Лекция Экономическая модель Кобба-Дугласа С. А. Лавренченко

www.lawrencenko.ru
С. А. Лавренченко
Лекция
Экономическая модель Кобба-Дугласа
На этой лекции мы изучим функцию, носящую имя функции Кобба-Дугласа, которая
выражает зависимость объёма производства Q от создающих его факторов
производства — затрат труда L и капитала K .
Впервые эта функция была предложена Кнутом Викселлем (Knut Wicksell, 1851—
1926). В 1928 году Чарльз Кобб (Charles Cobb, 1875—1949) и Пол Дуглас (Paul Douglas,
1892—1976) проверили эту функцию на конкретных статистических данных. Они
опубликовали статью под названием «Теория производства», в которой они эмпирическим
путем моделировали объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности
США в течение периода с 1899 г. по 1922 г. Они допустили упрощенное видение
экономики, в котором объем производства определяется только объемом затраченного
труда и суммой вложенного капитала. Несмотря на то, что существует множество других
факторов, влияющих на экономические показатели, модель Кобба-Дугласа оказалась на
удивление точной.
Самый общий вид функции, которую Кобб и Дуглас использовали для моделирования
объема производства имеет следующий вид:
(1)
Q( L, K )  A L K  ,
где Q — совокупный продукт (т.е. денежная стоимость всех товаров, произведенных в
течение года), L — затраты труда (т.е. общее количество человеко-часов, выработанное в
течение этого года) и K — объем инвестированного капитала (т.е. денежная стоимость
всех использованных машин, оборудования и зданий). Параметр A называется
технологическим коэффициентом,  — коэффициентомэластичности по труду, а  —
коэффициентом эластичности по капиталу.
Выведем вид уравнения (1) из некоторых экономических предположений.
Частная производная Q L выражает скорость, с которой изменяется объем
производства в зависимости от количества затраченного труда. Экономисты называют эту
скорость предельным продуктом (MQ) по труду – прирост совокупного продукта в
результате применения дополнительной единицы труда – или предельной
производительностью труда. Аналогично, частная производная Q L — скорость, с
которой изменяется объем производства в зависимости от количества инвестированного
капитала, называется предельной производительностью капитала. В терминах этих
2
характеристик допущения, сделанные Коббом и Дугласом, можно сформулировать
следующим образом:
(а) Если или труд, или капитал обращается в нуль, то и производство будет равно нулю.
(б) Предельная производительность труда пропорциональна количеству произведенной
продукции на единицу труда.
(в) Предельная производительность капитала пропорциональна количеству произведенной
продукции на единицу капитала.
Перефразируем допущение (б) в математических терминах. Поскольку количество
произведенной продукции на единицу труда есть Q L , то условие (б) можно записать в
виде:
(2)
Q
Q
 ,
L
L
где  — некоторая константа. Если зафиксировать K (положив K  K0 ), то
дифференциальное уравнение (2) с частными производными становится обыкновенным
дифференциальным уравнением:
(3)
dQ
Q
 .
dL
L
Разделяя переменные в уравнении (3), получаем решение:
(4)
Q( L, K0 )  C1 ( K0 ) L .
Мы здесь пишем C1( K0 ) , потому что константа C1 зависит от выбора K 0 .
Аналогично, допущение (в) означает, что
Q
Q
 .
K
K
Решая это дифференциальное уравнение, получаем
(5)
Q( L0 , K )  C2 ( L0 ) K  .
Сравнивая (4) и (5), получаем
(6)
Q( L, K )  AL K  ,
где A — константа, не зависящая ни от L , ни от K . Из допущения (а) следует, что   0
и   0.
Предположим, что и количество труда и количество капитала увеличились в n раз.
Тогда совокупный продукт тоже должен увеличиться в n раз, т.е. Q ( nL, nK )  nQ ( L, K ) .
Левая часть этого равенства при помощи (6) переписывается в виде:
3
Q(nL, nK )  A(nL) (nK )   n   Q( L, K ) .
Приравнивая правые части этих равенств, получаем     1 . В этом важном частном
случае функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид:
(7)
Q( L, K )  A L K 
В ряде источников именно вид функции (7) называется (производственной) функцией
Кобба-Дугласа.
Замечание. Функция (7) является линейно однородной и демонстрирует постоянную
отдачу при изменении масштабов производства. Если     1 , функция (1) отражает
возрастающую отдачу, а если     11 , то убывающую.
Кобб и Дуглас использовали опубликованные правительством экономические данные и
свели их в формат таблицы 1. В этом формате 1899 год взят в качестве базового, и
значения Q , L и K за этот год взяты равные 100 каждое. Значения за последующие годы
выражаются в процентах от значений за 1899 года (соответственно).
Прологарифмировав обе части уравнения Q( L, K )  A L K 1 , нетрудно
преобразовать это уравнение к следующему виду:
(8)
ln
Q
L
 ln A   ln .
K
K
Положим x  ln( L K ) , а y  ln( Q K ) , уравнение (8) преобразуется к линейному
уравнению y   x  ln A . Используя таблицу 1 с лекции, составить таблицу значений
величин ln( L K ) и ln( Q K ) за период 1899—1922 гг. Затем при помощи Excel найти
регрессионную прямую, минимизирующую сумму квадратов остатков. У вас должна
получиться функция Q  1,01  L0,75  K 0,25 . График этой функции показан на рис. 1.
Рис. 1. График функции кобба-Дугласа.
4
Таблица 1.
Год
Q
1899
1900
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
1911
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
L
100
101
112
122
124
122
143
152
151
126
155
159
153
177
184
169
189
225
227
223
218
231
179
240
K
100
105
110
117
122
121
125
134
140
123
143
147
148
155
156
152
156
183
198
201
196
194
146
161
100
107
114
122
131
138
149
163
176
185
198
208
216
226
236
244
266
298
335
366
387
407
417
431
Литература
[1] http://bibliotekar.ru/economika-dlya-yuristov/59.htm