Важные истины

Важные истины
1.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
2.
Угол между биссектрисами треугольника, не проходящими через вершину угла  , равен 90  
90   


90   
90  

1

2
3, 4
2
В
М
2а
а
30 
О
r r


7
8
А
6
5
М
В
А
180   


В
А

С
М
9
11
10
A
α
B
α
M1
l
M
B1
13
12
В
С1
А
В2
В1
Н
А
С
В1
С 2 С1
15
14
А
b
NB
А
Т
с
Р
b
С

В
НА
NA
16
с
I
NC
Н
С
В
а
М
а
17
1

.
2
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
4. Центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, лежит
на середине его гипотенузы.
5. Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы.
М
6. Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к
этому отрезку.
7. Геометрическим местом точек, удалённых от точки О на расстояние R , является
окружность радиуса R с центром в точке О .
8. Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.
9. Множеством точек М , из которых отрезок
АВ виден под одинаковым углом, лежат на
дугах двух окружностей.
10. Если сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна 180, то около него
можно описать окружность.
11. Если луч лежит вне треугольника АВС и образует с его стороной СВ угол, равный А , то
СМ является касательной к окружности, описанной около треугольника АВС .
12. Высота и радиус описанной окружности, проведённые из вершины угла остроугольного
треугольника, образуют со сторонами этого
угла равные углы.
13. Пусть А и В – две точки, лежащие по одну
сторону от прямой l . Точка M среди всех точек прямой l имеет наименьшее значение суммы AM  MB , если она лежит на прямой, соединяющей точку А с точкой B1 , симметричной точке В относительно прямой l .
14. Пусть ВВ1 и СС1 – высоты треугольника АВС ,
Н – ортоцентр. Тогда
1) точки В1 и С1 принадлежат двум окружностям четырёх точек: АС1 НВ1 и В1С1 ВС .
2) Углы треугольников АВС и АВ1С1 одинаковы. (Ш5.4.7)
3) Радиусы двух окружностей равны, если
А  45 .
15. В угол с вершиной А вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны угла в точках В и С так, что окружность расположена вне треугольника АВС. Тогда периметр треугольника не зависит от того, в какой
точке проведена касательная.
16. Точка, симметричная ортоцентру относительно
стороны треугольника, лежит на описанной
окружности. (С12)
17. Если в треугольнике АВС биссектриса угла А
пересекает описанную окружность в точке W1 и I – её инцентр, то верна теорема трилистника: CW1  IW1  BW1 .
(С12).
С1
В

А1
18. Высоты остроугольного треугольника АВС являются биссектрисами его ортотреугольника.(С11,
Ш5.4.19)
b
Н
а
c

В1
А
d
ac bd
19
С
18
β
β
E
B b C
b
В
M
γ
19. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. (С10).
20. Описанная окружность делит пополам отрезок
между центрами вписанной и вневписанной
окружностью.
21. Пусть а и b – основания прямоугольной трапеции, описанной около полукруга радиуса r . Тогда
боковые стороны трапеции равны 2r и a  b .
Окружность с диаметром на большей боковой стороне касается меньшей в её середине
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Т
C
γ
r
M
N
a
I
r
r
А
A
20
a
D
21
2