акм 8 матем Иршатx

1.
Найти два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24.
Ответ: 24 и 144, 48 и120, 72и 96.
Решение : числа делящиеся на 24 это 24, 48,72,96,120,144,168.Среди них суммы
пар чисел с краев дают 168
2.
В каком году родились люди, которым 1958 году исполнилось
столько лет, какова сумма цифр года их рождения?
Ответ: в 1942 году , возраст их в 1958 году составляет 16 лет, сумма цифр года
рождения также 16.
Решение : годы
возраст
сумма цифр
1958
0
23
1957
1
22
1956
2
21
…
…
…
1950
8
15
1949
9
23
Через 8 лет повторяется сумма цифр, поэтому проверяю тех, кому в 1958 году
исполнится в 2 раза больше лет -16, т.е это 1942 года рождения.
3.
Найти такое трехзначное число, удвоив которое мы получим число,
выражающее количество цифр, необходимое для написания всех
последовательных целых чисел от 1 до этого трехзначного числа.
Ответ : 108 и 216
Решение : сумма цифр числа 108 равно 9, умножив 108 на 2 имеем 216, у
которого сумма цифр также равна 9
4.
Если к некоторой сумме денег прибавить через год
1
следующий -
12
1
12
ее, а в
новой суммы, то первоначальная сумма за два года
увеличиться на 16900. Найти первоначальную сумму.
Ответ:14400
1
13
Решение : 1+12 =12 ; 16900 :13 Х12 =15600;15600 :13Х12=14400
Проверяю 14400 +14400:12 =14400 +1200 =15600
15600+15600:12= 15600+1300=16900
5.
Дана система
𝑧
𝑥+𝑦
{ 𝑧
𝑦−𝑥
= 2,
= 3,
где 𝑥>0, 𝑦>0, z>0. Что больше: z
или 𝑥
Ответ : z> 𝑥.
12
Решение : на 2 и 3 делятся числа 6, 12, …подбираю
5+1
12
5−1
6.
= 2,
= 3,
Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике,
имеющим 103 стороны.
Ответ :5150
(𝑛−3)𝑛
Решение : по формуле d=
2
=
(103−3)103
2
=5150
7.
В треугольнике АВС высота ℎ𝑎 составляет половину биссектрисы
внешнего угла этого треугольника при вершине А. Найти разность
углов В и С.
Ответ: 30
Решение :В-С=60-30=30
8.
Найти сумму
+
1
√2+1
√3−√2
+
(√3+√2)(√3−√2)
+
1
√3+√2
⋯+(
+ ⋯+
1
√100+√99
√100−√99
√100+√99)(√100−√99)
=(
√2−1
√2+1)(√2−1)
+
= √2 − 1 + √3 − √2 −
√3 + ⋯ + √99 + √100 − √99 = −1 + √100 = −1 + 10 = 9
9.
Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
𝑥 2 − 𝑦 2 = 69
Ответ:13и 10
Решение : 132 − 102 = 169 − 100 = 69
10. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в
котором не менее 34 учеников.
Доказательство:1000:30=33,3… округляем до целых-33 приходится в среднем на
один класс учеников, затем 33Х30=990;1000-990=10.
Значит возможно, что в 10 классах может быть по 34 ученика.Отсюда
заключаем, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.