х км/ч

Задачи на составление уравнений.
Основная методическая ошибка школьников, пытаются решить задачу
на составление уравнений, состоит в том, что они пытаются решить ее сходу
прочитав все условии задачи. Удобнее же в поэтапной записи условии задачи
в виде математических символов и уравнений. Не надо бояться вводить
большое количество неизвестных. Если какие то неизвестные окажутся
лишними, их можно будет потом отбросит в ходе решения уравнений. При
этом из каждого предложения необходимо сразу извлекать всю возможную
информацию. Это методика была известна еще И. Ньютону и широко
использовалась многие годы.
Поэтапную математическую запись условий задачи можно вести
разбивая изложения на две части. В левой части будем писать условий
задачи, а в правой их математический эквивалент.
Задачи на «движение».
При решении таких задач всегда надо найти скорость, путь и время в
пути для предложенного тела. Эти величины связаны известным
𝑣
соотношением: s= . При этом удобнее процесс движения рассматриваемых
𝑡
тел представить в виде схем и рисунок. Необходимо обращать внимание на
следующие моменты:
1. согласовать единиц измерения скорости, пути и времени;
2. если одно тело, движется со скоростью v1, догоняет другое,
движущегося со скоростью v2 и находящегося от него на расстояние s,
то скорость приближения равно v2 - v1,, а время t1, затраченное на то,
чтобы догнать будет равно t1=s× (𝑣2 − 𝑣1 );
3. если тела движутся навстречу (при тех же параметрах), то скорость
сближения будет равна v1+v2, встретиться же они через t2=s/(𝑣1 + 𝑣2 );
4. часто в задачах идет сравнение времени, затраченных на путь
различными телами. В этом случае для правильности уравнения связи
этих времен надо внимательно посмотреть, какая из величин больше.
Например, время t1=s× (𝑣2 − 𝑣1 ) очевидно больше времени t2=s/(𝑣1 +
𝑣2 ) и, следовательно, если мы хотим получить уравнение,
связывающее эти величины, необходимо ко второй прибавить или от
первой отнять положительную величину.
Задача1. Океанский лайнер отправился в дальний морской рейс. Когда он
отошел от берега на 180 миль, за ним вылетел самолет с экстренной почтой.
Скорость самолета в 10 раз больше скорости лайнера. На каком расстоянии
от берега самолет догонит лайнера.
Решение.
Океанский лайнер отправился в х миль/час – скорость лайнера
дальний морской рейс
Когда он отошел от берега на 180 10 х миль/час – скорость самолёта
миль, за ним вылетел самолет… t ч- время совместного движения
Скорость самолета в 10 раз больше самолёта и лайнера
скорости лайнера
(180+xt) миль-путь пройденной
лайнером до встречи
10 xt – миль путь пройденной
самолётом до встречи
пройденный путь лайнера и самолёта
до встречи одинаково
уравнение 180 + xt=10 xt
В этой и в других задачах нужно найти не неизвестные, а их
произведение или отношение, обозначая это произведение (отношение)
через новое неизвестное, получаем новую систему, в которой количество
неизвестных совпадает с количеством уравнении.
Обозначим xt=у и получим уравнение, 180+у=10у, которое легко
решается. у=20 (миль).
Расстояние от берега до встречи- 10∗20=200 (миль).
Ответ: Самолет догонит лайнера на расстояние 200 миль от берега.
Задача2. Скорость судна в стоячей воде 50 км/ч. На путь по течению реки
оно тратит 3 ч, а на путь против течения 4,5 ч. Какова скорость течения реки.
Решение.
Скорость судна в стоячей воде х км/ч – скорость течение реки
50 км/ч
(50+х) км/ч -скорость судно по течению
реки
(50-х) км/ч - скорость судно против течения
реки
На путь по течению реки оно
(50+х) ×3 км - пройденный путь судно по
тратит 3 ч,
течению реки
а на путь против течения 4,5 ч (50-х)×4,5 км - пройденный путь судно
против течения реки
Пройденный путь судно по течению и
против течения реки одинакова
Получаем уравнения
(50+х) ×3=(50-х)×4,5, решая получаем х=10 км/ч.
Ответ: Скорость течения реки 10 км/ч.
Задача3. Путь из города в поселок автомобиль проезжает за 2,5 ч. Если он
увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч он проедет путь на 15 км больше, чем
расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.
Решение.
Путь из города в поселок S км – расстояние от города до поселка
автомобиль проезжает за 2,5 ч
х км/ч – скорость автомобиля
S=2,5х
Если он увеличит скорость на (х+20) км/ч
20 км/ч,
то за 2 ч он проедет путь
(х+20)×2 км
На 15 км больше, чем Уравнение
расстояние от города до 2,5х +15=(х+20)×2
поселка
Решая уравнение, получаем х =50 км/ч.
Расстояние от города до поселка – 2,5×50=125 км.
Ответ: 125 км.
Задача4. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходить на 4ч
быстрее товарного и на 1ч быстрее пассажирского. Найдите скорости
товарного и скорого поездов, если скорость товарного поезда составляет
скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
Решение. Таблица для получения уравнения имеет вид:
Расстояние между двумя городами… S км- расстояние между городами
… скорый поезд…
х км/ч- скорость скорого поезда
S/х ч- время, затрачиваемые скорым
поездом на путь между городами
…проходит
на
4ч
быстрее у км/ч - скорость товарного поезда
товарного…
S/у ч- время, затрачиваемые
товарным поездом на путь между
городами
S/у> S/х, тогда S/у - 4= S/х
…и на 1 ч быстрее пассажирского
z км/ч – скорость пассажирского
поезда,
S/z ч- время, затрачиваемые
пассажирским поездом на путь
между городами
S/z > S/х, тогда S/z - 1= S/х
скорость товарного поезда составляет у=5 𝑧
8
5
скорости пассажирского…
8
…и на 50 км/ч меньше скорости у+50= х
скорого
И так, нами получена система:
5
8
𝑆
𝑆
− 4= ,
у
х
S
S
− 1= ,
𝑧
х
5
у = 𝑧,
8
{у + 50 = х.
Вычитая из первого уравнения второе и подставляя в равенства
8
𝑆
5
у
𝑆
у
S
- =3, из
𝑧
третьего уравнения z = y, получим = 8 или S=8у.
Из этого равенства и первых двух уравнении получаем: S=4х. S=5z. Из
последнего уравнения системы подставляем х=у+50 в полученные
уравнения. Тогда S=4у+200=8у или у=50(км/ч), х=50+50=100(км/ч), и z=
8
= *50=8( км/ч).
5
Ответ: Скорость скорого поезда- 100 км/ч, товарного- 50 км/ч,
пассажирского- 80 км/ч.
Задача5. Два бегуна стартовали один за другим с интервалом 2
минуты. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а
пробежав от точки старта 5 км, он повернул обратно и встретился с первым
бегуном. Это встреча произошла через 20 мин после старта первого бегуна.
Найдите скорость второго бегуна.
Решение.
Два бегуна…
х км/мин-скорость первого бегуна
у км/мин- скорость второго бегуна
…стартовали один за другим 2х км-расстояние между бегунами в момент
с интервалом 2 минуты
старта, когда стартовал второй бегун
(у-х)км/мин-скорость, с которой второй
бегун догоняет первого
Второй
бегун
догнал t1=2х/(у-х) мин- время, за которое второй
первого…
бегун догоняет первого
…на расстоянии 1 км от t1у=2ху/(у-х)=1
точки старта,…
…а пробежав от точки старта 8 км- расстояние, которое пробежали два
5 км, он повернул обратно и бегуна до второй встречи
встретился с первым бегуном
Старт
1
встреча
2
встреча
5 км
(х+у) км/мин-скорость сближения бегунов до
встречи (т.е. они бегут навстречу друг другу
с расстояния 8 км)
t2=8/(х+у) мин- время от первой до второй
встречи
Это встреча произошла через 2+ t1 + t2=20 или
20 мин после старта первого 2+2х/(у-х)+ 8/(х+у)=20
бегуна
Решаем систему уравнение
2ху
= 1,
у−х
2х
8
2+
+
= 20.
у−х х+у
{
Выразив из первого уравнение х, и подставив его во второе уравнение,
5
получим 18у2 + 9у-5=0, решениями которого являются у1=− (км/мин) или
6
1
у2= (км/мин)
3
.
По
смыслу
задачи
скорость
бегуна
должна
быт
положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй
корень, т.е. число
1
(
км
3 мин
).
1
Ответ: скорость второго бегуна км/мин.
3
Задача6. По окружности радиусом 5 м равномерно и в одном
направлении движутся две точки. Одна из ни делает полный круг на 10 с
быстрее второй. Время между двумя последовательными встречами равно 1
мин. Определить скорость этих точек.
Решение.
По окружности радиусом 5 м
равномерно и в одном направлении
движутся две точки.
L=2𝜋𝑅=10𝜋 м-длина окружности
или расстояние между точками в
начальный момент;
х м/с- скорость первой точки;
у м/с- скорость второй точки;
10𝜋
с-время на полный круг первой
х
точки;
10𝜋
с- время на полный круг второй
у
Одна из ни делает полный круг на 10
с быстрее второй.
Время между двумя
последовательными встречами равно
1 мин=60 с.
точки;
10𝜋
10𝜋
+ 10=
х
(х-у) м/с- скорость, с которой первая
точка догоняет второй (х>у);
10𝜋
=60
(х−у)
И так, мы получили систему:
у
10𝜋
10𝜋
+ 10 =
,
х
у
10𝜋
= 60.
{ (х − у)
Выразив х из первого уравнения и подставив во второе, после
преобразовании получим квадратное уравнение 6у2+ 𝜋у-𝜋2=0. Решая
м
получим у1=-3𝜋( ) или у1=𝜋/3(м/с).
с
По смыслу задачи нас удовлетворяет толь корень у= 𝜋/3(м/с), тогда
х= 𝜋/2(м/с).
Ответ: Скорости течек равны 𝜋/2 м/с и 𝜋/3 м/с.