ЛЕКЦИЯ 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1
ЛЕКЦИЯ 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
До сих пор мы изучали функцию одной переменной, т.е. когда
значение одной переменной зависит от значения другой независимой
переменной. Можно привести много примеров, когда независимых
переменных оказывается несколько. Так площадь прямоугольника S  a  b
изменяется с изменением длин его сторон a и b , объем цилиндра V  r 2 h
изменяется с радиусом основания r и высотой цилиндра h , объем
прямоугольного параллелепипеда V  a  b  c изменяется с изменениями
трех его измерений a , b , c и т.д.
12.1 Определение функции двух и более переменных
Пусть дано некоторое множество D упорядоченных пар чисел
( x, y ) .
Величина z называется ф у н к ц и е й д в у х п е р е м е н н ы х x
и y , если существует правило или закон, по которому каждой паре чисел
( x, y )  D соответствует вполне определенное значение z .
Переменные x и y называются независимыми переменными или
аргументами. Область D называется о б л а с т ь ю о п р е д е л е н и я
функции.
Обозначение функции двух переменных:
z  f ( x, y ) , z  z ( x, y ) , z  F ( x, y) и т.д.
Функцию z  f ( x, y ) можно рассматривать как функцию точки
M ( x, y) плоскости OXY и обозначить z  f (M ) .
Значение функции z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y0 ) обозначают
f ( x0 , y0 ) , f ( M 0 ) .
Переменная величина U называется функцией н е с к о л ь к и х
н е з а в и с и м ы х п е р е м е н н ы х , если каждой системе значений
( x1, x2 ,..., xn ) этих переменных из данной области их значения
соответствует единственное значение величины U .
Обозначение:
U  f ( x1, x2 ,..., xn ) , x1 , x2 ,..., xn - аргументы функции.
12.2 Область определения функции
Областью определения D функции z  f ( x, y ) , ( x, y )  D может
быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями –
границами области. Точки области, не лежащие на границе, называются
внутренними.
Область называется о т к р ы т о й , если она состоит только из
внутренних точек.
Область с присоединенной к ней границей называется з а м к н у т о й
2
и обозначается D .
Область называется о г р а н и ч е н н о й , если существует такое
число C  0 , что расстояние любой точки M области от начала координат
меньше C , т.е. OM  C
Пример 12.1. Найти область определения функции z  1  x 2  y 2 .
Решение.
Для того, чтобы значения функции z были действительными
числами, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е.
1  x 2  y 2  0 или x 2  y 2  1 .
Уравнением границы области является окружность x 2  y 2  1 .
D - замкнутая, ограниченная область (рис.57).
Рисунок 57
12.3 Геометрическое изображение функции двух переменных
Изобразим в плоскости OXY область определения функции
z  f ( x, y ) . В каждой точке P( x, y)  D восстановим перпендикуляр к
плоскости OXY и отложим на нем значение функции z  f (P) .
Геометрическое место всех точек M ( x, y, z ) есть некоторая
поверхность, которая является геометрическим изображением функции
z  f ( x, y ) (рис.58).
z
M
O
у
D
Р
х
Рисунок 58
3
Существует способ изображения функции двух переменных,
основанный на сечении поверхности z  f ( x, y ) плоскостями z  C , где
C - любое число.
Л и н и е й у р о в н я функции z  f ( x, y ) называется множество
точек ( x, y ) плоскости OXY , в которых функция принимает одно и то же
значение C . При различных C получаются различные линии уровня для
данной функции (рис.59).
z
z  f ( x, y )
z  C3
z  C2
z  C1
O
y
x
Рисунок 59
12.4 Предел функции двух переменных
 -о к р е с т н о с т ь ю
точки M 0 ( x0 , y0 ) называется множество
всех точек M ( x, y) плоскости, координаты которых удовлетворяют
неравенству:
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2   .
х0
Рисунок 60
Пусть z  f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки
M 0 ( x0 , y0 ) , кроме быть может, самой этой точки.
4
Число A называется п р е д е л о м ф у н к ц и и z  f ( x, y ) при
x  x0 и y  y0 (т.е. при M ( x, y )  M ( x0 , y0 ) ), если для любого   0
существует   0 такое, что для всех x  x0 и y  y0 удовлетворяющих
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2   будет выполняться неравенство
неравенству
f ( x, y)  A   .
Обозначение: lim f ( x, y )  A или lim f ( M )  A .
x  x0
y  y0
M M 0
Основные свойства предела функции двух переменных аналогичны
свойствам предела функции одной переменной.
Теорема. Если функции f (M ) и g (M ) определены на множестве D
и имеют в точке M 0 этого множества пределы A и B соответственно, то и
f (M )
функции f ( M )  g ( M ) , f ( M )  g ( M ) ,
g ( M )  0 имеют в точке
g (M )
A
M 0 пределы, которые соответственно равны A  B , A B ,
( B  0) .
B
Функция z  f M  называется б е с к о н е ч н о й м а л о й в точке
M 0 , если lim f ( M )  0 .
M M 0
Замечание. Из существования предела функции вдоль некоторой
кривой, соединяющей точки M и M 0 , вообще говоря, не следует
существования предела функции в точке M 0 , но он будет существовать в
том случае, когда существует предел по любой кривой, соединяющей
точки M и M 0 , и все эти пределы равны между собой.
Примеры. Найти пределы:
x 2  ( y  2) 2  1  1 M ( x; y )  M 0 (0;2)
2  1  1
1) lim

 lim

2
2
2
2
2
x 0


0
x  ( y  2)

  x  ( y  2)
y 2
 lim
0
(  2  1  1)(  2  1  1)
 2 (  2  1  1)
 lim
0
2
 2 (  2  1  1)

1
.
2
M ( x; y )  О(0;0)
x2  k 2 x2
1 k2 1 k2
2) lim 2
.

 lim 2
 lim

2
x 0 x  y 2
x 0 x  k 2 x 2
x 0 1  k 2
y  kx, k  const
1

k
y 0
x2  y2
Т.к. при различных значениях k предел функции различный,
следовательно, данная функция в точке О(0;0) предела не имеет.
12.5 Непрерывность функции двух переменных
Функция z  f ( x, y ) (или функция z  f M  ) называется
н е п р е р ы в н о й в т о ч к е M 0 ( x0 , y0 ) , если:
1) f M  определена в этой точке и некоторой её окрестности,
5
2) f M  имеет предел lim f ( M ) ,
M M 0
3) этот предел равен значению функции z в точке M 0 , т.е.
lim f ( x, y )  f ( x 0 , y 0 ) .
lim f ( M )  f ( M 0 ) или
x  x0
y  y0
M M 0
Обозначим
x  x  x0 ,
y  y  y0 ,
z  f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) .
x , y - приращения аргументов х и у .
z - полное приращение функции z в точке M 0 ( x0 , y0 ).
Функция z  f ( x, y ) называется н е п р е р ы в н о й
M 0 ( x0 , y0 )  D , если
lim  z  0 .
в
точке
x  x0
y  y0
z  f M 
Функция
называется
непрерывной
в
н е к о т о р о й о б л а с т и , если она непрерывна в каждой точке этой
области.
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются
т о ч к а м и р а з р ы в а этой функции.
Теорема. Если функция z  f  N  непрерывна в ограниченной
замкнутой области D , то она в этой области:
1) ограничена, т.е. R  0 N  D , f ( N )  R .
2) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее
M значения.
3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное
значение, заключенное между значениями m и M .
12.6 Частные производные первого порядка
Пусть z  f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки
M ( x, y ) .
Дадим переменной x в точке M приращение x , а переменную y
оставим без изменения. Тогда функция z получит приращение
Δx z  f ( x  x, y )  f ( x, y ) .
Δx z называется ч а с т н ы м п р и р а щ е н и е м z по x в точке
M ( x, y ) .
Аналогично получаем частное приращение z по y :
Δy z  f ( x, y  y)  f ( x, y) .
Если существует предел
6
Δx z
f ( x  x, y )  f ( x, y )
 lim
,
x 0 Δx
x 0
x
то он называется ч а с т н о й п р о и з в о д н о й функции z  f ( x, y ) в
z
f
точке M ( x, y ) по переменной х и обозначается
, z 'x ,
, f 'x .
x
x
Итак,
z
z
 lim x .
x x0 x
Аналогично определяется частная производная от функции
z  f ( x, y ) по переменной у в точке M ( x, y ) .
z
z
f ( x, y  y )  f ( x, y )
 lim y  lim
.
y y0 y y0
y
Частные производные функции z  f ( x, y ) находят по формулам
вычисления производных функции одной переменной, при этом другая
переменная считается постоянной.
lim
Примеры. Для указанных функций найти частные производные.
1) z  2 x 2 y  3 xy 2  x3 .
z
 (2 x 2 y  3xy 2  x3 )' x  y  const  4 xy  3 y 2  3x 2 ,
x
z
 (2 x 2 y  3xy 2  x)' y  x  const  2 x 2  6 xy .
у
2) z  x y .
z
 y  x y 1 ,
x
z
 x y  ln x .
y
3) u  x 2  y 2  z 2 .
u

x
u

y
u

z
x
x2  y 2  z 2
y
x y z
z
2
2
2
x2  y 2  z 2
,
,
.
7
12.7 Геометрический смысл частных производных
функции двух переменных
График функции z  f ( x, y ) представляет некоторую поверхность.
Полагая у  у 0 , получим уравнение z  f ( x, y 0 ) кривой АВ - сечение этой
поверхности с плоскостью у  у 0 (рис.61).
Рисунок 61
Учитывая геометрический смысл производной для функции одной
переменной, получаем f 'x ( x0 , y0 )  tg .
Аналогично, f ' у ( x0 , y0 )  tg .
Здесь  и  - углы, образованные касательными с плоскостью
ОХУ, проходящими через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) параллельно плоскостям ОХZ
и ОУZ соответственно.
12.8 Понятие дифференцируемости функции
Пусть функция z  f ( x, y ) определена в некоторой окрестности
точки M ( x, y ) , тогда полное приращение этой функции в точке М имеет
вид:
 z  f ( x   x, y   y)  f ( x, y) .
Функция z  f  x, y  называется д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в
т о ч к е M ( x, y ) , если её полное приращение в этой точке можно
представить в виде
 z  A  x  B   y     x    y,
где   ( x,  y)  0 и   ( x,  y)  0 при  x  0 и  y  0 .
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).
Если функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , то она
8
непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
z
z
и
,
x
y
z
z
 А,
 В.
x
у
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции).
Если функция z  f ( x, y ) имеет непрерывные частные производные z x и
z y в точке, то она дифференцируема в этой точке.
причем
12.9 Полный дифференциал функции
Известно, если функция дифференцируема в точке M ( x, y ) , то
имеет место соотношение
 z  A  x  B   y     x    y,
где ,  - бесконечно малые функции при  x  0 и  y  0 .
Главная линейная часть относительно  x и  y полного
приращения функции Δz в точке M ( x, y ) называется п о л н ы м
д и ф ф е р е н ц и а л о м функции z  f ( x, y ) и обозначается:
dz  A   x  B   y .
Теорема. Если z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , то её
полный дифференциал равен:
z
z
dz   dx   dy .
x
y
12.10 Производная сложной функции
Теорема. Если функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке
M  x, y   D и x  xt  , y  y t  - дифференцируемые функции независимой
переменной t, то производная сложной функции z  f  xt , y t 
вычисляется по формуле
dz дz dx дz dy
    .
dt дx dt дy dt
В частности, если z  f ( x, y ) , где y  y  x  , тогда
dz дz дz dy
   .
dx дx дy dx
Общий случай: z  f  x, y  , где x  xu, v , y  y u, v  . Тогда
z  f  xu, v , y u , v  - сложная функция независимых переменных u и v .
дz дz
Ее частные производные
и
находятся по формулам:
дu дv
9
z дz дx дz дy
 

 ,
u дx дu дy дu
z дz дx дz дy
  
 .
v дx дv дy дv
дz дz
и
, если
дu дv
z  x 2  xy , x  v  sin u , y  u  cos v .
Пример 12.2. Найти частные производные
z
 2 x  y   v cos u  x  cos v  2v sin u  u cos v   v cos u  v sin u cos v ,
u
z
 2 x  y   sin u  x  u sin v  2v sin u  u cos v   sin u  v sin u  u sin v .
v
12.11 Производная от функции, заданной неявно
Функция z  f ( x, y ) называется н е я в н о й , если она задана
уравнением F  x, y, z   0 , неразрешимым относительно z .
дz
дz
Можно показать, что частные производные
и
находятся по
ду
дx
формулам
F
дz
 x
дx
Fz
и
F y
дz
.

дy
Fz
Пример 12.3. Найти частные производные функции z , заданной
уравнением z 3  3 xyz  8 .
Решение.
Здесь
F  x, y, z   z 3  3xyz  8 .
Тогда
Fx  x, y, z   3 yz ,
Fy x, y, z   3xz,
Fz  x, y, z   3z 2  3xy .
Следовательно,
F
 3 yz
yz
дz
,
 x  2
 2
дx
Fz 3z  3xy z  xy
F y
дz
 3xz
xz

 2
 2
.
дy
Fz 3z  3 xy z  xy
10
12.12 Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция z  f ( x, y ) в некоторой области D имеет частные
производные
z
z
 f x x, y  и
 f y  x, y  .
x
y
Будем называть их ч а с т н ы м и п р о и з в о д н ы м и п е р в о г о
порядка.
Частные производные первого порядка можно рассматривать как
функции от двух переменных х и у . Если эти функции дифференцируемы
в точке  х, у  области D , то их частные производные называются
частными
производными
второго
порядка
и
обозначаются следующим образом:
  z   2 z
 z xx  f xx x, y  ,
 
x  x  x 2
  z   2 z
 z xy  f xy  x, y  ,
 
y  x  xy
  z   2 z
 
 z yx  f yx  x, y  ,
x  y  yx
  z   2 z
 
 z yy  f yy  x, y .
y  y  y 2
2z
2z
и
называются с м е ш а н н ы м и
x y
yx
частными производными.
Теорема. Если функция z  f ( x, y ) имеет в точке М  х, у  и ее
Производные
2z
2z
окрестности непрерывные смешанные производные
и
, то они в
xy
yx
2z 2z
этой точке равны, т.е.
=
.
xy yx
Аналогично определяются частные производные третьего,
четвертого и т.д. порядков.
3z   2 z 
4z
  3z 
.
,
 
 
Например,
x 3 x  x 2  xу 3 у  xу 2 
Дифференциалы второго, третьего и т.д. порядков от функции
z  f ( x, y ) определяются формулами d 2 z  d dz , d 3 z  d d 2 z и т.д.
 
d 2z 
2z
x 2
dx 2  2
2z
2z
dxdy  2 dy 2 .
xy
y
11
Примеры.
1) Найти частные производные второго порядка функции
z  x 3 y 2  5 xy 3  x 5  1 .
Так как
z
z
 3x 2 y 2  5 y 3  5 x 4 ,
 2 x 3 y  15 xy 2 ,
x
y
то
2z
2 2
3
4 
2
3

3
x
y

5
y

5
x
x  6 xy  20 x ,
2
x

2z
 3x 2 y 2  5 y 3  5 x 4 y  6 x 2 y  15 y 2 ,
xy







2z
 2 x 3 y  15 xy 2 x  6 x 2 y  15 y 2 ,
yx
2z
y
2

 2 x 3 y  15 xy 2

y
 2 x 3  30 xy .
2) Найти дифференциал второго порядка функции z  3x 2 y  2 xy  y 2  1 .
Имеем
z
z
 6 xy  2 y ,
 3x 2  2 x  2 y ;
x
y
2z
x 2
 6y ,
2z
 2 ,
xy
Тогда d 2 z  6 y dx 2  4 dx dy  2 dy 2 .
2z
y 2
 2.