Часть2 оглавление

Часть2 Интегральное исчисление
Глава 1. Неопределенный интеграл
1.1 Первообразная и ее основное свойство. Неопределенный интеграл.
Свойства линейности. Интегрирование линейной подстановки. Таблица
неопределенных интегралов.
1.2Методы интегрирования. Подведение под дифференциал. Замена переменной.
Примеры: Выделение полного квадрата. Замены для интегрирования
иррациональных выражений и рациональных функций от экспоненты.
1.3 Интегрирование по частям.
1.4 Интегрирование рациональных дробей.
1.5 Интегрирование тригонометрических выражений.
Примеры.
Глава 2 . Определенный интеграл.
2.1 Площадь под графиком. Формула для вычисления. Необходимое и
достаточное условия существования площади. Определенный интеграл.
Формула для вычисления. Линейность. Необходимое и достаточное условия
интегрируемости.
2.2 Аддитивность определенного интеграла. Определение интеграла по
отрезку [a,b], a<b.
Сохранение аддитивности.
2.3 Интегралы от непрерывных функций. Существование первообразной и
формула для нее. Формула Ньютона-Лейбница. Формула интегрирования по
частям и замены переменной. Примеры.
.2.4. Геом. приложения опред. интегралов.
Длина дуги. Площадь между графиками. Объем по поперечному сечению.
Глава 3 Несобственные интегралы 1 рода.
.3.1 Площадь под бесконечной кривой. Формула. Определение
несобственного интеграла 1 рода и формула для него. Формула НьютонаЛейбница. Интегралы Дирихле.
Глава 4 Функции многих переменных
n
4.1 R , скалярное произведение, длина вектора, расстояние и их свойства.
Функция многих переменных, область определения, линии уровня. График и
координатные линии. Примеры.
4.2 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их арифметические
свойства. Непрерывность функций от одной переменной. Непрерывность
суперпозиции.
4.3 Непрерывность на множестве в точке. Примеры. Ограниченные
множества. Граничные точки, замкнутые множества. Теоремы Вайерштрасса.
4.4 Понятие о двойном интеграле по замкнутому ограниченному множеству
от непрерывной функции. Формула сведения двойного интеграла к
повторному по простейшей области. Примеры.
4.5 Частные производные функций многих переменных и их геометрический
смысл.
Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования
касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал,
геометрический смысл и формула.
Формула линеаризации и ее использование на примерах.
4.6 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры.
Производная по направлению. Градиент. Его геометрический смысл.
Использование для нахождения максимумов и минимумов функции.
4.7 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры. Локальный
экстремум.
Необходимое и достаточное условие. Пример.
4.8 Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к
графику неявной функции. Свойство градиента. Примеры.
Глава 5 Дифференциальные уравнения.
5.1 ДУ 1 порядка, решение, общее решение, интегральная кривая. Примеры.
5.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности ее
решения.Примеры.
5.3 ДУ с разд. Переменными, однородной правой частью.
5.4 Линейные ДУ 1 порядка однородные и неоднородные.
.
5.5 ДУ 2 порядка, решение, общее решение. Задача Коши, теорема
существования и единственности решения задачи Коши. Пример
5.6 ДУ 2 порядка с пост. коэффициентами. Однородные ДУ,ФСР. Примеры.
5.7 Неоднородные ДУ со специальной правой частью. Общее решение.
Принцип суперпозиции. Примеры.
Глава 6 Ряды
6.1 Числовой ряд. Частичные суммы, сумма, сходимость. Арифметические
свойства. Пример. Необходимое условие сходимости и достаточное условие
расходимости. Примеры.
Лекция 13
6.2 Неотрицательные ряды. Связь с несобственными интегралами 1 рода. 2
признака сходимости
6.3 Признак Даламбера и радикальный признак Коши. Примеры.
Семинар 13 К.р.3
Лекция 14
6.4 Абсолютная сходимость. Связь со сходимостью. Условная сходимость.
Признак Лейбница.
6.5Степенные ряды. Область сходимости, радиус сходимости. Почленное
интегрирование и дифференцирование. Ряды Тейлора, достаточное условие
разложимости в ряд Тейлора. Стандартные разложения Маклорена.
Семинар 14
Разбор Д.Р.3
Далее сдача зачета (всех К.Р. и Д.Р.4 мод.)
Вопросы к экзамену по МА за 3-4 модуль (на повышенную оценку, экзамен
на «удовлетворительно»- кафедральный тест)).
1. Что такое неопределенный интеграл? Приведите 2 примера из таблицы.
2. Что такое определенный интеграл? Приведите формулу НьютонаЛейбница для его вычисления.
3. Перечислите свойства линейности и аддитивности определенных
интегралов.
4. Напишите формулу интегрирования по частям для определенного
интеграла.
Для каких функций она верна?
5. Напишите формулу для вычисления площади между графиками и
длины дуги.
Для каких функций они верны?
6. Определите функцию двух переменных, ее график, координатные
линии, линни
уровня. Приведите пример.
7. Определите частные производные функции 2 переменных. Каков их
геометрический смысл?
8. Что такое касательная плоскость к графику функции 2 переменных?
Как называется функция, график которой имеет в точке касательную
плоскость?
9. Что такое дифференциал дифференцируемой функции 2 переменных?
Напишите его формулу. Каков его геометрический смысл?
10.Определите точку локального экстремума функции 2 переменных.
Сформулируйте необходимое условие экстремума.
11.Определите вторые частные производные функции 2 переменных.
Сформулируйте теорему Шварца.
12. Сформулируйте достаточное условие локального экстремума для
функции 2 переменных.
13.Что такое ДУ 1 порядка.? Определите его решение, общее решение.
Сформулируйте задачу Коши.
14.Сформулируйте теорему существования и единственности решения
задачи Коши для ДУ 1 порядка.
15.Решение ДУ 1 порядка с разд. переменными и с однородной правой
частью.
16.Решение однородного ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами.
17.Числовой ряд. Сходимость. Необходимое условие сходимости и
достаточное условие расходимости.
18.Сформулируйте признаки сравнения. Для каких рядов они
применяются?
19.Сформулируйте признака Даламбера и Коши (радикальный).
20.Сформулируйте интегральный признак Коши и условие сходимости
рядов Дирихле.
21.Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно
сходящихся рядах.
22. Признак Лейбница. Какую сходимость он проверяет?