sin 3 x  2 x dx 
 x cos3x dx  dV  cos3xdx
3
3
1
V   cos3 xdx  sin 3 x
3
6
Ux
dU  dx
1 2
2
 x sin 3x    x sin 3x dx  dV  sin 3xdx
3
3

1
V   sin 3xdx   cos3x
3
2
2
x
2  1
1
2 
1
 x


sin 3x     x cos 3x   cos 3xdx  
sin 3x    x cos 3x  sin 3x   с 
3
3  3
3
9 
3
 3

1
2
2
  x 2   sin 3x  x cos 3x  с .
3
9
9
Пример 7.7. Найти
Решение.
U  ln x
1
dU  dx
x
5
 x ln xdx  dV  x 5 dx
x
5
ln x dx .
 ln x 
x6 1 6 1
x6
1
  x  dx 
ln x   x 5 dx 
6 6
x
6
6
x6
V   x dx 
6
6
6
6
x
1 x
x 
1

ln x  
с
 ln x    с .
6
6 6
6 
6
5
Пример 7.8. Найти  arctgx dx .
Решение.
U  arctgx
dx
dU 
xdx
1 d ( x 2  1)
2
 x  arctgx   2

1  x  arctgx  x   2
 arctgx dx 
2 x 1
x 1
dV  dx
V x
1
 x arctgx  ln( x 2  1)  с .
2
Пример 7.9. Найти  e3 x cos2 x dx .
Решение.
U  e3 x
dU  3e3 x dx
3x
 e cos2 x dx  dV  cos2 xdx
1
V   cos 2 xdx  sin 2 x
2
1
3
 e3 x sin 2 x   sin 2 x e3 x dx 
2
2
7
U  e3 x
dU  3e3 x dx
1
3 1
3

 dV  sin 2 xdx  e3 x sin 2 x    e3 x cos 2 x   e3 x cos 2 x dx  
2
2 2
2

1
V   cos 2 x
2
e 3x 
3
 9 3x

 sin 2 x  cos 2 x    e cos 2 x dx .
2 
2
 4
Перенося полученный интеграл в левую часть, получим:
e 3x 
3
 9

3x
1     e cos 2 x dx 
 sin 2 x  cos 2 x   с ,
2 
2
 4

отсюда
e 3x
 e cos 2 x dx  13 (2 sin 2 x  3 cos 2 x)  с .
3x