Кинематика движения материальной точки по окружности

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Монастырский Л.М.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по механике
часть 1
для студентов классического и инженерного потока
Физического факультета
Ростов-на-Дону
2009
Методические указания разработаны кандидатом физикоматематических наук, профессором кафедры общей физики
Л.М. Монастырским
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики
физического факультета ЮФУ, протокол №
от
2009 г.
Краткая теория (основные физические понятия)
1. Движение в пространстве. Способы задания положения тел в пространстве
(векторный способ, координатный способ, «естественный» способ).
Материальная точка это тело, размерами которого можно пренебречь в
условиях данной задачи. Например, в одних задачах Землю можно считать
материальной точкой, а в других – нельзя.
Механическое движение – изменение положения тел в пространстве
относительно других тел. Рассмотрим для начала способы задания
положения тел в пространстве (идет речь о материальных точках).
Обратимся к рис.1(а,б).
а)
б)
Рис.1
На рис.1 (а) показаны декартовы координаты х, у точки А на плоскости.
Здесь же приведен радиус-вектор этой точки А. Видно, что координаты
радиус-вектора точки А совпадают с ее декартовыми координатами. На рис.

1 (б) приведены проекции на оси координат произвольного вектора A
(проведенного не из начала координат).
Радиус – вектор удобно разлагать по осям координат с помощью
единичных векторов- ортов. Рассмотрим рис.3.
Рис.3
 

Здесь i , j и k - единичные векторы (орты) декартовой системы координат в
пространстве. Тогда разложение радиус-вектора r по ортам выглядит

  
r  i x  jy  kz .
следующим образом:
Рассмотрим теперь способы задания положения точки в пространстве.
1. Векторный способ.
В этом способе следует задать начало отсчета – точку О. Тогда положение
некоторой точки А относительно этого начала отсчета можно задать с
помощью радиус-вектора, как показано на рис.4. Таким образом, задается

зависимость r (t ) .
Рис.4
Геометрическое место точек концов радиус-вектора называется траекторией.
Введем вектор перемещения, как r(t )  r2  r1 . Назовем средней скоростью
движения величину:



r
Vср  V 
.
t
Видно, что направление средней скорости совпадает с направлением вектора
перемещения.
Если уменьшать интервал времени t , то в пределе получим мгновенную
скорость следующим образом:


r
V  lim
.
t 0 t
Мгновенная скорость представляет собой производную по времени от
радиус-вектора.
Существует и обратная задача – зная ускорение в виде зависимости a (t ) ,
найти скорость и перемещение тела. Для решения этой задачи воспользуемся

 dV
интегральным исчислением. По определению a 
и правую часть этого
dt
выражения можно рассматривать, как производную скорости по времени, с
другой стороны, ее можно рассматривать как отношение двух бесконечно
малых величин – дифференциала (бесконечно малого приращения) скорости
dV и дифференциала (бесконечно малого приращения) времени dt. Тогда
 
dV  adt .
следует очевидное:
Отсюда можно записать при V0 =0:


V   adt .
Найдем теперь перемещение тела, используя определение мгновенной
 dr
V
.
dt


Тогда можем записать dr  Vdt , или окончательно r   Vdt .
скорости:
модуля мгновенной скорости можем записать V 
Поскольку для
dS
, где S – путь,
dt
пройденный телом вдоль траектории, то величину этого пути можно найти с
помощью следующего выражения:
S   Vdt .
2. Координатный способ.
Задавим начало отсчета точку О, и свяжем с ней декартову систему
координат в пространстве (рис. 5).
Рис. 5
Тогда, зная зависимости координат частицы от времени, можно рассчитать ее
скорость и ускорение в любой другой момент времени следующим образом:
 dx  dy  dz 
V i
j k
dt
dt
dt
 dV  dV y  dVz 
a xi 
j
k
dt
dt
dt
и
V  Vx2  V y2  Vz2
и
a  a x2  a 2y  a z2 .
Также это дает возможность рассчитать направление векторов скорости и
ускорения по формулам:
cos  
Vx
,
V
cos  
Vy
V
,
cos 
Vz
.
V
3. «Естественный» способ.
Это способ задания положения точки в пространстве с помощью параметров
траектории. Рассмотрим рис.6.
Рис. 6
Точка О задает начало отсчета для движения вдоль траектории точки А.
Измеряя длину траектории l от начала О до положения точки в данный
момент времени, можно задавать положение точки в любой момент времени.
Введем единичный вектор касательной к траектории в данной точке  .
При движении вдоль траектории произвольной формы меняется направление
этого вектора  , следовательно, он изменяется во времени.
Поскольку, по определению, мгновенная скорость является производной
перемещения по времени, а вектор перемещения совпадает с хордой,
соединяющей два последовательных положения тела А и В, то направление
вектора скорости в данной точке совпадает с предельным положение хорды,
т.е. с касательной (см. рис. 7).
Рис. 7

Можем теперь написать V  V  . Здесь V- модуль вектора скорости. Более

точной является запись V  V (t ) (t ) .
Найдем мгновенное ускорение точки по формуле:


d
 dV d V (t )  (t ) dV 
a


 V
.
t
dt
dt
dt
Чисто формально ( с точки зрения математики) ускорение разделилось на две
составляющие его части. Попытаемся найти физический смысл каждой
dV
составляющей. Первое слагаемое a   назовем тангенциальным,
dt
поскольку его направление совпадает с направлением касательной к
траектории движения точки. Выясним более подробно смысл величины

d
,
dt
являющейся производной единичного вектора касательной по времени.
Поскольку существует связь модуля угловой и линейной скорости
( V    R ), то можем записать:

d V 
  er .
dt R
Теперь для полного ускорения можем записать следующую формулу:
  
a  a  an .
dV
Здесь a   - тангенциальное ускорение, направленное по касательной к
dt
траектории в данной точке. Оно определяет изменение модуля скорости.
V2
Другая составляющая полного ускорения an   n , где n - единичный
R
вектор нормали к касательной в данной точке траектории (см. рис. 8).
Рис. 8
Полное ускорение теперь записывается в виде:
dV 
V2 

a=
 +
n .
dt
R
Кинематика движения материальной точки по окружности
Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса R.
Если движение происходит с постоянной по модулю скоростью, то можно
ввести понятие периода Т, как времени, за которое тело совершает один
полный оборот. Число оборотов  в единицу времени называют частотой

1
. Далее можно ввести понятие угловой скорости вращения по
T
 d

.
t 0 t
dt
  lim
окружности (см. рис. 9):
Рис. 9
Если угловая скорость изменяется, то вводится угловое ускорение  
d
.
dt
Можно найти связь между угловой и линейной скоростью движения по
окружности. Модуль линейной скорости равен:
V
dS
d
R
 R  .
dt
dt
Найдем общую связь между векторами угловой и линейной скорости.
Введем понятие вектора угловой скорости  - следующим образом – это
вектор, направленный по оси вращения по правилу правого винта, а его
модуль равен производной угла поворота по времени. Рассмотрим рис. 10,
где положение точки на окружности описывается с помощью радиус-вектора

r.
Рис. 10
Рассмотрим формально следующее векторное произведение:
  
V   , r  .
Его модуль равен V  r   sin     R , а направлен он по оси вращения. Таким
образом, это и есть общая связь векторов угловой и линейной скорости.
Прежде чем решать задачу на конкретный раздел, надо повторить
теоретический материал в соответствии с приведенными выше основными
физическими понятиями. Далее следует начинать анализ задачи с
выяснения того, что является объектом изучения, какие тела или системы
тел описывают исследуемый процесс, какие величины его определяют,
каково направление процесса. Только после этого можно установить,
каким физическим законам подчиняются описываемые явления. Такой
анализ позволяет в конечном счете выбрать оптимальный метод решения
поставленной задачи.
Следует помнить, что систему координат необходимо выбирать в
зависимости от условия задачи, чтобы упростить математическое
решение. Законы движения в координатной форме содержат не путь,
пройденный движущимся телом, а его координаты. Если закон движения
найден, то можно рассчитать и построить траекторию движения тела,
предварительно найдя ее уравнение. С другой стороны, если известны
скорость или ускорение в зависимости от времени, то можно решать и
обратную задачу динамики – найти перемещение тела.
При использовании законов Ньютона особое внимание следует
уделять анализу сил, действующих на тело. Этот анализ должен включать
в себя: происхождение сил – в результате взаимодействия с каким телом
возникла данная сила; природу сил – тяготение, упругость, трение;
характер – от каких величин и как зависит данная сила.
Уравнения второго закона Ньютона следует записывать в векторной
форме, а уже затем переходить с проекциям на соответствующие оси
системы координат. Законы Ньютона справедливы только для
инерциальных систем отсчета. Почти во всех задача, кроме специальных
разделов – неинерциальных систем отсчета – Землю следует считать
инерциальной системой отсчета. При описании движения тел, связанных
между собой, второй закон Ньютона целесообразно применять к каждому
телу отдельно, установив предварительно связь между координатами и
кинематическими характеристиками тел.
Использовать законы сохранения энергии, импульса и момента
импульса наиболее целесообразно в тех случаях, когда не известны силы
взаимодействия тел. Во многих случаях методы решения задачи –
использование законов Ньютона и законов сохранения - равноправны.
Выбор метода и пути решения каждой конкретной задачи возможен
только после детального качественного обсуждения условия задачи
начиная с анализа сил, действующих на каждое тело. Такой анализ
показывает, целесообразно ли рассматривать каждое тело в отдельности,
либо систему тел.
Закон сохранения импульса можно применять, строго говоря, только к
замкнутым системам, т.е. к таким системам, на которые не действуют
внешние силы. Природа внутренних сил не является существенной. Закон
сохранения момента импульса выполняется в тех случаях, когда сумма
моментов внешних сил равна нулю. При движении в центральном поле
момент импульса системы точек относительно центра масс остается
постоянным.
Система тел, механическая энергия которой постоянна, называется
консервативной. Условие консервативности – отсутствие перехода
механической энергии в другие виды энергии и обмена энергией с телами,
не принадлежавшими данной системе. Первое условие выполняется тогда,
когда между телами системы действуют силы, модуль и направление
которых зависят только от координат взаимодействующих тел, т.е.
консервативные силы, либо когда внутренние консервативные силы не
совершают работы. Второе условие выполняется тогда, когда
алгебраическая сумма работ всех внешних сил, действующих на систему,
равна нулю.
В неконсервативных системах изменение полной механической
энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и
внутренних неконсервативных сил.
Если энергия системы включает потенциальную энергию тел во
внешнем консервативном поле, то можно говорить о законе сохранения
энергии одного тела, находящегося во внешнем консервативном поле, в
частности, в поле тяжести Земли.
В задачах на динамику твердого тела рассматривается плоское
движение тела – вращательное и поступательное. Решение задач этого
раздела возможно как «силовым» методом, так и с помощью законов
сохранения. Можно записывать второй закон Ньютона для центра масс
твердого тела, и основное уравнение динамики вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси. Выбор метода и пути решения каждой
конкретной задачи возможен только после детального обсуждения и
анализа сил, действующих на тело, и точки приложения этих сил.
Образцы решения задач по механике
1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1.1.
В течение половины времени движения автомобиль идет со скоростью
V1, в течение другой половины – со скоростью V2. Какова средняя
скорость этого движения. Чему равна средняя скорость движения, если
половину пути автомобиль идет со скоростью V1, а вторую половину
пути – со скоростью V2?
По определению средней скорости можем записать
S  S2
Vср  1

t
V1t
2

t
V2 t
2  V1  V2 .
2
Во втором случае можем записать
Vср 
S

t1  t 2 V1 S
S
2
 V2 S

2
2V1V2
.
V1  V2
Видно, что в этих двух случаях формулы для расчета средней
скорости разные.
1.2.
Рыбак едет на лодке вверх по реке. Проезжая под мостом он уронил
багор. Через время t1=30 мин рыбак обнаружил это и, повернув назад,
догнал багор на расстоянии S=5 км ниже моста. Какова скорость
течения реки, если рыбка, двигаясь вверх и вниз по реке, греб
одинаково?
1)Решим задачу в неподвижной системе отсчета. Время движения
рыбака от момента потери багра до момента встречи с ним равно
t  t1 
(V л  V р )  S
Vл  V р
.
С другой стороны, багор плыл по реке время
t S
Vр
.
Приравняв эти два выражения можно получить
Vр=S/2t1= 5 км/ч.
2)Решаем задачу в подвижной системе реки. Лодка сначала удалялась
от багра, а затем приближалась к нему с той же скоростью Vл.
Значит, времена приближения и удаления багра от лодки равны
между собой. Следовательно, багор пробыл в воде время 2t1. За это
время багор удалился от моста на расстояние S=2Vрt1. Откуда
получаем тот же результат.
1.3.
Эскалатор метрополитена поднимает неподвижно стоящего на нем
пассажира в течение 3 мин. По неподвижному эскалатору пассажир
поднимается за 6 мин. Сколько времени будет подниматься пассажир
по движущемуся эскалатору?
Указания к решению.
Учтите, что пройденный относительно неподвижной системы
отсчета путь во всех трех случаях одинаков.
1.4.
Скорость пловца относительно воды равна V, скорость течения U. В
каком направлении должен двигаться пловец, чтобы попасть в
противоположную точку на другом берегу? Сколько времени он будет
плыть, если ширина реки равна l?
Свяжем неподвижную систему отсчета с берегом и обозначим V0 –
скорость пловца относительно этой системы, тогда по закону
сложения скоростей Галилея

 
V0  V  U .
Изобразим эту ситуацию на следующем рисунке:
Так как пловец должен попасть в противоположную точку берега, то

вектор V0 должен быть направлен по нормали к течению. Значит,
пловец должен двигаться под углом  к нормали АВ так, что sin  
U
.
V
Модуль скорости пловца относительно берега будет равен:
V0  V 2  U 2 .
Двигаясь относительно берега по линии АВ с этой скоростью пловец
проплывет путь l за время:
t
1.5.
l
V 2 U 2
.
Корабль идет на запад со скоростью V0 = 6,5 м/с. Ветер дует с югозапада со скоростью U=35 м/с. Какую скорость V ветра зарегистрируют
приборы на корабле? Каково будет найденное этими приборами
направление ветра относительно курса корабля?
По закону сложения скоростей Галилея можем записать:
  
V  U  V0 .
Модуль скорости ветра, зарегистрированной приборами на корабле,
найдем по теореме косинусов:
V  V02  U 2  2V0U cos  0 .
В нашем случае угол  0 =1350. Тогда окончательно
V= 37,5 м/с.
Направление ветра относительно корабля найдем по теореме синусов:
sin( 180   ) U
 .
sin  0
V
Отсюда получаем:
 = 138,80.
2.КИНЕМАТИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
2.1 Тело брошено вверх под углом  к горизонту с начальной скоростью V0.
Записать закон движения вдоль оси ох и оу, найти уравнение траектории,
дальность и максимальную высоту полета. При каком угле  дальность
полета максимальна?
Сделаем чертеж, представленный на рисунке. Выберем систему
координат в точке броска.
Разложим движение на два независимых: равномерное движение вдоль
оси ох и с ускорением g вдоль оси оу. Учтем, что:
Vox  Vo cos 
Voy  Vo sin 
.
Запишем систему уравнений, полностью описывающую движение тела:
x  Vo cos   t
y  Vo sin   t  gt
2
V x  Vo cos 
V y  Vo sin   gt
2
.
Чтобы получить уравнение траектории, исключим из первого и второго
уравнения время:
y  xtg 
gx 2
.
2Vo2 cos 2 
Это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз.
Найдем дальность полета тела S:
S  Vo cos   t дв .
Здесь tдв – время движения тела во время полета:
t дв  2Vo sin  / g .
Тогда:
S  2Vo2 cos   sin  / g  Vo2 sin 2 / g .
Максимальная дальность полета будет при угле  =450.
Максимальная высота подъема равна:
H  Vo2 sin 2  / 2 g .
2.2 Тело брошено под углом  к горизонту с начальной скоростью Vо.
Найдите радиус кривизны R траектории, тангенциальное и нормальное
ускорение тела в некоторый момент времени t.
Пусть в момент времени t тело находится в некоторой точке А
траектории.
Мгновенная скорость тела в этой точке равна:
V  Vx2  V y2 .
V x  Vo cos 
При этом:
V y  Vo sin   gt
.
V  Vo2 cos 2   (Vo sin   gt ) 2 .
Тогда можем записать:
Полное ускорение тела в этой точке равно:
g  a2  an2 .
Где:
an  g cos  , a  g sin  .
Запишем выражение для радиуса кривизны:
R
V2
V2

an
g cos 
an 
a 
gV x
V
gV y
.
V
2.3 Камень брошен на склоне горы под углом  к ее поверхности.
Определите дальность полета камня вдоль склона горы и его наибольшую
высоту подъема над склоном, если начальная скорость камня Vо, угол
наклона горы к горизонту  .
Выберем систему координат так, как указано на рисунке.
Тогда проекции полного ускорения на оси координат равны:
a x  g sin  , a y   g cos 
Проекции начальной скорости на оси координат:
V x  Vo cos  , V y  Vo sin 
Уравнения движения имеют следующий вид:
x  Vo cos   t 
g sin   t 2
2
y  Vo sin   t 
g cos   t 2
.
2
Время движения камня до падения на наклонную плоскость:
t дв 
2Vo sin 
.
g cos 
Дальность полета камня вдоль склона горы:
S  Vo cos  
2Vo sin  g sin   4V02 sin 2 

.
g cos 
2 g 2 cos 2 
Максимальная высота подъема камня над склоном:
H
Vo2 sin 2 
.
2 g cos 
2.4 Точка движется по окружности радиусом R= 2 см. Зависимость пути от
времени описывается законом S= C t3, где С=0,1 см/с2. Найдите
тангенциальное и нормальное ускорение точки в момент времени, когда
ее линейная скорость равна V1=0,3 м/с.
Дифференцируем по времени закон движения и получаем скорость как
функцию времени:
V=3Ct2.
Тангенциальное ускорение находим по формуле:
a 
dV
=6Сt.
dt
Найдем нужный нам момент времени по формуле:
t1 
V1
.
3C
Тогда тангенциальное ускорение равно a  2 3CV1 =0,06 м/с2.
Нормальное ускорение:
an 
V2
=4,5 м/с2.
R
2.5 Колесо, вращаясь равнозамедленно, за t1 = 1 мин уменьшило частоту
вращения с no =300 об/мин до n1= 180 об/мин. Найдите угловое ускорение
 и число оборотов колеса N1 за это время. Через какое время tо колесо
остановится? Сколько оборотов оно сделает до остановки?
Уравнение вращательного движения колеса имеет вид:
   o  t
  ot 
t 2
2
Учитывая связь угловой скорости с частотой вращения   2n ,получим:

2 (n1  no )
.
t1
Угол поворота за время t1 равен:
1  o t1 
t12
2

( o  1 ) 2
.
2
Число оборотов колеса за это время равно:
N1 
1 (no  n1 )t1

 240 .
2
2
Время вращения колеса до остановки равно:
to  
o
 150 c .

Угол поворота до остановки равен:
 o  o t o 
t o2
2

o2
.
2
Число оборотов до остановки:
No 
o
 375 .
2
2.6 Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым
ускорением   At , где А=0,02 рад/с3. Через сколько времени после начала
вращения вектор полного ускорения произвольной точки будет составлять
угол  =600 с ее вектором скорости?
Из рисунка видно, что:
tg 
an
.
a
Далее используем следующую связь:
a  R
an   2 R
tg 
Тогда :

.

Теперь интегрируем дифференциальное уравнение:
d  dt  Atdt .
At 2
.

2
Отсюда получим:
Окончательно получим:
t 3
4tg
7c.
A
3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
3.1 Колесо радиусом R катится по дороге без скольжения с поступательной
скоростью V0. Как меняется со временем скорость точки на ободе колеса
относительно Земли? Какова траектория движения этой точки? Каково
ускорение точек на ободе колеса?
Плоское движение твердого тела можно представить как сумму
поступательного и вращательного движения. Представим качение
колеса как сумму вращения вокруг оси, проходящей через центр колеса, и
поступательного движения этой оси. Скорость каждой точки колеса
относительно земли есть сумма скоростей этих двух движений:
  
V  V0  Vвр .
Выберем произвольную точку на ободе колеса и найдем для нее
зависимости скорости и координат от времени.
За время t колесо повернулось на угол     t . Тогда можем записать:
V x  V0  R cos   V0  V0 cos t
V y  R sin   V0 sin t
Линейная скорость относительно земли равна:
V  Vx2  V y2  V0 2(1  cos t )
Путем интегрирования получим:
x  V0 t 
y
V0

V0

sin t  C1
cos t  C 2
Постоянные интегрирования С1 и С2 определим из начальных условий
С1=0, С2=R. Окончательно получим:
x  V0 t  R sin t
y  R(1  cos t )
Эта система уравнений определяет траекторию, которая является
циклоидой.
3.2 Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя
параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями V1 и V2 в одну
сторону. Определить угловую скорость вращения катка и скорость его
центра при отсутствии проскальзывания.
Пусть рейки движутся в одну сторону. Тогда можем записать:
VA=V1, VB=V2.
Представим движение катка как сумму вращения его вокруг оси
симметрии и поступательного движения этой же оси со скоростью V0.
Тогда:
V A  V0  R
VB  V0  R
.
Отсюда можно найти угловую скорость вращения катка:
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Два одинаковых вектора длиной 4 см перпендикулярны друг другу.
Определите длину вектора суммы и его направление по отношению к
слагаемым векторам.
1.2. Даны два вектора, расположенные на одной прямой и одинаково
направленные. Докажите, что модуль вектора суммы равен сумме
модулей векторов слагаемых.
1.3. Два вектора расположены на одной прямой и направлены в
противоположные стороны. Докажите, что модуль вектора суммы будет
равен разности модулей слагаемых векторов.
1.4. Может ли приращение модуля вектора a оказаться равным модулю

приращения вектора a ?
 

1.5. Вектор a изменил направление на обратное. Найти a , a , a .
1.6. В координатах х,у положение точки задано М(5,5). Определить модуль ее
радиус-вектора и угол, который он составляет с осью Ох.
1.7. Даны точки М1(2,10) и М2(5,6). Определить модуль вектора М1М2.


1.8. Построить график зависимости скалярного произведения векторов a и b
от угла между ними.


1.9. Выразить радиус-вектор rc середины отрезка АВ через радиус-векторы rА

и rВ точек А и В.
1.10. Компоненты одного вектора равны (1,3,5) , а другого - (6,4,2). Найти
угол между векторами.
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. Точка движется по прямой. При этом за любой интервал времени
длительностью 1 с она проходит путь длиной 1 м. Можно ли утверждать,
что точка движется равномерно?
2.4. По оси ох движутся две точки: первая - по закону х1= 10 + 2t, а вторая - по
закону х2= 4 + 5t. В какой момент времени они встретятся?
2.5. Поезд, вышедший в 12 ч дня из пункта А, движется со скоростью 60 км/ч.
Поезд, вышедший в 2 ч дня из пункта В, движется со скоростью 40 км/ч
навстречу первому поезду. Определить место встречи, если расстояние
АВ равно 420 км.
2.6. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста.
Скорость первого мотоциклиста 10 м/с. Второй догоняет его со
скоростью 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный
момент времени равно 200 м. Написать уравнение движений
мотоциклистов в системе отсчета, связанной с землей, приняв за начало
координат место нахождения второго мотоциклиста в начальный момент
времени и выбрав за положительное направление оси ох направление
движения мотоциклистов. Построить на одном чертеже графики
движения обоих мотоциклистов время и место встречи мотоциклистов.
2.8. Движение материальной точки задано уравнениями х= 2+t и у= 1 + 2t.
Написать уравнение траектории и построить ее график на плоскости хОу.
2.10. Радиус-вектор частиц задан уравнением:



r (t )  4(1  t )ex  (2  3t )e y
Определить модуль и направление скорости, перемещение и его модуль
за 10с, путь 10 с, построить траекторию частицы на плоскости хоу.
2.11. Скорость частицы задана уравнением:



v (t )  3e x  4e y
Определить модуль скорости, перемещение и его модуль за 5 с, путь за
5 с.
2.15. Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся
часть пути он половину времени двигался со скоростью 15 км/, а
последний участок - со скоростью 45 км/. Найти среднюю скорость
автомобиля на всем пути.
2.17. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оставаясь все время
перпендикулярной к биссектрисе этого угла, движется со скоростью 10
м/с. С какой скоростью движутся по сторонам угла их пересечения с
линейкой?
2.18. По параллельным железнодорожным путям в одном направлении
следует товарный поезд длиной 420 м со скоростью 10 м/с и электропоезд
длиной 120 м со скоростью 30 м/с. В течение какого времени
электропоезд обгонит товарный поезд ? Решить задачу в системе отсчета,
связанной с Землей.
2.20. Человек, идущий с постоянной по величине и направлению скоростью
V, проходит под фонарем, висящим на высоте H. Найти скорость
перемещения края тени от головы человека, если его высоты h.
3. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
3.1. По графику зависимости координаты тела от времени ( рис.3) построить
графики зависимостей ускорения, скорости и пути, пройденного телом, от
времени. Начальная скорость равна нулю.
Рис. 3
3.3. Уравнения движения по шоссе велосипедиста, пешехода и бензовоза
имеют вид : х1= -0,4t2 ; х2= 400 - 0,6t и х3= -300. Найти для каждого из
тел: координату в момент начала наблюдения, проекции на ось х
начальной скорости и ускорения, а также направление и вид движения.
3.4. Человек, стоящий на краю высохшего колодца, бросает вертикально
вверх камень, сообщая ему скорость 10 м/с. Через какой промежуток
времени камень упадет на дно колодца? Глубина колодца 15 м. Найти
путь за 3 с. Определить скорость в 3-ю секунду. Построить графики
зависимости y(t), S(t), V(t) , a(t).
3.5. Камень бросают с башни, сообщая ему начальную скорость,
направленную вниз. 1) Какой она должна быть, чтобы камень за время 2 с
опустился на 30 м? 2) Какой должна быть эта скорость, чтобы камень за 2
с опустился на 10 м ?
3.6. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3
своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело.
3.7. Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти
высоту падения.




3.9. Начальная скорость частицы v1  1ex  3e y  5ez ( м / с) , конечная 




v2  2ex  4e y  6ez ( м / с) . Найти : а) приращение скорости V , б) модуль

приращения скорости V , в) приращение модуля скорости V .
3.10. Радиус-вектор частицы определяется выражением :




r  3t 2 ex  4t 2 e y  7ez ( м) . Вычислить: а) путь, пройденный частицей за
первые 10 с движения, б) модуль перемещения за то же время.
3.11.Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону :




r  3t 2 ex  2te y  1ez ( м) .
Найти : а) скорость и ускорение частицы, б) модуль скорости в момент
времени t=1с.




3.12.Частица движется со скоростью V  1ex  2tey  3t 2 ez ( м / с) . Найти : а)

перемещение r частицы за первые 2 с ее движения; б) модуль скорости
в момент времени t=2 с.




3.13.Частица движется со скоростью V  t (2ex  3ey  4ez ),(  1м / с 2 ) . Найти :
а) модуль скорости частицы в момент времени t=1 с;
б) ускорение частицы и его модуль;
в) путь, пройденный частицей с момента t1=2 с до момента t2=3 с.


3.14.Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону r  bt (1  t ) , где

b -постоянный вектора,  - положительная постоянная. Найти:
а) скорость частицы и ее ускорение в зависимости от времени;
б) промежуток времени, по истечение которого частица вернется в
исходную точку,
а также путь , который она пройдет за это время.
3.15.Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со



временем по закону r  tex  t 2 e y , где  и  - постоянные. Найти:
а) уравнение траектории точки у =у(x); изобразить ее график;
б) зависимость от времени скорости точки, ускорения и модулей этих
величин;
в) зависимость от времени угла  между векторами ускорения и
скорости.
3.16.Точка движется в плоскости ху по закону x  t , y  t (1  t ) , где  и  положительные постоянные. Найти:
а) уравнение траектории точки у(x); изобразить ее график;
б) скорость и ускорение точки в зависимости от времени;
в) момент времени t0, когда угол между скоростью и ускорением равен
 / 4.
3.17.Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам
v x   cost , v y   sin t , v z  0 , где  и  -константы. Найти модули
скорости и ускорения, а также угол между векторами скорости и
ускорения.
3.18.Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид
x   cost , y   sin t .



а) определить радиус-вектор частицы r , скорость V , ускорение a , а
также их модули.


б) вычислить скалярное произведение векторов r и V .
 
в) вычислить скалярное произведение векторов r a .
г) найти уравнение траектории, изобразить ее график и указать
направление движения частицы по траектории.
3.19.Точка движется в плоскости ху по закону x  A sin t , y  A(1  cost ) , где А
и  -положительные постоянные. Найти: а) путь, пройденный точкой за
время  ; б) угол между скоростью и ускорением точки.
4.ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО
ДВИЖЕНИЯ.
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ГАЛИЛЕЯ
4.1.Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч.
Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд
проходит мимо него в течении 14 с. Какова длина второго поезда?
4.2.Расстояние 240 м необходимо проехать на лодке туда и обратно один раз
по реке, скорость течения которой 1 м/с, а другой раз по озеру. Скорость
лодки относительно воды в обоих случаях 5 м/с. Решив задачу в общем
виде, доказать, что поездка туда и обратно по реке занимает больше
времени, чем по озеру. На сколько времени движение лодки по реке в
данном случае больше времени ее движения по озеру ?
4.3.Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в
течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3
мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по
движущемуся эскалатору?
4.4.Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению
реки со скоростью 4 м/с в системе отсчета, связанной с водой. На сколько
метров будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость
течения 1 м/с? Найти угол между векторами скорости катера
относительно берега и скорости реки.
4.5.Моторная лодка, имеющая в системе отсчета, связанной с водой, скорость
6 м/с, должна переправиться через реку по кратчайшему пути. Какой курс
относительно берега необходимо держать при переправе, если скорость
течения реки 2 м/с ? Какова скорость лодки относительно земли ?
4.6.Корабль движется по экватору на восток со скоростью 30 км/ч. С юговостока под углом 600 к экватору дует ветер со скоростью 15 км/ч. Найти
скорость ветра относительно корабля и угол между экватором и
направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.
4.8.Из начала координат одновременно начинают движение две точки.
Первая движется по оси х со скоростью 3 м/с, а вторая - по оси у со
скоростью 4 м/с. С какой скоростью они удаляются друг от друга ?
4.10.Лодка движется относительно воды со скоростью, в 2 раза меньшей
скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка
должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше ?
4.11. Катер идет по течению реки из пункта А в пункт В 3 часа, обратно - 6
часов. Сколько времени потребовалось бы этому катеру для того, чтобы
проплыть расстояние АВ по течению реки при выключенном моторе?
4.12.Два катера с различными скоростями плыли в одном направлении по
течению реки. Когда они поравнялись, с одного из катеров бросили
спасательный круг. Через некоторое время после этого оба катера
одновременно повернули обратно и с прежними скоростями
относительно воды направились к месту, где был брошен круг. Какой из
катеров встретит круг раньше ? Как изменится ответ, если катера до
встречи плыли против течения? Навстречу друг другу?
4.13.Два корабля движутся равномерно со скоростями v1 и v2 по прямым,
угол между которыми равен  . Определить их относительную скорость.
Показать на рисунке наименьшее расстояние между кораблями.
4.14.На движущейся горизонтально и равномерно тележке установлена труба
Под каким углом к горизонту нужно наклонить трубу, чтобы капли
дождя, падая вертикально, попадали на дно трубы, не задев ее стенок?
Скорость капель 6 м/с, скорость тележки 20 см/с.
4.16.Две частицы 1 и 2 движутся с постоянными скоростями v1 и v2 по двум
взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В
момент t=0 частицы находились на расстояниях b1 и b2 от точки О. Через
сколько времени после этого расстояние между частицами станет
наименьшим ? Чему оно равно ?
4.17.Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх
со скоростью v1, другое -вниз со скоростью v2. Найти расстояние между
телам через t секунд.
5.ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ, БРОШЕННЫХ ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ
5.1. Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении со
скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты брошено
тело?
5.2. С балкона , расположенного на высоте 20 м, бросили вверх мяч под углом
300 к горизонту со скоростью 10 м/с. Направив ось ох вдоль поверхности
земли вправо, а ось оу вверх, написать уравнение зависимости координат
от времени х=х(t) и у=y(t) и уравнение траектории у=у(х). Найти:
а) координаты мяча через 2 с;
б) через какой промежуток времени мяч упадет на землю;
в) горизонтальную дальность полета.
5.3. Тело брошено под углом  к горизонту со скоростью Vо. Определить
скорость этого тела на высоте h над горизонтом. Зависит ли эта скорость
от угла бросания ? Сопротивлением воздуха пренебречь.
5.4. Доказать, что при отсутствии сопротивления воздуха максимальная
дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, будет при
угле бросания 450.
5.5. С вершины горы брошено тело в горизонтальном направлении со
скоростью
19,6 м/с. Определить тангенциальное и нормальное
ускорение тела спустя 2 с после начала движения.
5.6. Из одной точки одновременно брошены два тела с одинаковой скоростью
под разными углами к горизонту. Определить расстояние между телами
спустя 2 с после начала движения, если начальная скорость 10 м/с, а углы
бросания равны 300 и 600.
5.7. Небольшое тело брошено из точки О под углом  к горизонту с
начальной скоростью Vо (рис.9). Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найти:
а) время полета  ;
б) дальность полета l;
в) наибольшую высоту подъема тела h;
г) уравнение траектории тела ;


dV d V
и
д) значения
в вершине траектории;
dt
dt
е) радиус кривизны R траектории в точках О и O  .
Рис.9
5.9. Вертолет летит горизонтально со скоростью 180 км/ч на высоте 500 м. С
вертолета нужно сбросить груз на корабль, движущийся встречным
курсом со скоростью
36 км/ч . На каком расстоянии от корабля
летчик должен сбросить груз?
5.10.Тело, летящее со скоростью V под углом  к горизонту, при ударе о
горизонтальную плиту теряет 10% скорости. Определить путь, который
тело пройдет вдоль плиты, подпрыгивая.
6. ЛИНЕЙНАЯ И УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ
6.1 .За какое время колесо, имеющее угловую скорость 4 рад/с, сделает 100
оборотов?
6.2 .Какова линейная скорость точек земной поверхности на широте 60 0 при
суточном вращении Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.
6.3 .При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного
спутника земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько
раз изменяется скорость движения спутника по орбите?
6.4 .Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Найти отношение
линейных скоростей концов стрелок.
6.5 .Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на
который наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки при
поднятии ведра с глубины 10 м за 20 с?
6.6 .Какое расстояние проедет велосипедист при 60 оборотах педалей, если
диаметр колеса
70 см, ведущая зубчатая шестеренка имеет 48 зубцов, а
ведомая - 18 зубцов?
6.7 .Колесо радиуса R катится по горизонтальной поверхности без
скольжения с угловой скоростью  . Чему равна скорость оси колеса,
верхней точки, нижней точки колеса относительно горизонтальной
поверхности.
6.8 .Модуль линейной скорости точки, лежащей на ободе колеса, в 2,5 раза
больше модуля линейной скорости точки, лежащей на 0,03 м ближе к оси
колеса. Найти радиус колеса.
6.9 .Когда колесо катится, то часто бывает, что нижние спицы видны
отчетливо, а верхние спицы как будто сливаются. Почему так?
6.10 .Длина минутной стрелки башенных часов МГУ равна 4,5 м. Определите
линейную скорость конца стрелки и угловую скорость движения стрелки.
6.11 .Определите ускорения точек земной поверхности на различных широтах
за счет участия в суточном вращении Земли.
6.12 .Вектор линейной скорости (V= 2 м/с) точки, равномерно вращающейся
по окружности, повернулся на 300 за 0,5 с. Найти ускорение этой точки.
6.13 .С блока радиусом 20 см сматывается нить с подвешенным на ней
грузом. Ускорение груза 2 см/с2. Определите угловую скорость блока,
когда груз пройдет из начального положения путь 100 см. Определите
величину и направление ускорения нижней точки блока в этот момент
времени.
6.14 .Снаряд вылетел со скоростью v0 под углом  к горизонту. Определите
радиус кривизны, нормальное и тангенциальное ускорения снаряда в
верхней точке траектории.
6.15 .Материальная точка движется по круговой траектории радиуса 10 см в
соответствии с уравнением для пути S= t + 2,5t2. Найдите полное
ускорение во 2-ю секунду движения.
6.16 .Снаряд вылетает под углом 450 к горизонту. Чему равна дальность
полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального
подъема равен 15 км?
6.17 .Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой
наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности земли, может
перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к
горизонту должен быть при этом брошен камень?
6.18 .Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м
и за 10 с проходит путь 50 м. Чему равно нормальное ускорение точки
через 8 с после начала движения?
6.19 . Автомобиль движется со скоростью v= 60 км/ч. Сколько оборотов в
секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, и
внешний диаметр покрышек колес равен d= 60 см?
6.20 .Круг радиуса 2 м вращается вокруг неподвижной оси так, что угол  его
поворота зависит от времени по закону   0,5t 2 . Найти линейную скорость
различных точек круга и угловое ускорение.
6.21 . Колесо радиуса 0,1 м вращается вокруг неподвижной оси так, что угол
его поворота зависит от времени по закону   6t  0,1t 2 . Найти среднее
значение угловой скорости за промежуток времени от t=0 до остановки.
Найти угловую и линейную скорость, а также нормальное ,
тангенциальное и полное ускорение точек обода колеса в моменты
времени 10 с и 40 с.



6.22 . Твердое тело вращается с угловой скоростью   ati  bt 2 j , где a = 0,5
рад/с2 и b=0,06 рад/с2. Найти модули угловой скорости и углового
ускорения в момент времени t=10 с, а также угол между векторами
углового ускорения и угловой скорости в этот момент времени.