Задание 3

9 класс
Задание 3
1) Сумма нескольких последовательных натуральных чисел равна 1000. Найти эти числа.
Решение. Искомые числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Пусть а –
первый член последовательности, n – число её членов. Тогда
2a  n  1
n 1

 1000 , то есть  a 
n  1000 .
2
2 

Если n – нечетное (и, следовательно, n-1 - чётное), то n – делитель числа 1000, то есть
может принимать значения 1, 5, 25, 125. При n=1 последовательность состоит из одного
числа, при n=125 число а получается отрицательным. При n=5 a  2  200 , то есть
искомые числа – 198, 199, 200, 201, 202. При n=25 а=28 и искомые числа – 28, 29, …, 51,
62.
Если n – чётное, то 1000 на n не делится, а 2000 – делится. Поскольку 1000  2 3  5 3 , а
2000  2 4  5 3 , n может принимать значения 16, 80, 400. При n=16 получаем
последовательность 55, 56, …, 69, 70, при n=80 и n=400 значение а отрицательно.
Ответ: 198, 199, 200, 201, 202; 28, 29, …, 51, 62; 55, 56, …, 69, 70.
2) Вычислить
3
7 5 2  3 5 2 7 .
Решение. Обозначим a  3 7  5 2 , b  3 5 2  7 . Тогда a 3  b 3  14 , a 3b 3  1. Искомое
число 3 7  5 2  3 5 2  7  a  b обозначим через t. Получаем

 

14  a3  b3  a  b  a2  ab  b2  t t 2  3ab  t 3  3t ,
3
уравнение t  3t  14  0 имеет единственный действительный корень t=2.
Ответ: 2
3) Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения x 6  y 6 , если известно, что
x 2  y 2  1.
Решение.

x 6  y 6  x 6  1 x 2

3

 
 x 4  x 2 1 x 2  1 x 2

2
2
1
1

 3x 4  3x 2  1 3 x 2    .
2
4


Отсюда видно, что наименьшее значение выражения равно ¼ и достигается при
2
1
x 2  y 2  . Наибольшее значение выражения при 0  x 2  1 равно 3 1  1  1 и
2
 2 4
2
2
2
2
достигается оно при x  1 и при x  0 (соответственно, y  0 или y  1 ).
Ответ: 1/4; 1.
4) При каких а уравнение x  a  4 4 x  a2 имеет ровно три корня? Найти эти корни.
2
Решение. При a=0 уравнение принимает вид x  16 x и имеет единственное решение х=0.
Пусть a  0 . График функции y  f  x   4 4 x  a 2 - ломаная линия с вершинами в точках
1
 a2 
 a2 
a
  ,0  , 0,4a 2  ,  ,0  . График функции y  g  x   x 
- прямая с угловым
2
 4 
 4 
коэффициентом 1. Графики имеют три точки пересечения, если прямая проходит через
 a2 
a2 a
точку   ,0  и, следовательно, 
  0 , либо через точку 0,4a 2  , то есть
4
2
 4 
a
  4a 2 .
2
4a 2

a2
4
0
a2
4
a2
 1 , два других (положительных) находим
4
17
15
из уравнения x  1 4 4x  4 : x2  , x3  .
17
15
a2
Во втором случае a=-1/8, x1  0 , два другие корня (большие по модулю, чем
) - корни
4
1
1
уравнения x  1  16 x  1 : x 2 
, x3  
.
120
136
16
16
15 17
1
1
Ответ: при a=-2 корни -1,
,
, при a=-1/8 корни 0,
,
.
120
136
17 15
В первом случае a=-2, один корень x1  
5) Найти прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются целыми числами и
удвоенная площадь которого равна его утроенному периметру.
Решение. Пусть длины сторон треугольника равны a, b, c. Тогда числа a, b, c – решения
системы
 a2  b2  c2
.

ab  3a  b  c 
ab
 a  b  . Возводя в квадрат и сравнивая с первым
Из второго уравнения получаем c 
3
уравнение, получим
2
a 2b 2 2
 aba  b   2ab  0 , то есть ab  18  6a  b или a  6b  6  18 . Пусть a  b .
9
3
Поскольку число 18 нельзя представить в виде произведения двух целых положительных
сомножителей, каждое из которых меньше 6, оба числа a и b больше 6. Так как
18  18 1  9  2  6  3 , возможны следующие три случая:
a  6  18 a  6  9 a  6  6
, 
, 
, то есть

 b  6  1 b  6  2 b  6  3
a=24, b=7, c=25, или a=15, b=8, c=17, или а=12, b=9, c=15.
Ответ: стороны треугольника равны 9, 12, 15 или 7, 24, 25, или 8, 15, 17.
3