Описанная окружность

Описанная окружность
Определение: окружность называется описанной около треугольника,
если все вершины треугольника
лежат на этой окружности.
На каком рисунке окружность описана около треугольника:
1)
2)
4)
3)
5)
Если окружность описана около треугольника,
то треугольник вписан в окружность.
Теорема. Около треугольника можно описать окружность,
и притом только одну.
Её центр – точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
В
p
Дано:
АВС
Доказать: существует Окр.(О; R),
описанная около
АВС.
R
А
R
k
О
Доказательство:
R
n
С
Проведём серединные перпендикуляры
p, k,n к сторонам АВ, ВС, АС
ОА = ОВ = ОС из равенства соответствующих треугольников
Т. е. все вершины треугольника равноудалены от точки О, значит,
они лежат на окружности с центром О.
Значит, окружность описана около треугольника АВС.
Алгоритм построения окружности,
описанной около треугольника
1. Строим серединные перпендикуляры
к двум сторонам треугольника.
 2. Соединяем точку пересечения с одной
из вершин. Получившийся отрезок –
радиус описанной окружности.
 3. Строим описанную окружность.

Самостоятельная работа
Построить описанную окружность около:
 1. остроугольного треугольника;
 2. тупоугольного треугольника;
 3. прямоугольного треугольника.

Важное свойство:
Если окружность описана около прямоугольного
треугольника, то её центр – середина гипотенузы.
A
R
O
R
C
B
R = ½ AB
Задача: найти радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см.
Центр окружности, описанной около
тупоугольного треугольника,
лежит вне треугольника.
Формулы для радиуса описанной около треугольника
окружности
c
a
R=
R
R
b
a b c
4S
a
b
c


2Sin 2Sin 2Sin
Задача: найти радиус окружности, описанной около
равностороннего треугольника, сторона которого равна 4 см.
Решение:
R=
a b c
4S
,
R=
a3
4S
43
4
4 3
R


3
44 3
3
(см)
a 2 3 42 3
S

4 3
4
4
Ответ:
4 3
см
3
Задача: в окружность, радиус которой 10 см, вписан равнобедренный
треугольник. Высота, проведённая к его основанию равна 16 см. Найти
боковую сторону и площадь треугольника.
В
Дано: АВС- р/б, ВН АС, ВН = 16 см
Окр.(О; 10 см) описана около АВС
Найти: АВ, SАВС
Решение:
О
А
Н
С
Т. к. окружность описана около
равнобедренного треугольника АВС, то центр
окружности лежит на высоте ВН.
АО = ВО = СО = 10 см, ОН = ВН – ВО =
= 16 – 10 = 6 (см)
АОН – прямоугольный, АО2 = АН2 + АН2, АН2 = 102 – 62 = 64, АН = 8 см
АВН – прямоугольный, АВ2 = АН2 + ВН2 = 82 + 162 = 64 + 256= 320,
АВ = 320  8 5 (см)
АС = 2АН = 2 · 8 = 16 (см), SАВС = ½ АС · ВН = ½ · 16 · 16 = 128 (см2)
Ответ: АВ = 8 5 см , S = 128 см2
Определение: окружность называется описанной около
четырёхугольника,
если все вершины четырёхугольника лежат на окружности.
Теорема. Если около четырёхугольника описана окружность, то
сумма его противоположных углов равна 1800.
C
Дано: Окр.(О;R) описана около АВСD
B
D
О
B+
A+
C=
D = 1800
Т. к. окружность описана около АВСD, то
А, В, С, D – вписанные, значит,
C=½
BCD + ½
BAD = ½ (
BCD +
D=½
ADC + ½
ABC = ½ (
ADC+
Значит,
B+
Доказательство:
A
А+
Доказать:
A+
C=
B+
BAD) = ½ · 3600 = 1800
ABC) = ½ · 3600 = 1800
D = 1800
Другая формулировка теоремы: во вписанном в окружность
четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
Обратная теорема: если сумма противоположных углов
четырёхугольника равна 1800, то около
него можно описать окружность.
C
B
D
О
Дано: АВСD,
Доказать:
A
A+
C = 1800
Окр.(О;R) описана около АВСD
Доказательство: № 729 (учебник)
Вокруг какого четырёхугольника нельзя описать окружность?
Следствие 1: около любого прямоугольника можно описать
окружность, её центр – точка пересечения диагоналей.
Следствие 2: около равнобедренной трапеции можно описать
окружность.
А
В
К
С
Реши задачи
Найти углы четырёхугольника РКЕН:
В
?
Е
С
К
1200
А
?
800
М
700
О
800
Р
Н