Виды распределений дискретных случайных величин

Основные распределения дискретных случайных величин.
Биномиальный закон распределения.
Определение: Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному
закону, если ее возможные значения 0,1,2, …, m, …,n, а соответствующие вероятности
Pn (k )  C nk p k q n k ,
k  0,1,2,... n. (1)
Где 0<p<1, q=1-p.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
Хi
0
1
2
…
pi
q
n
p
i 1
i
1
n
n
1
C pq
n 1
2
n
2
C p q
n2
m
…
m
n
m
C p q
nm
…
…
n
n
p
 q n  C n1 p 1 q n 1 + C n2 p 2 q n  2 +…+ C nm p m q n  m +…+ pn=(q+p)n=1n=1. То есть ряд
распределения задан корректно.
Приведем многоугольники распределений для случайной величины Х с параметрами
распределения n=5 и p=0,2; 0,5; 0,7;0,8. Для этого составим вспомогательную таблицу:
1
0,4096
0,2
0,5 0,03125 0,15625
0,7 0,00243 0,02835
0,8 0,00032 0,0064
pi/m
0
0,00032
2
0,2048
0,3125
0,1323
0,0512
3
4
0,0512 0,0064
0,3125 0,15625
0,3087 0,36015
0,2048 0,4096
5
0,00032
0,03125
0,16807
0,32768
Биномиальное распределение при n=5
0,45
0,4
0,35
0,3
р=0,2
0,25
р=0,5
0,2
р=0,7
0,15
р=0,8
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
Теорема: Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по
биномиальному закону
М(Х)=np,
(2)
а ее дисперсия
D(X)=npq.
(3).
Примеры: 1) В магазин поступили изделия с двух фабрик в отношении 1:4. Куплено 5
изделий. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа
купленных изделий , изготовленных первой фабрикой.
Решение: Вероятность, что случайно выбранное изделие будет изготовлено первой
фабрикой равна р=1/(1+4)=1/5=0,2. Найдем математическое ожидание и дисперсию по
формулам М(Х)=np= 5  0,2 =1. D(X)=npq=5  0,2  0,8 =0,8.   D( X )  0,894 .
2) Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад
выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти
закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение:
Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в
котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96.
Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.
mx  pn  1000  0,96  960;
Dx  npq  1000  0,96  0,04  38,4;
3) Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в
двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом
испытании равны и известно, что М(Х) = 0,9.
Решение:
Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то
M ( X )  np  2 p  0,9;  p  0,45;
D( X )  npq  2 p(1  p)  2  0,45  0,55  0,495.
4) Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события
А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа
появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
Решение:
По формуле дисперсии биноминального закона получаем:
D( X )  npq  3 p(1  p)  0,63;
3 p 2  3 p  0,63  0
p 2  p  0,21  0;
p1  0,7; p2  0,3;
Закон распределения Пуассона.
Определение: Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с
параметром  =np>0 , если она принимает значения 0,1,2,3,….,m,….(Бесконечное, но
счетное множество значений) с вероятностями
m e  
Ð( Õ  m)  Pn (m) 
. (4)
m!
Ряд распределения Пуассона имеет вид:
Хi
0
1
2
…
m
…
pi
 
  
2   
…
m e  
…
2!
m!
Определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения


2   
m e  





p

1
p

выполнено,
так
как
+
+
+….+
+…=


i
i
2!
m!
i 1
i 1


2 3
=    1   
  ....        =1 (ибо в скобках записано разложение в ряд
2! 3!


÷
функции  при х=  ).
Составим многоугольники распределений для случайной величины Х с параметрами
распределения  =0,5 ;  =1;  =2;  =3,5. Для этого составим вспомогательную
таблицу:
m/ 
0
1
2
3
4
5
0,5
0,608581
0,30429
0,076073
0,012679
0,001585
0,000158
1
0,37037
0,37037
0,185185
0,061728
0,015432
0,003086
2
0,137174
0,274348
0,274348
0,182899
0,091449
0,03658
3,5
0,030919
0,108217
0,189379
0,220943
0,193325
0,135327
Распределение Пуассона
0,7
0,6
0,5
л=0,5
0,4
Pm
л=1
л=2
0,3
л=3,5
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
m
Теорема: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной
по закону Пуассона совпадают и равны параметру  этого закона
М(Х)=  ,
(5)
D(X)=  .
(6).
Доказательство:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму
произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество
значений:


M [ X ]   mPm   m
m
e  .
m!
Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование
можно начинать с m=1:



m  
mm1
m1
Ì Õ    m
e  e  
 e  
 e  e   .
m!
m!
m 1
m 1
m 1 (m  1)!
Таким образом, параметр  а представляет собой не что иное, как математическое
ожидание случайной величины Х.
m 0
m 0
Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
2
D( X )  M  X  M ( X ) .
Однако, удобнее ее вычислять по формуле:
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ).
Поэтому найдем сначала

m
m 0
m!
M[ X 2 ]   m2

e     m
m 1

   [( m  1)  1]
m 1
m1
e  
(m  1)!
m1
e  
(m  1)!

m1   m1  
   (m  1)
e 
e .
(m  1)!
m 1 ( m  1)!
 m1


По ранее доказанному

 (m  1)
m 1
m1
(m  1)!

k
k 0
k!
e    k
e    ;
кроме того,

m1
 (m  1)! e   e  e   1,


m 1
следовательно,
 
Ì Õ 2   (  1).
Далее можно найти дисперсию случайной величины Х:
D ( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X )   2 .    2   .
Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна
ее математическому ожиданию  .▄
Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения
вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по
закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики математическое ожидание и дисперсию - случайной величины. Если их значения близки,
то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое
различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы.
Вообще говоря, закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.
Так как функция вероятностей Пуассона хорошо аппроксимирует функцию вероятностей,
определяемую по формуле Бернулли при ð  0, n  , np    const . Так как при этом
вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределенипя Пуассона
называется часто законом редких явлений.
По закону Пуассона распределены, например, число отказов сложной системы в
«нормальном режиме», число требований на обслуживание, поступивших на единицу
времени в системах массового обслуживания, число рождения пятерней, число событий,
попадающих на произвольный отрезок времени для простейшего потока событий.
Примеры:
1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга.
Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность
того, что за время Т откажут ровно три элемента.
Р е ш е н и е . Т.к. по условию n=1000 достаточно велико, а m=0,002 мало, можно
воспользоваться распределением Пуассона:
m
e  ,
m!
где  а=np=1000·0,002=2.
23
8
P1000 (3)  e 2  0,13534  0,18
3!
6
Pn (m) 
2. При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в
случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна р=0,01.
Считая применимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо
испытать образцов, чтобы с вероятностью р=0,95 указанный эффект наблюдался по
крайней мере 1 раз.
Р е ш е н и е . События "указанный эффект наблюдался по крайней мере один раз"
(обозначим через Р) и "указанный эффект не наблюдался ни одного раза" (обозначим
через Q), очевидно, являются противоположными. Следовательно, P+Q=1, откуда
Р=1-Q=1-Pn(0)=1-e-  .
По условию Р=0,95, следовательно
е-  =0,05,
 =np=3,
откуда

3
n 
 300.
p 0,01
Таким образом, искомое среднее число образцов, которое необходимо испытать, - 300
штук.
3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р=0,01. Сколько нужно купить
билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем
0,98?
Р е ш е н и е . Вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить,
очевидно, велико, поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближенно
распределение Пуассона.
События "ни один из купленных билетов не является выигрышным" и "хотя бы один
билет - выигрышный" - противоположные. Поэтому сумма вероятностей этих событий
равна единице:
Рn(0)+P=1, или Р=1-Рn(0)=1-
0
e  =1-е-  .
0!
По условию, Р≥0,98, или 1-е-  ≥0,98. Откуда е-  ≤0,02.
По таблице найдем е-3,9=0,02. Т.к. функция е-х - убывающая, предыдущее неравенство
выполняется при  ≥3,9, или np≥3,9. Отсюда n≥3,9/0,01=390.
Таким образом, надо купить не менее 390 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из
них.
4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность
того, что за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова; за две секунды на АТС
поступит меньше двух вызовов.
Р е ш е н и е . Среднее число вызовов за две секунды равно:
120
2
 4.
60
Вероятность того, что на станцию в течение 2-ух секунд не поступит ни одного вызова
равна:
P  Pn (0)  e    e 4  0,018.
Событие, состоящее в поступлении менее двух вызовов, означает, что на станцию либо не
поступило ни одного вызова, либо поступил только один. Таким образом, вероятность
поступления менее 2-ух вызовов за то же время равна:
P  P0  P1  e  (1   )  0,18  5  0,09.
Геометрический закон распределения.
Последовательно проводится несколько независимых испытаний до появления некоторого
события Х , вероятность которого в каждом испытании одна и та же и равна р . Примером
может служить стрельба по некоторой цели до первого попадания, причём вероятность
попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и
сохраняет постоянное значение. Число произведённых выстрелов будет случайной
величиной, возможные значения которой являются все натуральные числа.
Определение: Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром
р, если она принимает значения 1,2,…., m,….(бесконечное, но счетное множество
значений с вероятностями)
Р(Х=m)=pqm-1, где 0<p<1, q=1-p. (7)
Ряд геометрического распределения имеет вид:
1
2
3
…
m
Хi
…
2
m-1
р
qp
qp
q p
pi
…
…
Как мы видим, вероятности рi образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q.
Отсюда и название: геометрическое распределение.
Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда

1
p
pi  p  pq  pq 2  pq 3  ....  p (1  q  q 2  q 3  .....)  p
  1.

1 q p
i 1
Теорема: Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по
геометрическому закону с параметром р
1
М(Х)= ,
(8)
ð
q
.
(9).
p2
Пример: Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной без
ограничений числа проверенных деталей. Составить закон распределения числа
проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно,
что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
Решение: Случайная величина Х – число проверенных деталей до обнаружения
бракованной имеет геометрическое распределение с параметром p=0,1. Ряд распределения
имеет вид
1
2
3
…
m
Хi
…
m-1
0,1
0,09
0,081
0,9
0,1
pi
…
…
q
0,9
1
1
По формулам (7) и (8) М(Х)= 
 10 , D(X)= 2  2  90 .
p
0,1
ð 0,1
D(X)=
Гипергеометрический закон распределения.
Определение: Дискретная случайная величина Х=m имеет гипергеометрическое
распределение с параметрами n, N,M, если она принимает значения 0,1,2,…,m,..
C Mm C Nn mM
C вероятностями
(10),
Ð( Õ  m) 
C Nn
Где M  N , n  N , n, M, N – натуральные числа.
Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина X=m - число объектов,
обладающих данным свойством, среди n объектов , случайно извлечённых (без возврата)
из совокупности N объектов, M из которых обладают этим свойством.
Теорема: Математическое ожидание случайной величины X, имеющей
гипергеометрическое распределение с параметрами n, N, M, равно,
M
Ì ( Õ)  n
(11)
N
а её дисперсия
M  M 
n
D( X )  n
1  1   (12).
N 1
N 
N
Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического
приёмочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с
организацией выборочных обследований и некоторых других областях.
Гипергеометрическое распределение возникает также в случаях, подобных следующему:
В урне N шаров, из которых M белых, а остальные черные. Из нее наудачу вынимается n
шаров. Требуется найти вероятность того, что среди них будет ровно m белых, а
остальные – черные. Случайная величина Х – число белых шаров, извлеченных из урны.
Пример. В национальной лотерее "6 из 45" денежные призы получают участники,
угадавшие от трёх до шести чисел из случайно отобранных 6 из 45 (размер выигрыша
увеличивается с увеличением числа угаданных чисел). Найти закон распределения,
математическое ожидание и дисперсию случайной величины X - числа угаданных чисел
среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза?
Решение. Случайная величина X - число угаданных чисел среди случайно отобранных
шести - имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n=6, N=45, M=6. Ряд
распределения X, рассчитанный по формуле (10)
C Mm C Nn mM
C Nn
0
0,40056
Ð( Õ  m) 
имеет вид
Хi
1
0,42413
pi
2
0,15147
3
0,02244
4
0,00137
5
0,00003
6
0,0000001
Вероятность получения денежного приза
P(3≤X≤6)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=0,02244+0,00137+0,00003+0,0000001  0,024.
По формулам
Таким образом, среднее число угаданных чисел мало (меньше единицы), а вероятность
выигрыша составляет всего лишь около 2%.
Упражнение : Подготовить сообщение о распределении Паскаля; распределении
Маркова-Пойа.