Для непрерывной случайной величины, заданной функцией

1. Для непрерывной случайной величины, заданной функцией
плотности вероятности f(x) на отрезке [a,b], математическое
b

ожидание (M[x]) находится по формуле: M [ x]  x  f ( x)dx
a
e1 x
Рассчитайте эту величину для случая a=0, b=1, f ( x) 
с
e 1
2
точностью до 7 значащих цифр.
2. Для непрерывной случайной величины, заданной функцией
плотности вероятности f(x) на отрезке [a,b] дисперсия D[x]
b

находится по формуле: D[ x]  x 2  f ( x)dx
a
e1 x
Рассчитайте эту величину для случая a=0, b=1, f ( x) 
e 1
2
с точностью до 6 значащих цифр
3. Для непрерывной случайной величины, заданной функцией
плотности вероятности f(x) на отрезке [a,b] момент n-го порядка
b

находится по формуле: M [ x]  x n  f ( x)dx
n
a
Рассчитайте момент третьего порядка (эксцентриситет) для случая
e1 x
a=0, b=1, f ( x) 
с точностью до 6 значащих цифр
e 1
2
4. Для непрерывной случайной величины, заданной функцией
плотности вероятности f(x) на отрезке [a,b] момент n-го порядка
b

находится по формуле: M [ x]  x n  f ( x)dx
n
a
Рассчитайте момент четвертого порядка для случая a=0, b=2,
e 2 x
с точностью до 6 значащих цифр
f ( x)  2
e 1
2
В задачах 5-10 необходимо найти теплоемкость вещества при
определенных температурах. В соответствии с теорией Дебая,
теплоемкость металла при определенной температуре может быть
найдена по формуле:
9R 4 e x

z

CV  3  x x
dx
,
где
, а θ – константа, зависящая от
T
z 0 (e  1)2
z
природы металла (так называемая температура Дебая).
Типичные значения температуры Дебая в К для некоторых веществ приведены в табл.
Металлы
Hg
Рb
Na
Ag
W
Cu
Fe
Be
θ
60-90
94,5
160
225
270
339
467
1160
Полупроводники
Sn (серое)
Ge
Si
θ
212
366
658
Диэлектрики
AgBr
NaCI
Алмаз
150
320
1850
5. Определите теплоемкость Na при температурах 30К, 60 К с
точностью до шести значащих цифр.
6. Определите теплоемкость меди при температурах 50К, 800 К с
точностью до шести значащих цифр.
7. Определите теплоемкость бромида серебра при температурах 20К,
4000С с точностью до семи значащих цифр.
8. Определите теплоемкость алмаза при температурах 120К, 1000С с
точностью до шести значащих цифр.
9. Определите теплоемкость железа при температурах 200К, 6000С с
точностью до семи значащих цифр.
10.Определите теплоемкость меди и вольфрама при температуре 40К с
точностью до семи значащих цифр.
11. Летучесть f реального газа при определенной температуре Т и
давлении р может быть найдена по уравнению:
Найдите летучесть бензола при температуре 10С и давлении 0.5 атм.
12. Решите задание:
13. Определите с точностью до пяти значащих цифр относительную
погрешность вычисления интеграла:
методами: а) прямоугольников по левому краю
(N=10); б) трапеций (N=10); в) Симпсона (N=5).
14. Определите с точностью до пяти значащих цифр абсолютную
погрешность вычисления интеграла:
методами:
а) трапеций (N=10); б) Симпсона (N=5); в) Гаусса-Котеса с n=4 (N=1).
15. Определите с точностью до шести значащих цифр абсолютную
погрешность вычисления интеграла:
5
ò
1
ln 2 x
dx
x
методами:
а) трапеций (N=20); б) Симпсона (N=5); в) Гаусса-Котеса с n=6 (N=1).
16. Длина кривой y=f(x) в интервале [a, b] может быть найдена
следующим образом:
b
L   1  ( f '( x)) 2 dx . Найдите длину синусоиды в интервале от 0 до π
a
методом Гаусса-Котеса (n=6). Проверьте устойчивость вычисленного
значения, разбив интервал интегрирования на два отрезка.
17. Длина кривой y=f(x) в интервале [a, b] может быть найдена
следующим образом:
b
L   1  ( f '( x)) 2 dx . Найдите длину параболы y=-x2+2x+3 в интервале
a
от 0 до 3 методом Гаусса-Котеса (n=6). Проверьте устойчивость
вычисленного значения, разбив интервал интегрирования на два отрезка.
18. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина
x примет значение в интервале [a,b] (то есть a  x  b ) определяется так:
b
 ( x   )2
1
2 2
P ( a  x  b) 
e
dx , где μ – это математическое ожидание

2 a
случайной величины, а σ2 – ее дисперсия. Найдите вероятность попадания
случайной величины с μ =2 и σ2=1 (с точностью до пяти значащих цифр):
a) в интервал [1,3]
b) в интервал [0,4]
c) в интервал [2,5]
19. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина
x примет значение в интервале [a,b] (то есть a  x  b ) определяется так:
b
 ( x   )2
1
2 2
P ( a  x  b) 
e
dx , где μ – это математическое ожидание

2 a
случайной величины, а σ2 – ее дисперсия. Найдите вероятность попадания
случайной величины с μ =1 и σ2=4 (с точностью до пяти значащих цифр):
a) в интервал [1,3]
b) в интервал [0,4]
c) в интервал [-1,3]
20. Определите с точностью до шести значащих цифр абсолютную
погрешность вычисления интеграла:
p/ 2
p/ 2
e 2x
2x
ò e sin xdx = 5 (2 sin(x ) - cos(x ))
p/ 6
p/ 6
методами:
а) трапеций (N=20); б) Симпсона (N=5); в) Гаусса-Котеса с n=6 (N=1).
21. Определите с точностью до шести значащих цифр абсолютную
погрешность вычисления интеграла:
3
3
x2
1 2
ò 2x + 3dx = 8 (x - 6x + 9 ln(2x + 3))
1
1
методами:
а) трапеций (N=20); б) Симпсона (N=5); в) Гаусса-Котеса с n=6 (N=1).