Определители

Определители
Определителем (детерминантом) второго
порядка называется число, записанное в
виде квадратной таблицы
а11 а12
и вычисляется по формуле
а 21 а 22
а11а22 - а12а21.
Числа а11, а12, а21, а22 называются
элементами определителя. Элементы а11, а22
лежат на главной диагонали , а а12, а21 – на
побочной.
Пример
cos sin 
 sin  cos
 cos   sin   1
2
2
Определителем третьего порядка
называется число, которое записывается в
виде квадратной таблицы 33 и
вычисляется по формуле
а11 а12 а13
а21 а22 а23  а11а22 а33  а21а32 а13  а12 а23 а31
а31 а32 а33
 а13 а22 а31  а32 а23 а11  а21а12 а33
Правило треугольников
Главная
диагональ
  
  
  
  
  
  
«+»
«-»
Побочная
диагональ
Формула Саррюса:
Определитель, в котором под главной
диагональю (над главной диагональю)
стоят нули, называется определителем
треугольного вида.
Определитель треугольного вида равен
произведению элементов главной
диагонали.
Определитель, у которого ниже или
выше побочной диагонали стоят 0, равен
произведению элементов побочной
диагонали, умноженному на (-1).
Опр.: Минором элемента аij
называется определитель
полученный из данного
вычеркиванием i-строки и j-столбца,
на пересечении которых находиться
элемент.
Пример
2 5 3
1 7 11
4 2 8
M 11 
7 11
2 8
 34 - минор элемента а11.
Алгебраическое дополнение элемента
аij – есть минор этого элемента,
умноженный на (-1)i+j, i - номер строки, j
- номер столбца, на пересечении
которых расположен элемент.
Если (i+j) – четное число, то Аij
получается со знаком «+».
Если (i+j) – нечетное число, то Аij
получается со знаком «-».
Пример
2 5 3
11
А11  (1)
7 11
2 8
 56  22  34
1 7 11
4 2 8
1 2
А12  (1)
1 11
4 8
 (8  44 )  36
Теорема. Определитель любого
порядка равен сумме произведений
элементов какой-либо строки или
какого-либо столбца на их
алгебраические дополнения.
Теорема. Сумма произведений
элементов какой-либо строки
(столбца)  на алгебраические
дополнения элементов другой
строки (столбца) равна 0.
Свойства определителей:
1. Если в  есть нулевая строка (столбец),
то  = 0.
2. Определитель с пропорциональными
строками (столбцами) = 0.
3. Если  имеет 2 одинаковые строки
(столбцы), то он = 0.
4. При перестановке двух строк (столбцов)
меняется знак  на противоположный.
5. Если строка (столбец) имеет общий
множитель, то его можно вынести за
знак .
6. Если к некоторой строке (столбцу)
прибавить другую строчку (столбец)
умноженную на некоторое число, то
величина определителя не измениться.
а11 а12 а13
а 21 а 22 а 23 
а31 а32 а33
а11  K  а21 а12  K  а 22 а13  K  а23
а21
а 22
а23
а31
а32
а33
7. Если строка (столбец) есть сумма двух
строк, то  равен сумме двух
определителей с соответствующими
строками (столбцами).
а11  K а12  L а13  M
а 21
а31
а22
а32
а 23
а33
а11 а12 а13
K L M
 а21 а 22 а23  а21 а 22 а23
а31 а32 а33
а31 а32 а33
8. При транспонировании определитель
не меняется. Т = 
Опр. Пусть дан . Определитель, который
получен из данного определителя
симметричным отражением относительно
главной диагонали называется
транспонированным определителем к
данному  и обозначается Т.
ab
x y
Т

a x
b y
Определитель n–го порядка – это
квадратная таблица n  n:
а11 а12 ... а1n
а 21 а 22 ... а 2 n
.......... .........
а n1 а n 2 ... а nn