6563.
advertisement
6563. Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных участков, соединенных двумя полуокружностями. Ширина дорожки d = 1м. Линия старта проведена перпендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с линией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутренней) и второй дорожках, одновременно принимают старт и пробегают до финиша один круг. Они разгоняются равноускоренно, пока не наберут максимальную скорость v0 = 8 м/с, одинаковую для обоих бегунов, с которой и пробегают каждый посередине своей дорожки оставшуюся часть дистанции, финишируя одновременно. Чему равно отношение n времени разгона второго бегуна ко времени разгона первого, если полная длина первой дорожки S1 = 400 м, а время, за которое спортсмены пробегают всю дистанцию, τ = 52 с? Решение. Время, за которое бегун пробегает дистанцию, равно 𝜏 = 𝑡𝑝 + 𝑡0 , где 𝑣0 𝑡𝑝 = 𝑎 - время разгона, t0 - время движения с постоянной скоростью, a - ускорение бегуна. За время разгона бегун пробегает расстояние 𝑎 ∙ 𝑡𝑝2 𝑣02 𝑆𝑝 = = . 2 2∙𝑎 Поэтому 𝑆 − 𝑆𝑝 𝑆 𝑆𝑝 𝑡0 = = − 𝑣0 𝑣0 𝑣0 где S – длина дистанции. Таким образом, 𝑣0 𝑆 𝜏= + . 2 ∙ 𝑎 𝑣0 Отсюда 𝑣02 𝑎= . 2 ∙ (𝑣0 ∙ 𝜏 − 𝑆) Поскольку скорость равномерного движения обоих бегунов одинакова, времена разгона бегунов обратно пропорциональны их ускорениям. Следовательно, искомая величина 𝑎1 𝑣0 ∙ 𝜏 − 𝑆2 𝑆2 − 𝑆1 𝑛= = =1− 𝑎2 𝑣0 ∙ 𝜏 − 𝑆1 𝑣0 ∙ 𝜏 − 𝑆1 n равна 𝑎1 𝑛= 𝑎2 — (индексы относятся к обоим бегунам). Имеем 𝑎1 𝑣0 ∙ 𝜏 − 𝑆2 𝑆2 − 𝑆1 𝑛= = =1− 𝑎2 𝑣0 ∙ 𝜏 − 𝑆1 𝑣0 ∙ 𝜏 − 𝑆1 Разность длин дистанции 𝑆2 − 𝑆1 равна разности длин окружностей радиусами 𝑅 + 𝑑 и 𝑅, то есть Ответ: 𝑆2 − 𝑆1 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑. 𝒏=𝟏− 𝟐∙𝝅∙𝒅 , 𝒏 = 𝟎. 𝟔𝟏. 𝒗𝟎 ∙ 𝝉 − 𝑺𝟏
