Еще две замечательные точки.

Еще две замечательные точки.
1. Вспомните все известные Вам замечательные точки треугольника. Сделайте
соответствующие чертежи.
2. Перечислите теоремы, которые доказываются с помощью «замечательных» точек.
I этап.
Рассмотрите центры вневписанных окружностей.
Исследуйте:1) их положение;
2) взаимосвязь периметра треугольника отрезков касательных;
Задача1.
В треугольнике ВАС проведены биссектрисы ВL и АК. Отрезок КL лежит на
биссектрисе угла АКС . Найдите угол А.
Задача 2.
С помощью вневписанной окружности доказать, что S = R∙pH, где S – площадь
остроугольного треугольника АВС, R – радиус описанной окружности, pHполупериметр ортоцентрического треугольника Н1Н2Н3.
Задача 3.
Доказать, что точка касания вневписанной в треугольник окружности со стороной,
инцентр и середина высоты, проведенной к этой же стороне, лежат на одной
прямой.
II этап.
Рассмотрим точку пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника с
окружностью, описанной около этого треугольника; это три аналогичные точки:
К1, К2, К3.
Доказать теоремы:
1. Через точку Кi проходит серединный перпендикуляр к соответствующей
стороне треугольника АВС.
2. Справедлива "теорема трилистника": КсА = КсВ = КсI.
Задача 4.
Определите вид треугольника АВС, если АКА = ВКВ = СКС.
Задача 5.
Докажите, что биссектриса АDА угла ВАС делит угол ОАНА пополам.
Задача 6.
Найдите угол С неравнобедренного треугольника АВС, если центр окружности, описанной
около Δ М1М2М3, принадлежит биссектрисе этого угла. (М1, М2, М3 – середины сторон
ΔАВС)
Задача 7.
Для Δ АВС найдите произведение АI∙IКА.
Задача 8.
Для Δ АВС найдите значение выражения:
IK A IK C
IB
II этап.
Рассмотрите точки пересечения биссектрис внутренних углов треугольника и
окружности, описанной около этого треугольника.