Задачи и решения

Задания и решения для олимпиады учителей математики 2013 года
Задача 1
Дана функция 𝑓(𝑥) =
1
3
√1−𝑥3
.
Найдите значение 𝑓(𝑓(.
. . 𝑓(2). . . )).
⏟
2013раз
Решение:
Для нашей функции 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 1.
Найдем 𝑓(𝑓(𝑥)) =
1
3
√1−(𝑓(𝑥))
3
3
1
= √1 − 𝑥 3
1
𝑓 (𝑓(𝑓(𝑥))) =
3
3
√1 − ( √1 − 13 )
𝑥
3
=
1
√1 − 1 + 13
𝑥
= 𝑥.
3
Т.е. значения 𝑓 (𝑓(… 𝑓(𝑥))) будут повторяться с периодом 3.
Число 2013 делится на 3 без остатка. Значит ⏟
𝑓(𝑓(. . . 𝑓(2). . . )) = 2
2013раз
Ответ: 2.
Задача 2
На олимпиаду юных математиков приехал 201 человек из 5 стран. Среди каждых 6 из них
найдутся двое одинакового возраста. Докажите, что из некоторой страны на олимпиаду приехало не
менее 5 человек одного и того же возраста.
Решение:
1) Заметим, что различных возрастов не более пяти. Действительно, иначе можно было бы
выбрать 6 человек разных возрастов, что противоречит условию.
2) Поскольку 201=5*40+1, то, по принципу Дирихле, найдется, по крайней мере, 41 человек
одного возраста (если различных возрастов меньше, то это, естественно, также справедливо).
3) Из этих 41 человека найдется, по крайней мере, 9 человек из одной страны (41=5*8+1,
принцип Дирихле).
4) Из этих 9 найдется, по крайней мере, 5 человек одного возраста (9=2*4+1, принцип Дирихле)
ч.т.д.
Задача 3
Дан треугольник. Из его медиан построили второй треугольник, а из медиан второго
треугольника построили третий. Доказать, что третий треугольник подобен исходному.
Решение
Обозначим стороны исходного треугольника через a, b, c
Тогда его медианы вычисляются по формулам
𝟏
𝟏
𝟏
𝒎𝒂 = √𝟐(𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 ) − 𝒂𝟐 , 𝒎𝒃 = √𝟐(𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 ) − 𝒃𝟐 , 𝒎𝒄 = √𝟐(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ) − 𝒄𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Через 𝑴
𝒂 , 𝑴𝒃 , 𝑴𝒄
обозначим медианы третьего треугольника, тогда
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝑴𝒂 = √𝟐(𝒎𝟐𝒃 + 𝒎𝟐𝒄 ) − 𝒎𝟐𝒂 , 𝑴𝒃 = √𝟐(𝒎𝟐𝒂 + 𝒎𝟐𝒄 ) − 𝒎𝟐𝒃 , 𝑴𝒄 =
𝟏
𝟐
√𝟐(𝒎𝟐𝒂 + 𝒎𝟐𝒃 ) − 𝒎𝟐𝒄
Далее
𝟏
𝟐(𝒂𝟐 +𝒄𝟐 )−𝒃𝟐
𝟐
𝟒
𝑴𝒂 = √𝟐 (
+
𝟐(𝒂𝟐 +𝒃𝟐 )−𝒄𝟐
𝟒
)−
𝟐(𝒃𝟐 +𝒄𝟐 )−𝒂𝟐
𝟒
𝟐
𝟏 𝟗𝒂
𝟑
= √
= 𝒂
𝟐
𝟒
𝟒
Аналогично
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
𝑴𝒃 = 𝒃, 𝑴𝒄 = 𝒄
А это и означает подобие с коэффициентом ¾
Задача 4
Решить уравнение:
(𝑥 2 + 1)3 − (4𝑥 + 6)3 + 216 + 18(4𝑥 + 6)(𝑥 2 + 1) = 0.
Решение:
Обозначим (𝑥 2 + 1) = 𝑎, (−4𝑥 − 6) = 𝑏, 6 = 𝑐.
Тогда исходное уравнение примет вид:
𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 − 3𝑎𝑏𝑐 = 0.
Эту формулу можно преобразовать следующим образом:
𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 − 3𝑎𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐)
=(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
(𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2
2
.
Т.е. получаем уравнение (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
(𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2
2
= 0.
Отсюда
(𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0или
2
= 0.
1) Если (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0, получаем уравнение (𝑥 2 + 1) + (−4𝑥 − 6) + 6 = 0.
Приводя подобные 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = 0.
Находим корни этого уравнения 𝑥1 = 2 − √3, 𝑥2 = 2 + √3
2) Условие
(𝑎−𝑏)2 +(𝑎−𝑐)2 +(𝑏−𝑐)2
2
= 0 равносильно системе:
𝑥 2 + 1 = −4𝑥 − 6,
{
𝑥 2 + 1 = 6,
−4𝑥 − 6 = 6,
которая не имеет решений.
Ответ: 2 − √3, 2 + √3.
Задача 5
Найдите все положительные значения а, при которых область значения функции
𝑎 𝑥−1 + 3
𝑦= 𝑥
𝑎 + 2𝑎
не содержит ни одного целого четного числа.
Решение:
Т.к.𝑎 > 0,перейдем к равносильному уравнению:
1
𝑦𝑎 𝑥 + 2𝑦𝑎 = 𝑎 𝑎 𝑥 + 3
1
1
𝑎
𝑎
Отсюда 𝑎 𝑥 (𝑦 − ) = 3 − 2𝑦𝑎. При y= уравнение не имеет решений (0 ≠ 1.
Следовательно, можно выразить 𝑎 𝑥 =
Т.к. a>0, то
3−2𝑎𝑦
𝑦−
1
𝑎
3−2𝑎𝑦
𝑦−
1
𝑎
1
3
> 0. Решая, получаем 𝑦 ∈ (𝑎 ; 2𝑎).
Это и есть область значений данной функции. Этот интервал не содержит ни одного четного
числа, если лежит внутри отрезка [2k-2;2k], 𝑘 ∈ 𝑁 . Для этого условия потребуем:
1
𝑎
{
≥ 2𝑘 − 2,
3
≤ 2𝑘
2𝑎
запишем в виде {
1
𝑎
≥ 2𝑘 − 2,
1
≤
𝑎
4𝑘
3
Это условие будет выполняться, если 2𝑘 − 2 ≤
4𝑘
3
. Т.е. если 𝑘 ≤ 3.
1
Рассмотрим k=1
{𝑎1
𝑎
1
при k=2 получаем {𝑎1
𝑎
1
при k=3 получаем
{𝑎1
𝑎
≥ 0,
4
≤3
≥ 2,
8,
≤3
≥ 4,
≤4
3
Отсюда 𝑎 ≥ .
4
3
1
8
2
и находим ≤ 𝑎 ≤ .
1
, отсюда 𝑎 = .
4
Ответ: 𝑎 = 1 ; 3 ≤ 𝑎 ≤ 1 ; 𝑎 ≥ 3.
4 8
2
4
Задача 6
Средней линией тетраэдра назовем отрезок, соединяющий середины противоположных сторон.
Доказать, что объем тетраэдра не превышает одной третьей от произведения средних линий.
Решение
Выберем вершину и обозначим векторы, соответствующие ребрам, выходящим из этой вершины,
через
⃗ , ⃗𝒃, 𝒄
⃗
𝒂
Тогда средним линиям соответствуют векторы
⃗ + ⃗𝒃 − 𝒄
⃗ )⁄𝟐, (𝒂
⃗ +𝒄
⃗ − ⃗𝒃 )⁄𝟐, (𝒄
⃗ + ⃗𝒃 − 𝒂
⃗ )⁄ 𝟐
(𝒂
Произведение длин трех векторов не менее модуля их смешанного произведения.
Находим
⃗ −𝒄
⃗ )⁄𝟐)((𝒄
⃗ −𝒂
⃗𝒄
⃗𝒄
⃗ +𝒃
⃗ )⁄𝟐)((𝒂
⃗ +𝒄
⃗ −𝒃
⃗ +𝒃
⃗ )⁄𝟐) = 𝟏⁄𝟖 (𝟒(𝒂
⃗𝒃
⃗ )) = 𝟏⁄𝟐 (𝒂
⃗𝒃
⃗)
((𝒂
Так как объем тетраэдра равен
⃗ ⃗𝒃𝒄
⃗)
𝟏⁄𝟔 (𝒂
то отсюда и получаем требуемое соотношение.