Вариант № 1 Выполнил: Студент группы ИТ72 Уксусов Кирилл 1. Колебания точки совершаются по закону x(t ) 2 cos( 4t / 3) мм. Найти период колебаний и максимальное ускорение точки. Дано: x(t ) 2 cos( 4t / 3) Найти: Т - ?, amax - ? Решение: Из уравнения гармонических колебаний: 4 c 1 - циклическая частота. 2 2 T 0,5c 4 a (t ) x" (t ) ' (t ) (t ) - скорость (t ) 8 sin( 4t ) мм/c 3 5 a (t ) 32 2 cos( 4t ) 32 2 sin( 4t ) мм/c2 3 6 Ответ: Т=0,5 с; amax= 32 2 мм/c2 2. Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса. Найти период малых колебаний и приведенную длину физического маятника. Дано: R 0,2 м , d 0,1м Найти: Т - ?, L - ? Решение: d – расстояние от центра до точки подвеса 1 0 mR 2 - момент инерции для однородного диска 2 по т. Штейнера: 0 md 2 1 m( R 2 2 d 2 ) mR2 md 2 2 2 2 2 R 2d 0,04 0,02 L 0,14 м md 2d 0,2 T 2 L 0,14 2 0,74 с g 10 Ответ: L=0,14 м; T=0,74 c 3. Шарик массой 20 г колеблется на пружине жесткостью 104 Н/м, амплитуда колебаний 1 см. Определить максимальную силу, действующую на шарик и его максимальную кинетическую энергию. Дано: m 2 10 2 кг , k 10 4 H / м , A 10 2 м Найти: F0 - ?-, Eкmax - ? Решение: Уравнение силы действующей на шарик: F F0cost F ma (II закон Ньютона) F - A02 m cos(0t ) A02 m sin( 0t ) 2 F0 k m 2 4 F0 Ak 10 10 10 2 Н F0 A02 m , где 02 d F0 m 2 F F cos t или 0 cos tdt 0 2 sin t , где dt m 2 m m 0 t Eк Eк максимальна при sin 2 t 1 F0 10 4 2 10 2 1 Дж 2 2 4 2m 2 2 10 10 2 Ответ: F0 10 2 Н, Eк 0,5 Дж 2 Eк 4. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 10 мГн и конденсатора емкостью 4 нФ. В начальный момент конденсатор зарядили до напряжения 2 В. Записать закон изменения заряда на конденсаторе и силы тока в контуре. Дано: L 10 2 Гн , С 4 10 9 Ф , U 0 2В Найти: q(t) -?, i(t) - ? Решение: q(t ) q0 cos t - уравнение свободных колебаний q(t ) q0 CU 8 10 9 Кл 1 1 1 1011 Гц – циклическая частота 2 9 2 LC 10 4 10 1 q (t ) 8 10 9 cos( 1011 t ) Кл 2 i (t ) q ' (t ) 1 i (t ) 40 10 5 10 sin( 1011 t ) А 2 Ответ: 1 1 q (t ) 8 10 9 cos( 1011 t ) Кл, i (t ) 40 10 5 10 sin( 1011 t ) А 2 2 5. За 5 минут амплитуда колебаний математического маятника уменьшилась в два раза. Найти коэффициент затухания. Дано: t=300c, n=2 Найти: -? Решение: A n 0 A Амплитуда затухающих колебаний: A A0 e t A n 0 e t A ln n t ln n ln 2 0,69 1 0,0023 t 300 300 c Ответ: 1 0,0023 c 6. Колебательный контур имеет емкость С = 1 нФ и индуктивность L = 5 мГн. Логарифмический декремент затухания равен 0,005. За сколько времени вследствие затухания потеряется 99% энергии контура? Дано: E С 10 10 9 Ф , L 5 10 3 Гн , 0,005 , 0 99% E Найти: t -? Решение: T 2 0 T 2 LC 2 3,14 5 103 109 14 106 0,005 360 T 14 10 6 E0 100 n , E E0 e 2 t , e 2 t n E ln n ln 100 t 0,0063 c 2 2 360 Ответ: t = 0,0064 с 7. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях заданных уравнениями x1 4 cos(100t ) и x2 7 cos(100t / 2) . Найти амплитуду результирующего колебания, его частоту и начальную фазу. Дано: x1 4 cos(100t ) , x2 7 cos(100t / 2) Найти: A ?,0 ?, ? Решение: 1 100c 1 , 1 0, A1 4 2 100c 1 , 1 , A1 7 2 Амплитуда результирующего колебания: A A12 A22 2 A1 A2 (cos( 2 1 )) 16 49 8,06 м Начальная фаза: A sin 1 A2 sin 2 tg 1 1,75o A1 cos 1 A2 cos 2 arctg 3 При сложении колебаний одинаковой частоты получается колебание той же частоты, следовательно, 100 Гц Ответ: A 8,06 м, 3 , 100 Гц 8. Точка совершает два колебания, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям, которые заданны уравнениями x 2 sin t и y 2 cos 2t . Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба. Дано: x 2 sin t , y 2 cos 2t Найти: уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба Решение: x x 2 sin t sin t 2 y 2 cos 2t 2(cos 2 t sin 2 t ) 2(1 2 sin 2 t ) y 2(1 2 x2 x2 ) 2(1 ) 2 x 2 4 2 9. Найти сопротивление цепи, состоящей из конденсатора емкостью 20 мкФ и резистора сопротивлением, включенную в сеть переменного тока частотой 50 Гц. Дано: С 20 10 6 Ф , R 10 Ом, 50 Гц Найти: Z-? Решение: Первый случай: Последовательное включение в цепь R и С Векторная диаграмма амплитудных значений падений напряжений на резисторе (UR) и конденсаторе (UC). Амплитуда Um приложенного напряжения равна векторной сумме амплитуд падений напряжений UR и UC. 2 2 2 Из прямоугольного треугольника имеем: U m U R U C 1 1 I m , получаем: Z 2 R 2 2 2 Учитывая, что U m I m , U R RI m , U R C C Отсюда искомое сопротивление цепи при последовательном включении резистора и конденсатора: 1 Z R2 2 2 C Z 102 106 1000 Ом Второй случай: Последовательное включение в цепь R и С Векторная диаграмма параллельной цепи. Из треугольника: I m I R I C , U m U R U C , I m 2 1 1 2C 2 Z Z R2 Ответ: Z = 1000Ом 2 R R C 1 2 2 2 Um U U , I R R , I C C => 1 Z R C 1 100 50 4 10 2 12 1 103 Ом 10. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 500 Гц и амплитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны = 70 см. Найти: 1) скорость распространения колебаний, 2) максимальную скорость частиц воздуха. Дано: 500 Гц, A 25 10 5 м, 70 10 2 м Найти: ? , max возд. ? Решение: T 70 10 2 500 350 м/c max возд. A 2A 6,28 500 25 10 5 7,85 м/c Ответ: 350 м/c, max возд. 7,85 м/c 11. Труба, длина которой 40 см, заполнена воздухом и открыта с одного конца. При какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. Скорость звука в воздухе 340 м/с. Дано: l1 0,4 м, 340 м/c Найти: min ? Решение: Частота минимальна при максимальной длине стоячей волны. В открытой части будет пучность, а в закрытой – узел. Поэтому труба уложится в четверть длинны волны. l , 4 340 4l min 212,5 Гц min 4l 1,6 Ответ: min 212,5 Гц 12. В вакууме распространяется плоская монохроматическая волна. Амплитуда напряженности магнитного поля равна 20 мА/м. Найти амплитуду напряженности электрического поля волны и плотность потока энергии электромагнитной волны. Дано: H 0 2 10 2 А/м, 0 8,85 10 12 Ф/м, 0 4 107 Гн/м, 1 , 1 Найти: E0 ?, j ? Решение: 0 E 0 H - связь между мгновенными значениями напряженностей электрического и магнитных полей электромагнитной волны. 1, 1 0 E 0 H В электромагнитной волне векторы E и H всегда колеблются в одинаковых фазах, поэтому выражение может быть записано и для мгновенных значений амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей электромагнитной волны: 0 E0 0 H 0 E0 0 4 107 H0 20 103 740 мВ/м 0 8,85 1012 Модуль плотности потока энергии: j EH 740 103 20 103 14,8 103 Ответ: j 14,8 103 , E0 740 10 3 В/м