Межпредметные связи математики, черчения и информатики с историей

Межпредметные связи математики, черчения и информатики
с историей
Кузнецова Т.И.
Центр международного образования МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва
Аннотация: выявляются и закрепляются межпредметные связи истории и, в
частности, археологии с математикой, черчением и информатикой - на примере
исследования, восстановления форм и расчета сосудов, найденных археологами
Московского университета имени М.В. Ломоносова в «Круглом кургане» в окрестностях
станицы Нижне-Тиловской Ростовской области и в могильнике Бельбек IV в Юго-Западном
Крыму и датированных I в. н. э.
Ключевые слова: межпредметные связи, математика, черчение, информатика,
история, археология, археологические раскопки, сосуды, форма, объем, приближененные
вычисления
***
Чистая математика не может развиваться, не отрицая себя как чистую математику, она
развивается на основе применений, в связи с содержанием, к которому применяется
математический метод
Н.А. Киселева. Математика и действительность
Рассмотрим совершенно особые межпредметные связи математики – с предметом,
который не отмечен ни в одной программе по математике, не намечен ни одной реформой
школьного образования. Почему? Потому что тематически этот предмет не связан с
математикой, однако практика жизни выявляет связи и в таких, можно сказать, безнадежных
случаях. Этот предмет – история. Посмотрим на этот предмет не с событийной точки зрения,
не с хронологической (хотя в нашем случае это тоже далеко не безразлично), а с
искусствоведческой точки зрения.
Посмотрите на обложки учебников по истории, а также других исторических книг
(энциклопедий, популярных изданий, например, [1]) и внимательнее разглядите рисунки в
них. Какие геометрические тела Вы можете усмотреть в архитектуре жилых домов,
культовых построек, в головных уборах, в домашней утвари? Параллелепипеды?
Прямоугольные параллелепипеды? Цилиндры? Прямые круговые цилиндры? Призмы?
Усеченные призмы? Пирамиды? Шары? Более сложные геометрические тела, которые
можно представить составленными из простых известных Вам тел? Всегда ли легко ответить
на этот вопрос? Ощутили себя не только на уроке истории, но и на уроке геометрии, и на
уроке черчения?
Вообще, посмотрите вокруг себя дома, на улице … Постарайтесь увидеть в
окружающем вас мире знакомые вам из геометрии и черчения формы!
Теперь несколько ограничим поле нашего исследования - на сосудах, найденных
при археологических раскопках и рассмотрим статьи [2], [3], посвященные раскопкам на
территории Евразии и написанные археологами Московского университета. Многие из этих
сосудов повреждены, сохранились частично, и только благодаря квалифицированной работе
археологов удалось восстановить их формы. На рис. 1 - 5 изображены сосуды, объемы
которых мы попытаемся вычислить, хотя бы приближенно, при этом будем вычислять
внутренний объем, т. е. вместимость этих сосудов. Напомним терминологию, которую будем
использовать: каждый сосуд состоит их трех частей – тулова (основная, центральная часть
сосуда), горла – устья и дна. Иногда сосуд имеет подставку, выполненную вместе с
сосудом, которая называется поддоном.
Все сосуды будем рассматривать как тела вращения, поэтому каждый сосуд можно
представить состоящим из цилиндров, конусов, усеченных конусов, шаровых сегментов,
шаровых слоев или в более сложных случаях как фигуры, полученные в результате
вращения вокруг оси неких «криволинейных трапеций».
Таким образом, нам понадобятся знания из геометрии – нужно будет вспомнить
формулы для вычисления объемов тел вращения, известные из школьного курса
стереометрии. Проблемы, возникающие попутно в связи с определением числовых значений
некоторых необходимых параметров (например, радиуса шара, определяющего форму
рассматриваемого сосуда), потребуют вспомнить и отдельные разделы из планиметрии.
Чтобы вычислить объем сосуда, необходимо измерить его размеры. Для этого надо
сначала изготовить линейку по масштабу, изображенному рядом с сосудом, и только после
этого этой линейкой измерить необходимые параметры (радиусы дна, горла, промежуточные
радиусы тулова, высоты). Кроме того, всегда будем иметь в виду, что наша задача –
вычислить объем сосуда приближенно, но все-таки «достаточно хорошо», т. е. с учетом
индивидуальных масштабов и характерных особенностей рассматриваемых геометрических
форм.
Потребуется вспомнить и приближенные вычисления, причем, с естественной
необходимостью, поскольку как конструирование линейки, так и измерения, которые мы
будем производить, практически не будут точными. Для этого достаточно заглянуть в
учебник алгебры для 8 класса. Для каждой схемы вычислений мы будем предлагать
программу, дающую возможность получить искомые результаты с помощью компьютера,
при этом представленные программы совместимы с Microsoft Quick-Basic 4.5 и при их
составлении используется методика пособия [4].
1. Цилиндрические сосуды. Рассмотрим глиняное блюдо рис. 1а найденное в
«Круглом кургане» в окрестностях станицы Нижне-Тиловской, расположенной на Дону
недалеко от Ростова (см. [2, с. 213, рис. 4,7]). Блюдо датируется серединой I в. н. э. На с. 196
авторы так описывают форму этого блюда: «невысокое, форма близка к полусферической,
однако стенки тулова практически прямые».
Из рис. 1а видно, что соединение дна со стенкой тулова закруглено – именно поэтому
авторы статьи сказали о полусферической форме, однако поскольку закругление
невелико, мы можем его не учитывать, т. е. можем считать, что рассматриваемое блюдо
имеет цилиндрическую форму.
а
б
Рис. 1
Вычисление внутреннего объема блюда разобьем на следующие этапы:
1) по масштабу, изображенному рядом с сосудом, на полоске бумаги
изготавливаем линейку (см. рис. 1б);
2) этой линейкой измеряем необходимые размеры сосуда – радиус его основания r и
его высоту h;
3) вычисляем искомый объем данного сосуда по формуле
Vцил.= πr2h.
(1)
В нашем случае измерения дают r = 12,6 см, h = 4 см. Ясно, что эти значения
приближенные, причем, второе значение целесообразно записать как 4,0 см. Возникает
вопрос: как «грамотно», с точки зрения теории приближенных вычислений, выполнить
вычисления по формуле (1)? Руководствуясь основными положениями теории приближений,
определим относительную точность исходных данных, по необходимости записав их в
стандартном виде: r = 1,26 ∙ 10 см, h = 4,0 см, откуда видно, что менее точным
приближением является значение h, заданное с относительной точностью до десятых долей
единицы, или, иными словами, имеющее две значащие цифры.
Итак, сначала вычисляем r2 = 12,6 ∙ 12,6 = 158,76. Это число округляем до трех
значащих цифр в соответствии с правилом для промежуточных вычислений (об этом см.,
например, [5, c. 68]) и таким образом получаем r2 ≈ 159. Далее, это число умножаем на 4,0 и
получаем r2h = 636,0; округляя его до трех цифр (отмечаем этот шаг, хотя в данном случае он
кажется тривиальным), имеем: r2h = 636. В заключение осталось умножить последнее число
на приближенное значение числа  . Очевидно, что для решения данной конкретной
задачи в качестве приближенного значения  достаточно взять число 3,14. Таким
образом, получаем V = 1997,04. В соответствии с правилом округления окончательного
результата, округляем это значение до десятых долей единицы в первом множителе его
стандартной записи, или, что то же самое, до двух значащих цифр: V = 1,99704 ∙ 103 см3 ≈ 2,0
∙ 103 см3 = 2000 см3 = 2 дм3 = 2 л.
Задача решена. Теперь составим программу для вычисления объемов цилиндрических
сосудов:
ПРОГРАММА 1
10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДР. СОСУДА
20 PRINT «ВВЕДИТЕ R И H»
30 INPUT R, H
40 PRINT «V=»; 3.14  R^2  H; «куб. см»
50 END
Запустив эту программу и введя исходные значения r и h из рассматриваемого
примера, получаем:
V = 1994.026 куб. см
После округления, выполненного аналогично предыдущему, получаем: V ≈ 1,994026 ∙
3
3
10 см ≈ 2,0 ∙103 см3 = 2000 см3 = 2 дм3 = 2 л.
Это и есть окончательный результат.
2. Усеченно-конические сосуды. Рассмотрим керамическую чашу рис. 2,
найденную при раскопках могильника Бельбек IV в Юго-Западном Крыму (см. [3, с. 259,
рис. 5,4]) и датированную III четвертью I в. н. э. Она имеет усеченно-коническую форму, что
и отмечено в комментариях к рисунку в статье на с. 242.
Последовательность работы та же самая, что и в предыдущем случае:
1) по масштабу, изображенному рядом с тарелкой, изготавливаем линейку; заметим,
что если Вы сравните масштабы рис. 1 и рис. 2, то увидите, что они одинаковые,
поэтому при решении данной задачи можно воспользоваться линейкой из
предыдущего пункта (см. рис. 1б);
Рис. 2
2) этой линейкой измеряем необходимые размеры тарелки – радиус его основания r1,
максимальный радиус по краю горла r2 и его высоту h;
4) вычисляем искомый объем данного сосуда по формуле
1
Vусеч. кон.= πh(r 12 + r1r2 + r 22 ).
(2)
3
Для рассматриваемой чаши измерения дают
r1 = 2,0 см, r2 = 3,8 см, h = 3,6 см.
(3)
Из полученных значений видно, что все они уже имеют стандартный вид и одну и ту
же относительную точность – до десятых долей единицы. Поэтому, подставив эти значения в
формулу (2) и руководствуясь правилами промежуточных округлений (см., например, [5,
с. 68]), получаем: r 12 = 2,02 = 4,00; r 22 = 3,82 = 14,44; r1r2 = 2,0 ∙ 3,8 = 7,60 – во всех результатах
удерживаем две цифры после запятой, т. е. на одну больше, чем в исходных данных,
поскольку следующее действие – сложение. Выполнив сложение, получаем: r 12 + r1r2 + r 22 = =
26,04. Так как следующее действие – умножение, то удерживаем три значащих цифры, т. е.
на одну больше, чем в исходных данных и приходим к числу 26,0. Следующее действие –
умножение полученного числа на значение h: 26,0 ∙ 3,6 = 93,60. Опять, так как следующее
действие – умножение, удерживаем три значащие цифры и приходим к числу 93,6.
Умножая это число на 3,14, получаем 293,904. Поскольку следующее действие – деление,
округляем это число до третьей значащей цифры и приходим к числу 294. Деля его на 3,
получаем число 98. Так как это число имеет две значащие цифры (такое же количество, как и
исходные данные) и не имеет дробной части, можно считать, что это и есть окончательный
результат. Задача решена. Итак, V ≈ 98 см3.
Составим программу для вычисления объемов усеченно-конических сосудов:
ПРОГРАММА 2
10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА
20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2 И H»
30 INPUT R1, R2, H
40 PRINT «V=»; 3.14  H  (R1^2 + R1  R2 + R2^2)/3; «куб. см»
50 END
Запустив эту программу и введя значения исходных данных (3), на экране дисплея
получаем:
V = 98.16871 куб. см
Округлив это число до двух значащих цифр или, записав это значение в стандартном
виде и округлив его первый множитель до десятых долей (так как все исходные данные
получены именно с такой точностью), приходим к следующему окончательному результату:
V ≈ 9,816871 ∙ 10 см3 ≈ 9,8 ∙ 10 см3 = 98 см3, который, естественно, совпадает с полученным
вручную.
3. Усеченно-сферические сосуды. Рассмотрим бронзовый котел рис. 3а, из
«Круглого кургана» (см. [2, с. 215, рис. 6,2]) и датированный I половиной I в. н. э. На с.
199 – 200 авторы статьи так описывают форму этого котла: «тулово котла полусферическое,
с сужающимися к устью стенками». Перенесем на кальку очертания этого котла. Так как для
вычисления объема усеченного шара необходимо знать радиус шара и высоту шарового
сегмента, то необходимо выполнить некоторые построения (см. рис.3в):
1) диаметр отверстия делим пополам и получаем точку K;
2) через найденную точку K проводим перпендикуляр, являющийся осью вращения
рассматриваемого шарового сегмента. Ее отрезок KL – искомая высота;
3) чтобы найти радиус, необходимо найти центр предполагаемого шарового
сегмента. Ясно, что он находится на построенной высоте KL. Проводим любую
хорду, например, AL, делим ее пополам и из полученной середины восставляем
перпендикуляр к этой хорде. Построенный перпендикуляр пересечет высоту в
какой-то точке О. Эту точку мы можем принять за искомый центр, а отрезок OL –
за искомый радиус. Для уточнения значения радиуса можно сделать
дополнительные построения – провести еще одну хорду (или две) и построить
соответствующий центр O1 (или два – O1 и O2).
Далее поступаем аналогично предыдущим случаям:
4) по имеющемуся на рис. 3а масштабу изготавливаем линейку (см. рис. 3б);
5) измеряем высоту и радиусы: |KL| = h, |OL| = r1, |O1L| = r2 (|O2L| = r3). Вычисляем
значение радиуса r как среднее арифметическое значений r1 и r2 (и r3):
r r r
r r
r = 1 2 (или r = 1 2 3 ).
(4)
2
3
6) Вычисляем искомый объем по формуле для шарового сегмента
1
V = πh(h2 + 3r2).
(5)
6
а
б
в
Рис. 3
В нашей конкретной задаче измерения дают:
r1 = 20,5 = 2,05 ∙ 10 (см), r2 = r3 = 22,4 = 2,24 ∙ 10 (см), h = 31,0 = 3,10 ∙ 10 (см),
(6)
откуда видно, что исходные данные заданы с абсолютной точностью до одного знака после
запятой и с относительной точностью до трех значащих цифр. Значит, промежуточные
вычисления по формуле (5) надо будет производить с двумя знаками после запятой
(сложение) и с четырьмя значащими цифрами (умножение и деление):
1) r1 + r2 + r3 = 20,5 + 22,4 + 22,4 = 65,3;
2) r = 65,3/3 = 21,76(6) ≈ 21,77;
3) r2 = 21,772 = 473,9329 ≈ 473,9;
4) 3r2 = 3 ∙ 473,9 = 1421,7;
5) h2 = 31,02 = 961,00;
6) h2 + 3r2 = 961,00 + 1421,7 = 2382,70;
7) h(h2 + 3r2) = 31,0 ∙ 2382,70 = 73863,700 ≈ 73860;
8)  h(h2 + 3r2) = 3,142 ∙ 73860 = 232068,120 ≈ 232100;
9) V = 232100/6 = 38683,(3) ≈ 38700.
Таким образом, задача решена и V ≈ 38700 см2 = 38,7 дм2 = 38,7 л.
Теперь составим программу для вычисления объемов усеченно-сферических сосудов:
ПРОГРАММА 3
10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-СФЕРИЧ. СОСУДА
20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2, R3 И H»
30 INPUT R1, R2, R3, H
40 PRINT «V=»; 3.142  H  (H^2+3  ((R1+R2+R3)/3)^2)/6; «куб. см»
50 END
Запустив программу и введя значения (6) исходных данных, получаем:
V = 38674.49 куб. см
Округлив это значение до трех значащих цифр, получаем окончательный ответ:
V ≈ 38700 см3 = 38,7 дм3 = 38,7 л.
А теперь перейдем к более сложным сосудам, которые можно представить
составленными из нескольких элементарных сосудов.
4. Два конуса. Рассмотрим керамические тарелку рис. 4 и чашу рис. 5, найденные
при раскопках могильника Бельбек IV (см. [3, с. 256, рис. 2,5 и с. 259, рис. 5,5]).
4.1. Тарелка, датированная III – началом IV четверти I в. н. э., как отмечают авторы
статьи на с. 237, имеет усеченно-коническое тулово, расширяющееся кверху. Действительно,
тарелка практически состоит из двух конусов (см. рис. 4): нижнего - с радиусами r1, r2 и
высотой h1, и верхнего - с радиусами r3 , r4 и высотой h2 .
Ясно, что объем тарелки равен сумме объемов двух конусов, поэтому, дважды
воспользовавшись методикой п. 2, получим искомый объем:
1) линейкой п. 1 без труда измеряем необходимые размеры: r1 = 4,9 см, r2 = 5,6 см, h1
= 1,8 см; r3 = 6,2 см, r4 = 6,4 см, h2 = 0,7 см, откуда видно, что объем нижнего
конуса надо будет рассчитывать с точностью до двух значащих цифр,
промежуточные вычисления – с точностью до двух десятичных знаков (сложение)
и до трех значащих цифр (умножение и деление), а верхний конус – с точностью
до одной значащей цифры, промежуточные вычисления – с точностью до двух
десятичных знаков (сложение) и до двух значащих цифр (умножение и деление);
Рис. 4
Рис. 5
2) с помощью формулы (2) получаем:
Vнижн. кон.= (3,14 ∙ 1,8) ∙ (4,92 + 4,9 ∙ 5,6 + 5,62)/3 =
= 5,652 ∙ (24,01 + 27,44 + 31,36)/3 ≈ 5,65 ∙ 82,81/3 ≈
≈ 5,65 ∙ 82,8/3 = 467,820/3 ≈ 468/3 = 156 ≈ 160;
V верхн. кон.= (3,1 ∙ 0,7) ∙ (6,22 + 6,2 ∙ 6,4 + 6,42)/3 =
=2,17 ∙ (38,44 + 39,68 + 40,96)/3 ≈ 2,2 ∙ 119,08/3 ≈
≈ 2,2 ∙ 119/3 = 261,8/3 ≈ 260/3 = 86,(6) ≈ 90;
V = Vнижн. кон. + V верхн. кон. ≈ 160 + 90 = 250 см3 = 0,25 дм3 ≈ 0,25 л.
Дважды воспользовавшись Программой 3, получаем:
для нижнего конуса V = 156.014 куб. см
для верхнего конуса (заменив в строке 40 значение числа  с 3.14 на 3.1) –
V = 86.13453 куб. см
Округлив первое значение до двух значащих цифр, а второе – до одной, а затем
сложив полученные значения, получаем то же число, что и вручную.
4.2. Теперь перейдем к чаше рис. 5, датированной II половиной I в. н. э. Авторы
статьи на с. 243 назвали ее чашей полусферической формы, на самом же деле она не очень
похожа на часть сферы. Чтобы убедиться в этом, достаточно провести построения,
описанные в предыдущем пункте 3.3, которые дадут достаточно далеко друг от друга
расположенные «центры». Внимательно приглядевшись к этой чаше, поймем, что
правдоподобнее рассматривать ее как сосуд, составленный из двух конусов, важно только
выявить место их стыковки, затем провести горизонтальный отрезок до пересечения с
высотой и тем самым определить соответствующий радиус (стыковки) и высоты нижнего
конуса и верхнего усеченного конуса.
Изготовив линейку (или воспользовавшись линейкой из примера п. 1 – масштаб в том
примере такой же, как в рассматриваемом) и измерив с ее помощью соответствующие
радиусы и высоты, получаем числовые значения r1, r2, h1, h2 и вычисляем объем чаши как
сумму двух объемов:
1
1
V = V1 + V2 , где V1 = Vкон.= π r12h1 и V2 = Vусеч. кон.= πh2(r 12 + r1 r2 + r 22 ). (7)
3
3
Для нашего конкретного примера имеем:
r1 = 4,1 см, h1 = 0,9 см, r2 = 5,0 см, h2 = 3,8 см,
(8)
откуда видно, что объем нижнего конуса надо будет рассчитать с точностью до одной
значащей цифры, промежуточные вычисления – с точностью до двух значащих цифр, а
объем верхнего конуса – с точностью до двух значащих цифр, промежуточные вычисления –
с точностью до двух десятичных знаков (сложение) и до трех значащих цифр (умножение и
деление).
С помощью формул (7) после подстановки в нее значений исходных данных (8)
приходим к следующему:
V кон.= 3,1 ∙ 4,12 ∙ 0,9/3 = 3,1 ∙16,81 ∙ 0,9/3 ≈ (3,1 ∙ 16,8) ∙ 0,9/3 =
= 52,08 ∙ 0,9/3 ≈ 52 ∙ 0,9/3 = 46,8/3 ≈ 47/3 = 15,(6) ≈ 20
– число, полученное с абсолютной точностью до десятков;
V усеч. кон.= 3,14 ∙ 3,8 ∙ (4,12 + 4,1 ∙ 5,0 + 5,02)/3 =
(3,14 ∙ 3,8) ∙ (16,81 + 20,50 + 25,00)/3 = 11,932 ∙ 62,31/3 ≈
≈ 11,9 ∙ 62,3/3 = 741,37/3 ≈ 741/3 = 247 ≈ 250
– число, полученное с абсолютной точностью тоже до десятков, поэтому, сложив
числовые значения вычисленных объемов, мы должны округлить полученную сумму
тоже до десятков: V ≈ 20 см3 + 250 см3 = 270 см3 = 0,27 л. Для вычисления искомого объема
можно составить новую программу, частично переработав Программу 2:
ПРОГРАММА 4
10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА - 2
20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2 И H1, H2»
30 INPUT R1, R2, H1, H2
40 PRINT «V1=»; 3.1  R1^2  H1/3,
50 PRINT «V2=»; 3.14  H2  (R1^2 + R1  R2 + R2^2)/3; «куб. см»
60 END
С помощью этой программы для нашего примера получаем
V1 = 15.6333 куб. см
V2 = 247.8276 куб. см
Округлив первое значение до одной значащей цифры, а второе – до двух, а затем
сложив полученные значения, получаем то же число, что и вручную. Предлагаем читателю
провести вычисления вручную по формуле (7), а затем сравнить вновь полученный результат
с полученным на компьютере.
В заключение отметим, что настоящие разработки являются редким примером
межпредметных связей математики, черчения, истории (на уровне Древней истории,
искусствоведения, археологии) и информатики. При этом можно смело сказать, что эти связи
выступают в настолько тесном виде, что их можно назвать не иначе, как интеграция [6].
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Энциклопедия для детей / Глав. ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, т. 1 (Всемирная
история) / Сост. С.Т. Исмаилова. – 1994. – 704 с.; т. 5 (История России), ч. 1. – 1995. –
670 с.; ч. 2. – 1997. – 704 с.; ч. 3. – 1996. – 672 с.; т. 6 (Религии мира), ч. 2. – 1996. –
688 с.; т. 7 (Искусство), ч. 1. – 1997. - 688 с.; ч. 2. – 1999. - 656 с.; т. 11 (Математика). –
1998. – 688 с.; т. 13 (Страны. Народы. Цивилизации). – 1999. – 704 с.
Демиденко С.В., Журавлев Д.В., Трейстер М.Ю. «Круглый курган» из раскопок В.Г.
Тизенгаузена. - В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. С.В.
Демиденко, Д.В. Журавлев. – М.: ГИМ – МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997, с. 186 – 215.
Журавлев Д.В. Краснолаковая керамика группы Eastern sigillata B из могильника
Бельбек IV в Юго-Западном Крыму. – В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное
издание / Отв. ред. С.В. Демиденко, Д.В. Журавлев. – М.: ГИМ – МГУ им. М.В.
Ломоносова, 1997, с.227 – 260.
Брычков Е.Ю., Кузнецова Т.И. Введение в информатику. – М.: УРСС, 1997. – 208 с.
Математика. Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер.с нем. – М.:
Дрофа, 1999. – 368 с.
Кузнецова Т.И. Модель выпускника подготовительного факультета в пространстве
предвузовского математического образования. – М.: КомКнига, 2005. – 478 с.