Системой m линейных уравнений с n неизвестными
advertisement
Система линейных уравнений Выполнил:Серикбай Кайсар Пак Валерий Проверил: Тарбокова Т.В. Системы линейных уравнений Метод Гаусса Метод Крамера Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами. . Решение системы — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все ее уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными: Рассмотрим матрицу системы Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Определитель, действие 1 а11 а21 а31 а12 а22 а32 а13 а23 а33 Определитель, действие 2 а11 а21 а31 а12 а22 а32 а13 а23 а33 Определитель, действие 3 а11 а21 а31 а12 а22 а32 а13 а23 а33 Определитель, действие 4 а11 а21 а31 а12 а22 а32 а13 а23 а33 Определитель, действие 5 а11 а21 а31 а12 а22 а32 а13 а23 а33 Определитель, действие 6 а11 а21 а31 а12 а22 а32 а13 а23 а33 = а11 * а22 * а33 + а12 * а23 * а31 + а21 * а32 * а13 - - а31 * а22 * а13 - а12 * а21 * а33 а23 * а32 * а11 Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём КРАМЕР Габриель (Cramer Gabriel 1704-1752) Крамер - швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Учился и работал в Женеве. Основные труды по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей. Член Лондонского королевского общества (1749г.) Иоганн Карл Фридрих Гаусс Иоганн Карл Фри́дрих Га́усс — немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»[. Лауреат медали Копли (1838), иностранный член шведской (1821) и российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества. Гаусс дал первые строгие, даже по современным критериям, доказательства основной теорией алгебры. Он открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, создал для них теорию делимости и с их помощью решил немало алгебраических проблем. Указал знакомую теперь всем геометрическую модель комплексных чисел и действий с ними. Гаусс дал классическую теорию сравнений, открыл конечное поле вычетов по простому модулю, глубоко проник в свойства вычетов. Методы решения системы Прямые методы Метод Гаусса Метод Жордана-Гаусса Метод Крамера Матричный метод Метод прогонки Приближенные методы Метод Якоби (метод простой итерации) Метод Гаусса-Зейделя Метод релаксации Многосеточный метод Литература Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с. Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
