Определение: В любой треугольник можно вписать окружность

Вписанные и описанные
окружности.
Основные
определения.
• Окружность называется
вписанной в
многоугольник, если все
стороны многоугольника
касаются этой окружности,
а многоугольник
называется описанным
около этой окружности.
B
A
O
C
D
• Окружность называется
описанной около
многоугольника, если
все вершины
многоугольника лежат
на этой окружности, а
многоугольник
называется вписанным
в эту окружность.
B
A
O
C
D
Теоремы.
Определение: В любой
треугольник можно вписать
окружность и только одну.
A
M
Доказательство:
1) При доказательстве теоремы мы
обозначим буквой О точку
пересечения биссектрис
треугольника ABC.
Проведём из точки О
перпендикуляры ОК, ОL и
OM к сторонам АВ, ВС и
СА.
Поэтому окружность с
центром О радиуса ОК
проходит через точки К, L ,
М, т.к. они
перпендикулярны к
радиусам ОK, ОL и OM.
Значит, окружность с
центром О радиуса ОК
является вписанной в
треугольник АВС.
2) А если предположить,
что в треугольник можно
вписать две окружности,
то можно доказать, что
они совпадут.
C
K
O
B
L
Замечание…
В отличии от треугольника
не во всякий
четырехугольник можно
вписать окружность.
Примите к сведенью.
В любом описанном
четырёхугольнике суммы
противоположных сторон
равны.
Обратное
утверждение:
Если суммы
противоположных сторон
выпуклого
четырёхугольника равны,
то в него можно вписать
окружность.
B
b
c
C
b
c
a
A
d
a
d
D
Определение: около любого
треугольника можно описать
окружность и только одну.
B
Доказательство:
1) При доказательстве теоремы
мы обозначим буквой О точку
пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам
данного треугольника и
проведём отрезки OA, OB и OC.
Т. к. точка О равноудалена от
вершины треугольника ABC, то OA
= OB = OC.
Поэтому окружность с центром О
радиуса ОА проходит через все три
вершины треугольника и, значит,
является описанной около
треугольника АВС.
Теорема доказана.
2) А если допустить, что около
треугольника можно описать две
окружности, то можно доказать, что
они совпадут.
O
A
C
Замечание…
В отличии от треугольника
около четырёхугольника
не всегда можно описать
окружность.
Примите к сведенью.
В любом вписанном
четырёхугольнике сумма
противоположных углов
равна 1800.
Обратное
утверждение:
Если сумма
противоположных углов
четырёхугольника равна
1800, то около него можно
описать окружность.
Задачка…
Дано:
 АВС - равностор.
Окр. (O; r) - впис.
P  = 12 см
Найти: r впис. окр.- ?
B
O
A
C
Решение:
Окр. (О; r) - впис.  О точка пересечения
Бис-с этого треугольника.
ОН
АС, т.к. ВН – высота 
АС – касательная к окр. (О; r) 
ОН = r (ОН – r окр.)
 АВС - равностор.  бис-сы –
медианы и высоты, они
равны.
О принадлежит BH – медиане,
высоте и бис-се  АВС –
прямоугольный; АВ –
гипотенуза; АН = ½ АВ. АВ = 1/3  12 = 4
АВ2 = ВН + АН2
Решаем уравнение и получаем
ВН = 6 (см)
О – точка пересечения медиан.
ВО/ВН = 2/1; 2ОН = ВО
3ОН = ВН
ОН = 6 : 3 = 2 (см)
Задачка…
Дано:
Окр. (O; r) - опис.
АВС – впис.
АВ – диаметр окр.
0
ВС = 134
Найти: углы треугольника
B
O
A
C
Решение:
 ВС лежит против  А;
 ВС = 1340   А = 134 : 2 = 670
АВ – диаметр окр.   АСВ = 900
 А +  В +  С = 1800 (по теореме о сумме углов
треугольника)
 С = 900 ;  А = 670   В = 1800 – 900 – 670 = 230