6419x

6419. Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных
участков, соединенных двумя полуокружностями. Ширина дорожки d = 1 м. Линия
старта проведена перпендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с
линией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутренней) и второй дорожках,
одновременно принимают старт и пробегают до финиша один круг. Они разгоняются
равноускоренно, пока не наберут максимальную скорость v0=8 м/с, одинаковую для
обоих бегунов, с которой и пробегают оставшуюся часть дистанции. Насколько
отличаются времена разгона бегунов, если, двигаясь каждый посередине своей
дорожки, они финишируют одновременно?
Решение. Время, за которое бегун пробегает дистанцию, равно
𝜏 = 𝑡𝑝 + 𝑡0 ,
где t =v0/a - время разгона, t0 - время движения с постоянной скоростью, а - ускорение
бегуна. Из зависимости координаты точки от времени при равноускоренном движении
получим время разгона, за которое бегун пробегает расстояние
𝑎 ∙ 𝑡𝑝2
𝑣02
𝑆𝑝 =
=
.
2
2∙𝑎
Поэтому
𝑆 − 𝑆𝑝
𝑆
𝑣0
𝑡0 =
= −
,
𝑣0
𝑣0 2 ∙ 𝑎
где S – длина дистанции. Таким образом,
𝑣0
𝑆
𝜏=
+ .
2 ∙ 𝑎 𝑣0
По условию задачи
𝜏1 = 𝜏2 ,
откуда следует, что
𝑣0
𝑆1
𝑣0
𝑆2
+ =
+ ,
2 ∙ 𝑎1 𝑣0 2 ∙ 𝑎2 𝑣0
или
𝑡𝑝1 𝑆1 𝑡𝑝2 𝑆2
+ =
+
2
𝑣0
2
𝑣0
(индексы относятся к обоим бегунам). Отсюда
2 ∙ (𝑆2 − 𝑆1 )
∆𝑡 = 𝑡𝑝1 − 𝑡𝑝2 =
.
𝑣0
Разность длин дистанции S2 – S1 равна
разности длин окружностей радиусами R + d и R, т.е.
𝑆2 − 𝑆1 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑.
Отсюда
4∙𝜋∙𝑑
∆𝑡 =
≈ 1,57 𝑐.
𝑣0
Обратите внимание, что на первый взгляд число неизвестных величин больше, чем
число уравнений. Однако, выразив одну неизвестную величину через другую (также
неизвестную), мы приходим к правильному ответу.
Ответ.
𝟒∙𝝅∙𝒅
∆𝒕 =
≈ 𝟏, 𝟓𝟕 𝒄.
𝒗𝟎