Обучение учащихся нахождению области значений функции А.Н

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ НАХОЖДЕНИЮ ОБЛАСТИ
ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
А.Н. Балабаева
ФГБОУ ВПО «Шадринский государственный
педагогический институт», г. Шадринск
Руководитель: к. п. н., профессор Чикунова О. И.
В настоящее время в учебных планах, регламентирующих процесс
обучения в общеобразовательных учреждениях, наметилась тенденция к
сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин
естественно-математического цикла. Одновременно происходит возрастание
требований к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков.
В связи с этим, в теории и методике обучения математике обострились
многие методические проблемы, в том числе, проблема изучения
школьниками функций и исследования их свойств.
Появилось
множество
экспериментальных
учебников
для
использования в школе, в которых часто меняется логический порядок
следования изучаемых разделов, материал необоснованно упрощается или
наоборот, чрезмерно перегружается терминами и символикой, иногда даже
допускаются неточности при построении графиков. Также очень мало
внимания уделяют нахождению области значений функций.
Область значений функции – это свойство, которое в списке занимает,
как правило, второе место после области определения и, тем не менее,
является самым загадочным.
Задачи, связанные с поиском области значений функции, не находят,
как правило, должного внимания в рамках школьного курса математики.
Выделяют две группы задач на нахождение области значений функции:
нахождение Å  f  непрерывной функции y f  x  , заданной на отрезке [a;b],
и нахождение Å  y  сложной функции y f  g  x  (композиции функций) на
естественной области определения.
1. Нахождение области значений непрерывной на отрезке функции может
быть сведено к нахождению наименьшего fmin и наибольшего fmax ее
значений на заданном отрезке.
Эту задачу можно решать с использованием разных приемов, но, зачастую,
она решается по общей схеме:
а) вычисляют значения функции f a  и f b  на концах отрезка [a;b];
б) находят критические точки х1, х2,…, хk функции f на интервале (a;b) и
вычисляют значения y f  x  в этих точках;
в) выбирают fmin=min{f(a), f(x1),…, f(xk), f(b)}
и,
аналогично,
fmax=max{f(a), f(x1),…, f(xk), f(b)};
г) Å  y  f min ; f max


2. Нахождение области значений сложной функции (композиции функций)
на произвольном множестве и, в частности, на естественной области
определения.
Для решения этой задачи мы предлагаем использовать прием
последовательного нахождения значений аргументов функций.
Нахождение множества значений сложной функции удобно осуществлять в
виде многошаговой процедуры, на каждом шаге которой находится
множество значений некоторой элементарной функции. Например, если
y  f  g  x  , то Å  y  Å  f  на D  f  E  g  .
Для реализации приема последовательного нахождения значений аргументов
сложных функций можно применять алгоритм:
1) Выявить внутреннюю функцию g  x  ;
2) Найти E  g  ;
3) Выявить внешнюю функцию f  g  ;
4) Найти D  f  ;
5) Найти пересечение X  D  f  E  g  ;
6) Найти E  f  на множестве X . Это и будет E  y  .
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Укажите наименьшее натуральное число из области значений
функции y 2
10 6 õ õ2
.
Преобразуем функцию y 2
 õ3  1
2
. Внутренняя
функция
–
квадратичная
g  x   õ3 2 1 ,
E  g  1;  . Внешняя функция - показательная
с основанием 2 , возрастающая. f  g  2 g ,
D  f  R
X  D  f  E  g  : R1;  1;  X ; g 1
E  y  E  f  при g 1 , 2 g 21 , E  y  2 ; 
Наименьшее натуральное число из E  y 
равно 2.
Ответ: 2.
Пример 2. Найдём все те значения функции
y  4 x  2 x2  2 , каждое из которых она
принимает только при одном значении
аргумента.


2
g
f
2
1
g
x
1
3
f
g
y a ,a  2
y a ,a  2
2
2
g
x -2
y  a , a  2
Преобразуем
функцию y  2 x 2 2 .
0
Внутренняя функция - показательная
g  x  2 x , E  g  0 ;  . Внешняя функция - квадратичная f  g  g 2 2 2 ,
D  f  R .
X  D  f  E  g  . R0 ;  0 ;  X ; g 0 . E  y  E  f  при g 0 .
g 0 , следовательно, f  2 , E  y  2 ; 
Рассмотрим прямые y a . При a 22 ;   прямые пересекают график в
одной точке. Ответ:  2 2 ;  .
Пример 3. Найдём наибольшее целое число, принадлежащие области
значений функции y 0 ,25 sin x cos2 x .
g
Внутренняя функция g  x  ,
3
4
g  x  sin x  14 cos 2 x  sin x  14 1  2 sin2 x   12 sin2 x  sin x  14 .
1
4
х
Найдем множество значений E  g  .
Пусть sin x t , тогда E  g  x  E  g t  при t1;1 .
g t 
  12 t 2
t 0 1 , g 1 
 t  14 ,
 34
, g 1 
  54
Внешняя функция f  g  0 ,25 g  x  . D  f  R ;
14   14 g  14  .
5
4
 54  g  34 ,
3
4
Получим E  y 
. E  g 


1
 54 ;34

.
0
1
 54
f

4 2
X   54 ;34 ;
1
;4
2 2
2
.
5
1
1
g
2 2
Наибольшее целое число из множества значений данной
3
5
4
функции равно 5.
4
Ответ: 5.
Приведем примеры других задач, в решении которых можно применить
прием последовательного нахождения значений аргументов сложных
функций для отыскания области значений.
Найдите область значений функций:
8) y  log 2 x  x 2  3
1) y 2  x1  2
2
1
2
2) ó  71 6 õ3 õ 5
2
3) ó 4 2 õõ
10)

2
5) y  2 x 1 2
6) y  log 2 x 2  4 x 12
7) y  log 2
2 2
4
4) y 16 x  4 x0 ,5 1

x

9) y  36 log 1 sin x  3 cos x 6
2


2
2 x 5


f  x log 2
11)
f  x  log 2 5 ,5  cos x 0 ,5 cos 2 x 
12)
y  ln1 

23 x 2 x2 
Найдите наименьшее целое значение функции:
2) f  x  log
1) y log 0 ,5 6 5 x  x 2

118  sin x cos2 x 

2
7289  cos x  cos2 x 
Найдите сумму целых чисел из области значений:
1) y 0 ,8 x 4 x2
Найдите сумму натуральных чисел, не входящих в область значений:
2
1) y 2  x1 
2
1
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Бобровская, А.В., Чикунова, О.И. Практикум. Функции и графики: учеб.–
метод. пособие для учащихся 9–11 классов. – Изд. 2-е./ А.В. Бобровская,
О.И. Чикунова– Шадринск: Шадр. Дом Печати, 2012- 60 с.