Нижегородский государственный технический университет Краткое руководство по оформлению отчетов в лабораториях

Министерство образования Российской Федерации.
Нижегородский государственный технический университет
Кафедра общей и прикладной физики
Краткое руководство
по оформлению отчетов в лабораториях
физического практикума.
Нижний Новгород 2006.
Составители: А.А.Виноградов, А.Н.Яшина.
УДК 530.3
Краткое руководство по оформлению отчетов в лабораториях физического практикума: Метод.
разработка по курсу общей физики для студентов дневного отделения / НГТУ; Сост.:
А.А.Виноградов, А.Н.Яшина. Н.Новгород, 2006. 11 с.
Даны рекомендации по выполнению эксперимента в лаборатории физического практикума,
обработке результатов, оформлению отчета.
Научный редактор А.А.Радионов.
Редактор Э.Б.Абросимова.
Подп. к печ. . . . . формат 60х84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная.
Печ. л. . . . . Уч. изд. л. . . . .Тираж 200 экз. Заказ
.
Нижегородский государственный технический университет.
Типография НГТУ. 603600, Н.Новгород, ул. Минина, 24.
Нижегородский государственный
технический университет, 2006
Введение
Цель руководства – способствовать выработке у студентов навыков экспериментальной работы и
осмысленного подхода к обработке результатов измерений.
Задачи физического практикума сводятся к следующему:
1) проиллюстрировать теоретические положения физики;
2) познакомить студента с приборами;
3) научить анализировать полученные результаты и делать правильные выводы; оценивать
точность окончательного результата; составлять четкий и ясный отчет о проделанной работе.
Авторы надеются, что данное руководство поможет студенту более осмысленно подходить к
экспериментальной работе и к тому, что можно сделать в условиях данной задачи.
Погрешности измерений.
Предметом изучения физики служат объекты реального мира, каждый из которых обладает
бесчисленным количеством свойств и характеристик, да вдобавок взаимодействует с бесконечно
большим числом других тел. Поэтому физика имеет модельный характер: реальный объект
заменяется некоторой моделью с ограниченным числом «существенных» характеристик и
взаимодействий. Большинству параметров модели можно сопоставить число. Такие параметры
называются физическими величинами, а процесс сопоставления параметру численного значения –
процессом измерения.
Чтобы измерить физическую величину, необходимо сравнить ее с другой величиной, принятой за
единицу. Любое измерение, в силу ряда причин, дает лишь приближенный результат. Поэтому
необходимо указать, насколько полученный результат близок к истинному значению. Для этого
вместе с полученным результатом указывают погрешность измерения. Под погрешностью
измерения понимают разность между истинным значением данного параметра и его
оценкой. Например, запись
I= (0,25  0,02) А
означает, что истинное значение силы тока лежит, скорее всего, в интервале от 0,23 до 0,27А.
Оценивать погрешности необходимо потому, что, не зная их, нельзя сделать определенный вывод
из эксперимента. Понятие погрешности измерения имеет прямое отношение к таким вопросам, как
цель эксперимента, его метод и значимость его результатов. Процесс измерения осуществляется
двумя путями: 1) с помощью специальных технических средств, проградуированных
непосредственно в единицах искомой величины (прямые измерения); 2) в два этапа: сначала
измеряют одну и более непосредственно измеряемых величин, связанных функциональной
зависимостью с искомой величиной, а затем рассчитывают и саму величину (косвенные измерения).
Случайные и систематические погрешности.
По характеру проявления погрешности измерений принято делить на два типа – систематические
и случайные. Такое разделение чаще всего не лежит в их природе, а связано с методом измерений, с
применяемой аппаратурой. Так, например, измеряя при помощи секундомера период колебаний
маятника, мы допускаем погрешности в моментах пуска и остановки секундомера, ошибку в
величине отсчета показаний секундомера, кроме того, существует некоторое отличие соседних
периодов по длительности. Все эти факторы приводят к случайной погрешности. Если при этом
часы спешат, это дает систематическую погрешность. Если же мы будем проводить измерения с
помощью набора секундомеров, часть из которых спешат, а другие отстают, то погрешности хода
секундомеров дадут уже случайную погрешность.
Систематические погрешности обычно остаются постоянными на протяжении серии измерений,
случайные же хаотически изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Систематические
погрешности, отчасти, можно исключить, изменяя методику эксперимента и измерительные
приборы. Случайные же погрешности всегда присутствуют в эксперименте и при многократном
повторении измерений служат причиной разброса результатов. Их влияние на процесс измерений
можно уменьшить путем проведения многократных измерений с последующей обработкой
результатов.
Оценка случайных погрешностей.
Пусть n последовательных измерений некоторой величины х дали значения
х 1 , х 2 ,…х n .
Если систематическая погрешность отсутствует, то эти значения расположатся вблизи неизвестного
истинного значения Х, приблизительно равномерно по обе стороны от него. В качестве наилучшего
приближения к истинному значению следует взять среднее арифметическое отдельных измерений
1 n
<х> =  x
n i 1
i
Точность соответствия среднего значения истинному зависит от точности каждого отдельного
измерения и от числа этих измерений. С увеличением числа измерений среднее значение все ближе
подходит истинному.
Выполнив измерения, нужно не только указать полученный результат, но и дать информацию о
его точности. Конечно, нам неизвестно истинное отличие величины <x> от Х Принято указывать
интервал значений измеряемой величины <x>   х, в пределах которого с определенной
вероятностью может оказаться истинное значение Х. Величина  х называется погрешностью или
ошибкой результата, а интервал [ x+  x, x-  x] – доверительным интервалом. Характеристикой
достоверности доверительного интервала является доверительная вероятность  - вероятность того,
что среднее значение <x> отличается от истинного Х не более, чем на  х..Величина  равна доле
результатов серии измерений, попадающих в пределы доверительного интервала. Поясним на
примере. Пусть, измеряя силу тока в проводнике, мы записали полученный результат
I = ( 0,25  0,02) А;  = 0,95
Это означает, что если другой экспериментатор проведет в аналогичных условиях соответствующие
измерения 100 раз, то в 95 случаях результат должен попасть внутрь интервала [ 0,23; 0,27] А.
Часто бывает удобно вводить относительную погрешность результата
 X=
x
x 
Для вычисления случайных погрешностей пользуются методами математической статистики.
Предложим некоторые рекомендации для выполнения измерений и обработки полученных
результатов при различных видах измерений.
Прямые измерения.
Оценивая погрешность прямого измерения, нужно, прежде всего, решить вопрос о том, какие из
возможных ошибок должны рассматриваться как случайные, а какие остаются в данной серии
измерений неизменными, т.е. должны считаться систематическими.
Погрешности разброса. В разбросе результатов могут проявляться ошибки наводки, ошибки,
связанные с нестабильностью или неопределенностью измеряемой величины или условий
эксперимента. Единственным способом уменьшения и оценки ошибок разброса являются
многократные наблюдения. Нужно только помнить, что наблюдение состоит из наводки и отсчета, и
при повторных наблюдениях обязательно полностью повторять также и процесс наводки. Будем в
дальнейшем оценивать погрешность разброса по формуле
х
разбр=
n
1
( x i   x ) 2

n( n  1) i 1
Погрешности отсчета. Ошибка отсчета – это, конечно, случайная ошибка, но очень часто она
не проявляется в разбросе. Например, если при отсчете производится округление до целых делений,
то любые показания, лежащие между 88,6 и 89,4 будут одинаково отсчитаны как 89. Поэтому
погрешность отсчета разумно характеризовать, подобно систематическим ошибкам, предельной
погрешностью отсчета  х отсч . Величина погрешности отсчета оценивается наблюдателем
субъективно, как ответ на вопрос « за что я ручаюсь».Если цена деления равна d, то можно считать,
что погрешность отсчета равна 0,5d при округлении до целых долей и равна 0,3d, если
отсчитываются целые деления и половины. При использовании цифровых приборов погрешность
отсчета можно считать равной нулю.
Погрешности градуировки (приборные). Составляющая инструментальной погрешности,
связанная с неточностью градуировки, не проявляется в разбросе значений, если измерения
выполняются с помощью одних и тех же приборов. Это будет, фактически, систематическая
погрешность, возможная величина которой характеризуется предельной допустимой погрешностью
градуировки  х г р , указанной в паспорте или на шкале прибора. Вместо предельной погрешности
может быть указан класс точности прибора, который по - разному определяется для различных
приборов. Например, для стрелочных электроизмерительных приборов класс точности  х г р
означает отношение предельной абсолютной погрешности к наибольшему значению величины
х max , которое может быть измерено по шкале прибора
 х г р = Х г р . 100%.
Х max
Поэтому, если прибор имеет несколько пределов измерений (например, вольтметр может быть
рассчитан на измерение напряжений до 100В или до 300В ), то абсолютная погрешность прибора
будет тем меньше, чем меньше х max . При отсутствии данных о предельной погрешности
градуировки следует считать ее равной цене деления прибора.
Суммарная (полная) погрешность прямого измерения складывается из трех перечисленных
составляющих. Однако, если просто сложить все погрешности, мы получим завышенную величину.
Дело в том, что измеренная величина может оказаться как больше, так и меньше истинного
значения, т.е. погрешность может быть как положительной, так и отрицательной. Складывая же
абсолютные значения погрешностей, мы предполагаем, что все они имеют один знак. Вероятность
такого события невелика. С учетом появления разных составляющих с разными знаками суммарную
погрешность следует вычислять по формуле
2
 х г2р  х 2разбр
 Х= х отсч
Погрешности отсчета и градуировки можно оценить уже по единичному измерению, погрешность
разброса определяется из результатов нескольких измерений.
Полезно заметить, что, если одна из складываемых погрешностей более чем втрое превышает
каждую из двух других, то квадрат этой величины больше двух остальных слагаемых (под корнем),
как минимум, на порядок. Поскольку используемая методика оценки погрешностей имеет малую
точность (она составляет 20 – 30 %), можно считать результирующую погрешность численно
равной наибольшей составляющей.
Окончательный результат измерения необходимо представить в виде
x=<x>  x .
При этом число и его погрешность записывают так, чтобы их последние цифры принадлежали к
одному и тому же десятичному разряду. Неверной является запись 16  0,3 или 16,23  0,3.
Правильная запись: 16,2  0,3.
В частности, нуль писать так же обязательно, как и любую другую цифру:
25,70  0,02, а не 25,7  0,02. Кроме того, поскольку точность оценки погрешностей невелика,
значение погрешности следует округлять, оставляя лишь одну значащую цифру.Только, если эта
цифра – единица, то следует привести и вторую цифру, округлив ее до нуля или пяти. Округлять
погрешность предпочтительно в сторону увеличения. Например, погрешность равную 0,33 после
округления записывают 0,4.
Косвенные измерения.
В большинстве экспериментов интересующая нас величина непосредствен-но не измеряется.
Вместо этого мы измеряем некоторые другие величины А, В, С, и т.д., а затем вычисляем
величину Z , которая является известной функцией указанных первичных величин. Пусть каждая
первичная величина измерена несколько раз, найдено ее среднее значение и погрешность
измерения, и пусть измерения первичных величин независимы и поэтому их погрешности тоже
независимы. Зная средние значения <A>, <B>, и т.д., можно вычислить <Z> и оценить погрешность
Z через погрешности А , В , и т.д.
знать Z A ,
Z необходимо
Z B ,…,обусловленные отдельными прямыми измерениями.Здесь Z A определяет погрешность
Для
определения
результирующей
погрешности
величины Z, обусловленную погрешностью в определении величины А при условии, что все
остальные аргументы В, С и т.д. имеют значения в точности равные <B>, <C> и т.д. Ее можно
вычислить по формуле
Z
| A ,
A
где Z / А -частная производная, при вычислении которой все величины, кроме
Z A |
А,
предполагаются постоянными. Результирующая погрешность определяется по формуле:
Z  ( Z A ) 2  ( Z B ) 2  ...
Иногда бывает удобно находить сначала относительную погрешность
Z
Z  (Z A ) 2  (Z B ) 2  ... ,
где Z A -относительная погрешность величины Z, обусловленная погрешностью в определении
величины А. Для ее определения используется соотношение
Z A 
Z A 1 Z
(ln Z )
 |
| A |
| A .
Z
Z A
A
Таким образом, для определения относительной погрешности можно пролога-рифмировать
функцию Z(A,B,…) и, взяв частные производные от lnZ по каждой из переменных, воспользоваться
вышеприведенными соотношениями. Приведем выражения для расчета погрешностей косвенных
измерений для некоторых конкретных функций.
Погрешность
Функция
Z=A+B; Z=A-B
Z=AB; Z=A/B
n
Z=A
Z=ln A
Z=e
A
( Z )2  ( A )2  ( B )2
(Z / Z )2  (A / A )2  (B / B )2 ;
2
2
2
( Z )  (A )  (B )
Z / Z  n( A / A ); Z  n(A )
Z  A / A  A
Z  Z / Z  A
Как видно из таблицы, в случае, если искомая величина является суммой (разностью) других
величин или логарифмической функцией, расчет погрешности удобнее начинать с оценки
абсолютной погрешности, в случае же произведения (частного) или степенной функции – с расчета
относительной погрешности.
Графики
Графики строят при изучении функциональной зависимости одной величины от другой. Они
являются одним из наиболее важных методов для анализа данных и представляют результаты в
наиболее наглядной форме, выдавая максимум информации на минимальном пространстве.
Построив график, мы сразу выявляем характерные особенности изучаемых зависимостей: области
возрастания или убывания, максимумы и минимумы, скорость изменения функции, периодичность
и т.д. Графики позволяют выявить область, где существует определенная зависимость между
величинами, и на основании этого сделать вывод о характере физических процессов.
При построении графиков нужно руководствоваться определенными правилами.
1. График выполняется на миллиметровой бумаге. Построение графика начинают с нанесения
координатных осей, при этом аргумент – величина, значение которой задает сам
экспериментатор, - откладывается по оси абсцисс а функция – величина, определяемая из
эксперимента, - по оси ординат.
2. На координатные оси наносят масштаб, который выбирается в соответ-ствии с интервалом
изменения переменных, независимо для каждой из них. Начало координат (точку 0,0) не
обязательно помещать на графике. Это необходимо лишь в том случае, когда нужно
подчеркнуть, что кривая проходит через точку 0,0. Во всех остальных случаях, особенно, когда
значения переменных существенно отличаются от нуля, а интервал их изменения невелик,
нулевое значение величины может остаться за пределами построенного графика. Выбирая
масштаб, нужно стараться, чтобы график занимал всю отведенную для него площадь, а не
ютился где-то в уголке.
Ценность графика во многом зависит от удачного выбора масштаба. Проще всего, если единица
измеренной величины (или 10; 100; 0,1 и т.д.) соответствует 1см на координатной оси. Можно
выбрать масштаб, когда 1см соответствует 2 или 5 единицам. Других масштабов следует избегать,
чтобы при нанесении точек на график не приходилось, например, делить 1см на 3 или 7 частей.
Цифры не обязательно указывать против каждого деления масштаба, их число тоже диктуется
соображениями удобства. В конце оси указывается откладываемая величина и ее размерность (I, A).
n
Множитель 10 , определяющий порядок величины, лучше отнести к единице измерения, например,
3
I,мА или I,10 А.
Часто при исследовании функциональных зависимостей применяют логарифмический масштаб.
х
Когда интересующая нас зависимость имеет вид y =a ,то логарифмическую шкалу применяют
только для одной координат-ной оси(оси y).При этом в зависимости от значения величины а
можно пользоваться как десятичными, так и натуральными логарифмами. Удобство такого метода
состоит в том, что при таком подходе мы получаем линейную зависимость величины ln y от х.
а
Если же исследуемая зависимость имеет вид y=x , то удобнее применить логарифмическую шкалу
для обеих осей, ибо в этом случае указанная зависимость представляется прямой линией и величина
показателя степени а может быть определена по тангенсу угла, образованно-го этой линией с
координатными осями (угловой коэффициент прямой).
3. После построения координатных осей приступают к нанесению на график экспериментальных
данных. (При этом отмечать на координатных осях значения измеренных на опыте величин
недопустимо). Экспериментальные точки должны быть четко видны на графике. Через
экспериментальные точки проводят “наилучшую” плавную кривую. Кривая не должна заслонять
экспериментальные точки, поскольку именно они являются результатом опыта, а кривая - лишь
толкование результата. Если на графике имеется теоретическая кривая, то кривую через
экспериментальные точки лучше не проводить. При построении теоретической кривой точки, по
которым она строится, ставят без нажима, чтобы они не были видны после проведения линии.
4. грешности указывают для одной или обеих измеряемых величин в виде отрезков длиной в
доверительный интервал, в центре которых расположе-ны экспериментальные точки, или в виде
прямоугольника, стороны которого равны доверительным интервалам. Это особенно
необходимо, когда от величины погрешности зависит интерпретация результатов эксперимента.
Рекомендации по оценке погрешностей.
Часто величина Z зависит от большого числа параметров и расчет погрешности является
трудоемкой операцией. Однако, в ряде случаев можно значительно упростить расчет.
1.Пусть Z есть сумма или разность величин А и В, причем погрешность А в 2 или более раз
превышает погрешность В. Тогда, пренебрегая погрешностью В, мы получаем результат ,
отличающийся от полной погрешности Z лишь на 11% ( или менее). Таким образом, когда Z
представляет собой сумму нескольких величин, то можно отбрасывать погрешности, не
превышающие одной трети от максимальной.
Аналогично можно поступать, сравнивая относительные погрешности первичных величин в
случае, когда Z является их произведением или частным.
Приведенные соображения следует учитывать особенно в тех случаях, когдаодна из
складываемых величин намного меньше другой. Покажем на примере. Пусть Z=А+В, А=100  6,
В=5. Относительная погрешность величины А составляет 6%. Очевидно, что в данном случае
погрешностью В можно пренебречь, если она не превышает 3, что составляет 60% от величины
В, т.е. на порядок меньше точности измерения величины А.
Из сказанного следует, что некоторый параметр может не вносить заметной погрешности в
конечный результат либо потому, что он измерен с большой точностью, либо представляет
собой малую добавку к большой величине.
2. Теперь рассмотрим пример, когда точность измерения величин А и В одинакова, но Z=А-В.
Пусть А=100  2, В=96  2. Тогда Z=4  3. Таким образом, обе непосредственно измеренные
величины определены с точностью 2%, а погрешность конечной величины оказалась 75%. В
этом случае нужно стараться снизить погрешности измерения величин А и В.
3. Если в расчетную формулу входят величины, которые можно записать с разной точностью (
ускорение свободного падения g, число  , и т.д.), то нужно выбрать такое значение, чтобы их
погрешность была меньше погрешности других величин, измеряемых в данном эксперименте.
Например, будем иметь в виду, что, записывая g с разной точностью, мы меняем величину
погрешности:
2
Относительная погрешность  g
g (м/с )
10
5%
9,8
0,5%
9,81
0,05%
Примеры.
1. Работа 1-8. Изучение основного закона вращательного движения.
С учетом изложенных выше правил и, пренебрегая малыми величинами, можно
рассчитывать погрешности следующим образом:
относительная погрешность ускорения груза  а= 2  t (  t-относитель ная погрешность
времени падения груза );
относительная погрешность углового ускорения крестовины   a  2 t ;
относительная погрешность момента силы, вращающей крестовину,
 М= (m )2  (r )2  (g )2
( m -относительная погрешность массы груза, r относительная погрешность радиуса блока, g -относительная погрешность ускорения
свободного падения );
относительная погрешность момента инерции I    2 t ;
относительная погрешность углового ускорения крестовины   t 5 ;
относительная погрешность момента импульса крестовины L  3t .
2. Работа 1-21.Механический удар.
В погрешность измерения скорости груза (V) основной вклад вносит погрешность измерения
угла отклонения нити, к которой этот груз прикреплен, (  ). Поэтому относительную
погрешность скорости груза можно рассчитывать по формуле V 
1

ctg .  . При этом, в
2
2
силу особенностей измерения угла отклонения нити, абсолютную погрешность начального
o
о
угла можно полагать равной 0,5 , а угла отскока 1 .
Написание отчета.
Выполнение лабораторной работы заканчивается написанием отчета. Отчет должен включать
следующие разделы.
1. Введение.Во введении должна быть определена цель работы.
2. Теоретическая часть.В этом разделе необходимо изложить теоретические положения,
лежащие в основе данного эксперимента, указать, какие законы и зависимости
проверяются, какие соотношения используются в расчетах. Полезно здесь отметить также,
какие ожидаются результаты.
3. Методика эксперимента. Здесь нужно рассказать о постановке эксперимента и дать
описание аппаратуры. Подробно изложить, какие величины и какими методами
измерялись, какие использовались приборы (с указанием их точности). Полезно
подчеркнуть преимущество использованных методов ( или их недостаток).
4. Результаты эксперимента. Раздел содержит результаты расчетов (с указанием
погрешностей). Арифметические выкладки приводить нет необходимости. Достаточно
привести расчетную формулу, значения входящих в нее величин и окончательный
результат. Результаты удобно представлять в виде таблиц и графиков.
5. Анализ результатов (заключение). Здесь необходимо провести сопоставление результатов
эксперимента с теорией и сделать вывод о достижении (или недостижении) поставленной
во введении цели.
Список литературы.
1.
2.
3.
4.
5.
Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.: Наука, 1970.
Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. Л.: Наука, 1974.
Сквайрс Дж. Практическая физика. М.: Мир, 1971.
Светозаров В.В. Элементарная обработка результатов измерений. М.: МИФИ, 1983.
Корнфельд М.И. Погрешность и надежность простейших экспериментов. УФН. т.85, 1965,
с.533.