экзаменационные вопросы 2 семестр

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа
для студентов первого курса АВТФ 2006-07 учебного года (второй семестр)
I.
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Дифференциальное исчисление.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Предел последовательности. Теорема о сходимости последовательности координат. Предел
функции многих переменных, его свойства. Непрерывность функции многих переменных.
Свойства непрерывных функций.
Частная производная функции многих переменных. Дифференцируемая функция многих
переменных. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции многих
переменных.
Геометрический смысл условия дифференцируемости функции многих переменных.
Дифференциал функции многих переменных. Инвариантность формы первого
дифференциала.
Производная по направлению и градиент.
Производные высших порядков функции многих переменных. Достаточное условие n-раз
дифференцируемости функции многих переменных. Теорема о порядке дифференцирования
во второй производной функции многих переменных.
Формула Тейлора для функции многих переменных.
Экстремум функции двух переменных. Достаточное условие локального экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на множестве.
2. Интегральное исчисление.
Двойной интеграл. Достаточное условие интегрируемости функции на плоской области.
Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Свойства и оценки.
2.2. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление
двойного интеграла в полярных координатах.
2.3. Тройной интеграл. Достаточное условие интегрируемости функции на области из R 3 .
Геометрический и физический смысл тройного интеграла. Свойства и оценки.
2.4. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в сферических и цилиндрических координатах.
2.5. Применение кратных интегралов для вычисления площади, массы, моментов плоской
области; объема, массы и моментов тел.
2.6. Криволинейный интеграл первого рода (по длине). Достаточное условие существования
криволинейного интеграла первого рода, его свойства. Вычисление криволинейных
интегралов первого рода.
2.7. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам).
Достаточное условие
существования криволинейного интеграла второго рода, его свойства. Вычисление
криволинейных интегралов второго рода.
2.8. Теорема о связи криволинейного интеграла второго рода с двойным интегралом (формула
Грина-Остроградского).
2.9. Следствия теоремы Грина-Остроградского: условие равенства нулю криволинейного
интеграла второго рода по замкнутому контуру, условие независимости криволинейного
интеграла второго рода от пути интегрирования, задача о восстановлении потенциала.
2.10. Приложения криволинейных интегралов для вычисления длин и масс дуг кривых, площадей
цилиндрических поверхностей и работы переменной силы.
2.1.
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Определения дифференциального уравнения, общего и частного решений, интегральной кривой,
изоклины. Формулировка задачи Коши, теоремы существования и единственности решения
задачи Коши.
Определение основных типов уравнений первого порядка: уравнение с разделяющимися
переменными, однородное, линейное уравнения, уравнение Бернулли, уравнение в полных
дифференциалах (знать способы их решения).
Линейные уравнения высших порядков: определения общего и частного решений,
формулировка теоремы существования и единственности, уравнения допускающие понижение
порядка.
Линейные однородные уравнения высших порядков: свойства частных решений линейного
однородного уравнения, необходимое и достаточное условия линейной независимости решений
линейного однородного уравнения, структура общего решения линейного однородного
уравнения.
Линейные неоднородные уравнения высших порядков: структура общего решения, метод
Лагранжа нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения, линейные
неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Системы дифференциальных уравнений: методы подстановки и матричный метод решения
системы линейных дифференциальных уравнений.
III. РЯДЫ.
1. Числовые ряды.
1.1. Определение сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости ряда
(теорема о сходимости остатка ряда). Свойства сходящихся рядов.
1.2. Признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, признаки Даламбера и
Коши, интегральный признак Коши.
1.3. Знакопеременные ряды: признак Лейбница сходимости знакочередующихся
рядов.
Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов. Признак абсолютной сходимости.
2. Функциональные ряды.
1.4. Функциональные ряды: область сходимости, равномерно сходящиеся ряды, признаки Коши и
Вейерштрасса равномерной сходимости, свойства равномерно сходящихся рядов
(непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость).
1.5. Степенные ряды: теорема Абеля, радиус и интервал сходимости степенного ряда, свойства
степенных рядов на интервале сходимости.
1.6. Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в
ряд Маклорена.
3. Ряды Фурье.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Ряд Фуре для 2l - периодической функции, теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье
непериодических функций. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Комплексная форма ряда Фурье.
Интеграл Фурье. Косинус и синус преобразования Фурье.
Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье.